山西省山大附中等晋豫名校2024-2025学年高二下数学期末监测试题含解析

山西省山大附中等晋豫名校2024-2025学年高二下数学期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温低于的月份有个B．月份的最高气温不低于月份的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关2．设n=0π2A．20 B．-20 C．120 D．-1203．一组统计数据与另一组统计数据相比较（）A．标准差一定相同 B．中位数一定相同C．平均数一定相同 D．以上都不一定相同4．设，，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．三个数，，之间的大小关系是()A． B．C． D．6．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A． B． C． D．7．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（）A．B．C．D．8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．9．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．将点的极坐标化成直角坐标为（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（）A． B． C． D．12．对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是()A．若,则B．若,则C．若则D．若,则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，使在上取得最大值3，最小值-29，则的值为__________．14．8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种______15．函数的单调递减区间是_________.16．设,则等于_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，且，，证明：.18．（12分）已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.19．（12分）设的内角的对边分别为且.(1)求角(2)若求角及的面积.20．（12分）已知.(1)若,求.(2)设复数满足，试求复数平面内对应的点到原点距离的最大值.21．（12分）在的展开式中,求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)奇数项的二项式系数和；(3)求系数绝对值最大的项.22．（10分）在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．2、B【解析】

先利用微积分基本定理求出n的值，然后利用二项式定理展开式通项，令x的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。【详解】∵n=0二项式x-1x6令6-2r=0，得r=3，因此，二项式x-1x6故选：B.本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。3、D【解析】

根据数据变化规律确定平均数、标准差、中位数变化情况，即可判断选择.【详解】设数据平均数、标准差、中位数分别为因为，所以数据平均数、标准差、中位数分别为，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同，故选：D本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题.4、C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.5、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性求解【详解】,故故选：A本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6、A【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.考点：球内接多面体7、B【解析】解：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为个，其中恰好有一个二等品的事件有个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为8、C【解析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．9、A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.10、C【解析】

利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出．【详解】x＝cos，y＝sin，可得点M的直角坐标为．故选：C．本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11、C【解析】依次运行如图给出的程序，可得；，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．12、C【解析】

若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有

错误；

若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面

外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若，，，则为真命题,正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有错误.

故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】分析：求函数的导数，可判断在上的单调性，求出函数在闭区间上的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的的导数，，由解得，此时函数单调递减.由，解得或，此时函数单调递增.即函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得极大值同时也是最大值，则，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.14、8640【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，满足甲乙不相邻，②，将剩下的三人全排列，安排在前排，由分步计数原理计算可得答案。【详解】根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，由于甲乙不能相邻，则有C6②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有A3则有1440×6=8640种排法；故答案为：8640。(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。15、【解析】

求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．【详解】，其中，令，则，故函数的单调减区间为，填．一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调减函数；反之，若在区间上可导且为减函数，则．注意求单调区间前先确定函数的定义域．16、【解析】设，则，则．应填答案。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解析】

求导后对参量进行分类讨论，得到函数的单调性由极值点求出两根之和与两根之积，将二元转化为一元来求证不等式【详解】（1）由题意得，的定义域为，，①当时，，又由于，，故，所以在上单调递减；②当时，,,故，所以在上单调递增；③当时，由，解得，因此在上单调递减，在和上单调递增；综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）知，当时，有两个极值点，由，知，则，设，，，则在单调递增，即，则，即.求含有参量的函数的单调区间，运用导数进行分类讨论，得到在定义域内不同的单调性，在证明不等式时结合的根与系数之间的关系，进行消元转化为一元问题，从而证明出结果，本题综合性较强，有一定难度。18、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】

（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件消，令，转化证，即需证，这个不等式利用导数易证.【详解】（1），令，则在上恒成立，所以，在上单调递减，，，根据零点存在定理得，函数在存在唯一零点，当时，，所以在存在唯一零点；（2）因为，，所以，不妨设，因为，所以，，所以，，因为，，而要求满足的b的最大值，所以只需证明.所以（*）令，则，所以（*），令，则，所以在上单调递增，即综上，.本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，属难题.19、（1）；（2）【解析】

（1）由余弦定理，求得，即可求得.（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意知，即，在中，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，又b<a，所以，所以，所以，则.本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.20、（1）（2）【解析】

（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由判断出对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1），，(2)设，即，即在平面对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数对应的点为圆心，以为半径的圆的复数方程是：.21、(1)；(2)；(3).【解析】

写出二项式的通项公式.(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；(3)设出系数绝对值最大的项为第（r+1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.【详解】二项式的通项公式为：.(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；(2)奇数项的二项式系数和；(3)设系数绝对值最大的项为第（r+1）项,则,又,所以r=2.∴系数绝对值最大的项为．本题考查了二项式