重庆市西南大学附中2025届高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

重庆市西南大学附中2025届高二数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定积分（）A． B． C． D．2．设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知两个随机变量X，Y满足X+2Y=4，且X~N1，  A．32，2 B．12，1 C．32，1 D．4．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有（）A．B．C．D．5．已知非空集合，全集，集合,集合则（）A． B． C． D．6．设表示直线，是平面内的任意一条直线，则“”是“”成立的（）条件A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要7．若函数f(x)的导函数的图像关于原点对称，则函数f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=3cosx B．f(x)=x38．在区间上的最大值是（）A． B． C． D．9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A．2016 B．2017 C．2018 D．201910．复数的模是()A．3 B．4 C．5 D．711．在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A． B． C． D．12．如图，用6种不同的颜色把图中四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A．496种 B．480种 C．460种 D．400种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，且，则实数的值是_______；14．人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种．15．曲线在点处的切线方程为_______．16．已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）当时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：的展开式中含项的系数为.18．（12分）随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中.据调查，3～6岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生.随机调查了某区100名3～6岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：不参加舞蹈且不参加绘画兴趣班参加舞蹈不参加绘画兴趣班参加绘画不参加舞蹈兴趣班参加舞蹈且参加绘画兴趣班人数14352625（Ⅰ）估计该区3～6岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（Ⅱ）通过所调查的100名3～6岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10女生70总计附：.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式的解集为，求实数的值.20．（12分）在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，有两个不同的零点，求证：.22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数与，所围成的图形的面积，在求出，可得答案.【详解】解：由定积分的几何意义可知是由曲线与，所围成的图形的面积，也就是单位圆的，故，，故，故选：A.本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.2、D【解析】

由约束条件，作出可行域如上图所示阴影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线的下方，故有，解得，选D.点睛：平面区域的最值问题是线性规划的一类重要题型，在解答本题时，关键是画好可行域，分析目标函数的几何意义，然后利用数形结合的思想，找出点的坐标，即可求出答案．3、C【解析】

先由X~N1，  22，得E(X)=1，D(X)=4，然后由【详解】由题意X~N1，  22因为X+2Y=4，所以Y=2-1所以E(Y)=2-12E(X)=故选C.该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.4、A【解析】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．5、B【解析】分析：根据题意画出图形，找出与的并集，交集，判断与的关系即可详解：全集，集合,集合，，故选点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。6、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可。【详解】因为是平面内的任意一条直线，具有任意性，若，由线面垂直的判断定理，则，所以充分性成立；反过来，若，是平面内的任意一条直线，则，所以必要性成立，故“”是“”成立的充要条件。故选：A本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况。7、A【解析】

求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．【详解】A中f'(x)=-3sinx为奇函数，B中f'(x)=3x2+2x非奇非偶函数，C中f'(x)=2故选A．本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．8、D【解析】

对求导，判断函数在区间上的单调性，即可求出最大值。【详解】所以在单调递增，在单调递减，故选D本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。9、C【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数，函数的导数，，由得，解得，而，故函数关于点对称，，故设，则，两式相加得，则，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.10、C【解析】

直接利用复数的模的定义求得的值．【详解】|，故选：C．本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．11、B【解析】

由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.【详解】因为的二项展开式的通项为：，因此二项式系数的最大值为：，令得，所以，含项的系数为，因此.故选：B.本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.12、B【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21，用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22种结果，根据分类计数原理得到结果．详解：由题意知本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21=120（种）．用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22=360（种）．综上得不同的涂法共有480种．故选：C．点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．【详解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案为2本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14、24.【解析】分析：由题意结合排列组合的方法和计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：将甲乙捆绑后排序，有种方法，余下的丙丁戊三人排序，有种方法，甲乙均不与丙相邻，则甲乙插空的方法有2种，结合乘法原理可知满足题意的排列方法有：种.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．15、.【解析】

对函数求导得，把代入得，由点斜式方程得切线方程为.【详解】因为，所以，又切点为，所以在点处的切线方程为.本题考查运用导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程.16、【解析】

连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【详解】设，则，，由，得，，在△中，，又在中，，得故离心率本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）84；（2）证明见解析【解析】

（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论．【详解】（1）当时，，的展开式中含项的系数为．（2），，故的展开式中含项的系数为因为，所以项的系数为：.本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18、（I）（II）有的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关，详见解析【解析】

（Ⅰ）画出韦恩图，计算参加舞蹈班的人数，再计算概率.（Ⅱ）补全列联表，计算，与临界值表作比较得到答案.【详解】（I）画出韦恩图得：（II）参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生102030女生502070总计6040100所以，有的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.本题考查了概率的计算，列联表，意在考查学生的计算能力.19、（I）或；（II）2.【解析】

（I）代入a的值，求出不等式的解集即可；（II）解不等式，根据对应关系得到关于a的方程组，解出即可．【详解】（I）当时，由，得或，解得：或，故不等式的解集是或.（II），，又不等式的解集为，，解得.本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，方程思想，是一道基础题．20、（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．试题解析：（1）∵平面平面平面，∴，又，∴两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，∵，∴；（2）由已知，得是平面的一个法向量，设平面的法向量为，∵，由，得，令，得.∴，由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角，∴平面与平面所成二面角的余弦值为．21、（1）1；（2）证明见解析【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，根据函数单调性得到，解得答案.（2）要证明，只需要证明，设，求导得到单调性，得到，得到证明.【详解】（1）由已知得函数的定义域为，且，当时，，在上单调递增，且当时，，不合题意；当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，也是最小值，由题意，恒成立，令，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.（2），且在处取到极小值1，又时，，时，，故且，要证明：，只需证明，又，故只需证明：，即证：，即证：，即证：，设，则，因为，所以，由（1）知恒成立，所以，即，所以在上为增函数，所以，即命题成立.本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.22、(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(