陕西省西北农林科技大学附属中学2025年高二下数学期末经典试题含解析

陕西省西北农林科技大学附属中学2025年高二下数学期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集为，集合，，则（）A． B． C． D．2．如图所示正方形，、分别是、的中点，则向正方形内随机掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）A． B． C． D．3．为直线，为平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，，则 B．则，，则C．若，，则 D．则，，则4．双曲线x2a2A．y=±2x B．y=±3x5．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项 B．337项 C．338项 D．1009项6．设，则“，且”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知集合，，则（）A． B． C． D．8．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．9．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．已知，则的展开式中，项的系数等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．1511．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线：和相关系数．现给出以下3个结论：①；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）A．144种 B．108种 C．72种 D．36种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数与函数的图像有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________；14．设某弹簧的弹力与伸长量间的关系为，将该弹簧由平衡位置拉长,则弹力所做的功为_______焦.15．如果复数的实部与虚部相等，则_______.16．不等式＜恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）若且对任意的，恒成立，求的最大值．18．（12分）如图，在四面体中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（=1\*ROMANI）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（=2\*ROMANII）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.20．（12分）已知.(1)当，时，求不等式的解集；(2)当，时，的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求的取值范围．21．（12分）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；.参考数据：记，，，，，，，，，.22．（10分）设λ是正实数，（1+λx）20的二项展开式为a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20，…，均为常数（1）若a3＝12a2，求λ的值；（2）若a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出两个集合的公共部分即为两个集合的交集.【详解】由集合可知；因为，,故选C.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2、D【解析】

根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为，故选D.本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.3、B【解析】

根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除，从而得到结果.【详解】选项：若，则与未必平行，错误选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，正确选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，错误选项：可能与平行或相交，错误本题正确选项：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.4、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛：已知双曲线方程x2a25、A【解析】

根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选A．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．6、A【解析】分析：由题意逐一考查充分性和必要性即可.详解：若“，且”，有不等式的性质可知“”，则充分性成立；若“”，可能，不满足“，且”，即必要性不成立；综上可得：“，且”是“”的充分不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、A【解析】分析：根据题意，求得集合，再利用集合的运算，即可求解．详解：由题意，，所以，故选A．点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8、A【解析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.9、A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A.10、B【解析】分析：利用定积分的运算求得m的值，再根据乘方的几何意义，分类讨论，求得xm﹣2yz项的系数．详解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，则（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6个因式（x﹣2y+3z）的乘积，故其中一个因式取﹣2y，另一个因式取3z，剩余的4个因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的项，∴xm﹣2yz=x4yz项的系数等于故选：B．点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。11、A【解析】

结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，①正确；由题中数据可得:，，所以回归直线过点，②正确；又，③错误.故选A本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.12、C【解析】

根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C42A42×1＝72种，故选：C．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作出函数的图象和直线，由图形观察可知它们有两交点的情形。【详解】作出函数的图象和直线，如图，当直线过点时，，当直线与函数图象相切时，，，，（舍去），∴函数与函数的图像有两个不同的交点时。故答案为：本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题时用数形结合思想，即作出函数图象（半个椭圆）及直线当平移直线时观察它与函数图象的交点情况．本题解题时要特别注意函数图象只是椭圆的上半部分，不能误认为是整个椭圆，那就会得出错误结论．14、【解析】

用力沿着力的方向移动，则所做的功为，代入数据求得结果.【详解】弹力所做的功为：焦本题正确结果：本题考查函数值的求解，关键是能够明确弹力做功的公式，属于基础题.15、7【解析】

根据复数除法运算可求得，根据实部与虚部相等可构造方程求得结果.【详解】，，解得：.故答案为：.本题考查根据复数的实部和虚部定义求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算问题，属于基础题.16、(－2,2)【解析】

利用指数函数的单调性可以得到一元二次不等式恒成立问题，再根据判别式即可求得结果.【详解】由指数函数的性质知y＝x是减函数，因为＜恒成立，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．本题考查不等式恒成立问题，利用指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式是本题的关键，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极小值为，无极大值；（2）1.【解析】

（1）将代入，求其单调区间，根据单调区间即可得到函数的极值.（2）首先将问题转化为，恒成立，设，求出其单调区间和最值即可得到的最大值.【详解】（1）当时，，易知函数在上为单调增函数，及所以当，，为减函数.当，，为增函数.所以在时取最小值，即，无极大值.（2）当时，由，即，得.令，则.设，则，在上为增函数，因为，，所以，且，当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增．所以，因为，所以，，所以，即的最大值为1．本题第一问考查利用导数求函数的极值，第二问考查利用导数解决恒成立问题，属于中档题.18、(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.19、（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）X0123P【解析】（=1\*ROMANI）解法一解法二（=2\*ROMANII）X所有可能取值为0,1,2,3.,,,所求的分布列为X0123P第一小问可以从两个方面去思考，一是间接法，就是张同学1道乙类题都没有取到的取法是多少？二是直接法，就是取一道乙类题和两道甲类体；两道乙类题和一道甲类体；三道乙类题。三种情况加起来就是共有多少种取法。第二问一是思考随机变量的所有可能取值，二是算出对应的概率，其中X=1和X=2要注意有两种情形。最后利用数学期望的公式求解。【考点定位】本题考查古典概型，随机变量的分布列和数学期望的定义。20、（1）；（2）.【解析】分析：(1)将代入函数解析式，利用零点分段法，将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后求并集得到原不等式的解集；(2)结合的条件，将函数解析式化简，化为分段函数的形式，求得相关点的坐标，利用面积公式，得到参数所满足的不等关系式，从而求得结果.详解：(1)当时,.不等式等价于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由题设可得,所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.所以三角形的面积为.由题设知,解得.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是需要明确采用零点分段法求解绝对值不等式，二是会应用题的条件，寻找参数所满足的对应的式子，最后求解即可得结果.21、（1）（2）①更适合，②181元【解析】

（1）三天中至少有