江苏省姜堰区实验初中2025年高二下数学期末考试模拟试题含解析

江苏省姜堰区实验初中2025年高二下数学期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是()A． B．C． D．2．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B． C． D．3．已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（）A．数据的中位数为B．数据的众数为C．数据的平均数为D．数据的方差为4．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数 D．都是偶数6．若函数的图象与直线相切，则()A． B． C． D．7．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．8．设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．已知命题p：∃x0>0，使得(A．∀x≤0，总有(x+2)ex≥1 B．C．∀x>0，总有(x+2)ex≥1 D．11．设，，都为正数，那么，用反证法证明“三个数，，至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（）A．这三个数都不大于2 B．这三个数都不小于2C．这三个数至少有一个不大于2 D．这三个数都小于212．若，，，则实数，，的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则=______.14．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(q)为假命题，则实数m的取值范围是________.15．如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为________16．已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.18．（12分）如图，设△ABC的三个内角A、B、C对应的三条边分别为，且角A、B、C成等差数列，，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点.（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；（2）若，求角A的值.19．（12分）已知正项数列满足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设为数列的前项和，证明：.20．（12分）在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（a为参数）.现以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系.（1）设P为曲线C上到极点的距离最远的点，求点P的极坐标；（2）求直线被曲线C所截得的弦长.21．（12分）在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。(1)求点的轨迹的方程；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。22．（10分）已知,且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】很明显，且应满足当时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即，解得：，即实数的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．2、B【解析】

由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)，则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．3、D【解析】

利用中位数、众数、平均数、方差的性质求解．【详解】若数据的中位数为，众数为，平均数为,则由性质知数据的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故正确；则由方差的性质知数据的方差为4p,故D错误；故选D．本题考查中位数、众数、平均数、方差的应用，解题时要认真审题，是基础题．4、D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5、B【解析】

用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B.本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.6、B【解析】

设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。【详解】设切点为，则由题意知即解得或者故选B高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．7、D【解析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。8、D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．9、C【解析】

根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．【详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．10、C【解析】

原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【详解】∵命题p：∃x0∴¬p：∀x>0，总有(x+2)故选C本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．11、D【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答.详解：“三个数，，至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”，所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c至少有一个不小于m的否定是三个数都小于m.12、A【解析】

利用幂指对函数的单调性，比较大小即可.【详解】解：，，，∴，故选：A本题考查了指对函数的单调性及特殊点，考查函数思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、365【解析】分析：令代入可知的值，令代入可求得的值，然后将两式相加可求得的值．详解：中，令代入可知令代入可得，除以相加除以2可得.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键．14、.【解析】

根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．【详解】若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由ex﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.所以当p∨(q)为假命题时，m的取值范围是[0，1].故答案为：“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.15、【解析】

棱锥的体积转化为的体积，求出底面积与高，从而可得结果.【详解】到平面的距离是面对角线的一半，即，到直线的距离即到直线的距离，，，棱锥的体积等于的体积，本题主要考查锥体体积公式的应用，解题的关键是利用等积变换，将棱锥的底面积与高确定，属于基础题.16、【解析】

利用向量的坐标运算得出关于、、的方程组，解出即可得出的值.【详解】，，且，所以，解得，因此，.故答案为：.本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分别在、、三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为，分类讨论得到的图象，通过数形结合求得取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，，可得：当时，，解得：当时，，则无解综上所述：不等式的解集为：（Ⅱ）由方程可变形为：令，则作出函数的图象如下图所示：结合图象可知：，又，本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.18、（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）由题三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，结合内角和为，可以列出方程组，所以可以求出角，又已知，且三角形BCD的面积为，根据三角形面积公式可有，可以求出，在三角形BCD中，可以应用余弦定理求出CD边的长度；（2）在三角形BCD中，应用正弦定理：，所以可以求出，于是得到，所以，则，且DE为线段AC的垂直平分线，所以DA=DC，即三角形ADC为等腰直角三角形，所以可以求出A角的值。本题考查解利用正、余弦定理解三角形，要求学生掌握定理的基本应用。能够灵活的运用定理解决实际问题。试题解析：（1）∵角A,B,C成等差数列，，∴又∵△BCD的面积为，，∴，∴在△BCD中，由余弦定理可得（2）由题意，在△BCD中，，即，∴，则，即又DE为AC的垂直平分线，故考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）由题意，得，可求出；（Ⅱ）由，得与同号，可得，再由可得，问题得证；（Ⅲ）令，得，当时，由可得，再由可使问题得证.【详解】（Ⅰ）解：由题意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）证明：因为，且，所以与同号，…，与也同号.而，因此.又，所以.综上，有成立.（Ⅲ）证明：令，则，且.由，得到.于是当时，，又，因此，即.考虑，故，即.当时，也成立.综上所述，.本题考查了数列递推式，数列求和，考查了放缩法证明不等式，考查了推理能力和计算能力，属于难题.20、(1)(2)【解析】

(1)首先求出曲线C的直角坐标方程，再求出直线，故可求出另一交点，化为极坐标方程即为所求；（2）利用圆心到直线的距离公式即得答案.【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为：，圆经过坐标原点，因此，直线为：，与圆交于点，化为极坐标为，故点P的极坐标为；（2）直线的直角坐标方程为：，圆心到直线的距离，所截弦长为：.本题主要考查直角坐标，参数方程，极坐标方程之间的互化，直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度不大.21、（1）；（2）定值0【解析】

（1）解法一：设点的坐标为，可得出点，由，转化为，利用斜率公式计算并化简得出曲线的方程，并标出的范围；解法二：设点，得出，由知点在圆上，再将点的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线的方程，并标出的范围；（2）先求出点的坐标，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理计算出来证明结论成立。【详解】（1）解法一：设点，因为轴，为的中点，则，，所以，，即，化简得，所以，的方程为；解法二：依题意可知点的轨迹方程为，设点，因为轴，为的中点，所以，，所以，即，所以，的方程为；（2）依题意可知，设