天津市滨海新区大港八中2024-2025学年高二下数学期末学业质量监测模拟试题含解析

天津市滨海新区大港八中2024-2025学年高二下数学期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．以下四个命题，其中正确的个数有（）①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．42．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A． B． C． D．3．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，A．πR B．πR2 C．πR34．已知函数，则函数的单调递增区间是（）A．和 B．和C．和 D．5．有本相同的数学书和本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（）A． B． C． D．6．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．8．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．9．已知函数，则()A．32 B． C．16 D．10．已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．11．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A．48 B．72 C．90 D．9612．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆周长为，那么这个球的半径为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的弦的中点的横坐标为2，则的最大值为__________．14．函数的图象在点处的切线方程是_____________.15．如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______.16．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的__________条件三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.18．（12分）设函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）若，成立，求的取值范围.19．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.20．（12分）设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，.21．（12分）在中，角的对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面，，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B。2、B【解析】

根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3、C【解析】分析：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA,OB,OC,AC,BC，根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=2R2，由A,B两地经度差为90∘，在RtΔABC中算出AB=AC详解：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O连结OA,OB,OC,AC,BC，则OC⊥平面ABC，在RtΔACO中，AC=OACcos45∘∴A,B两地经度差为90∘，∴∠ACB=在RtΔABC中，AB=A由此可得ΔAOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=60∴A,B两地球面的距离是60πR180=π点睛：本题考查地球上北纬45∘圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题4、C【解析】

先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．【详解】函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．故选C本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．5、A【解析】由题意，故选A．点睛：本题是不相邻问题，解决方法是“插空法”，先把数学书排好（由于是相同的数学书，因此只有一种放法），再在数学书的6个间隔（含两头）中选3个放语文书（语文书也相同，只要选出位置即可），这样可得放法数为，如果是5本不同的数学书和3本不同的语文书，则放法为．6、D【解析】

选项逐一分析，得到正确答案.【详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；C.正确，因为平面内存在直线，使，若，则，则；D.不正确，有可能.故选D.本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.7、A【解析】

求导，根据导函数的性质解题。【详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。8、A【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．9、B【解析】

根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.【详解】本题正确选项：本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.10、A【解析】很明显，A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，则：，点A在双曲线上，则：，据此可得：，结合可得双曲线的离心率为.本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．11、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．12、B【解析】

解:二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤1，当AB过焦点F时取最大值为1．14、【解析】

首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数值，然后用点斜式求出方程即可.【详解】，∴且，切线方程是，即．本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.15、【解析】

利用绝对值三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果.【详解】由绝对值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即当时，不等式显然成立；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为.故答案为：.本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.16、充分不必要【解析】分析：由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断。详解：线线平行的性质定理：平面α，直线m，n满足mα，nα，若则线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，过这条直线作一个平面与这个平面交线，那么直线和交线平行。故为充分不必要条件分析：线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线的距离，.本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.18、（1），（2）【解析】

（1）求导，分析导函数零点和正负，即得解.（2）由于，转化为：，成立，参变分离，分，，三种情况讨论，即得解.【详解】解：（1）当时，，或在和上单调增，在上单调减（2）设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，当时，令，，则；当时；当，，令，关于单调递增，则，则，于是.又当时，，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，，于是，当时，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，分类讨论，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.19、(1).(2).【解析】分析：（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可.详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，，，综上所述.(2)当时，令由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，.点睛：本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力.20、（1）的单调递减区间为；的单调递增区间为；（2）；（3）见解析．【解析】【试题分析】（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得：，再构造函数，，求导得，借助，推得，从而在上单调递减，，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时，恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有：解：（1））当时，则，令得，所以有即时，的单调递减区间为；的单调递增区间为.（2）由，分离参数可得：，设，，∴，又∵，∴，则在上单调递减，∴，∴即的取值范围为.（3）证明：等价于设，∴，由（2）知时，恒成立，所以，∴恒成立∴在上单调递增，∴，因此时，有.点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数，，求导得，借助，推得，从而在上单调递减，，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时，恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立。21、（1）（2）【解析】

（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.【详解】解：（1）因为，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以.设，则，所以.在中，由余弦定理得，得，即，整理得，解得.所以.本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22、(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）根据菱形的性质以及线面垂直的性质可推导出，，从而得到，由此证明平面，从而得到；（2）分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出求出平面与平面的向量法