四川省眉山多悦高中2025届数学高二下期末综合测试试题含解析

四川省眉山多悦高中2025届数学高二下期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，记项的系数为，则＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．2102．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上三种情况都可能3．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．4．若直线的倾斜角为，则（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在5．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．6．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．27．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）A．24对 B．30对 C．48对 D．60对8．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，可用于对研究对象的多维分析)A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲10．已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有6个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．11．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项 B．项 C．项 D．项12．已知单位向量的夹角为，若，则为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知可导函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为__________．14．在棱长为的正方体中，是棱的中点，则到平面的距离等于_____.15．已知复数满足（是虚数单位），则______．16．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人同意不同意合计高一2高二4高三1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.18．（12分）已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．21．（12分）已知函数，其中为常数.（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程；（2）若，求函数在上的值域.22．（10分）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点在线段PQ上.设，试求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【详解】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故选C．本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．2、B【解析】

由于为三角形内角，故，所以，即为钝角，三角形为钝角三角形，故选B.3、A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.4、C【解析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角.详解：直线x=1的倾斜角为故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率.5、C【解析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=,故选C.考点：独立事件，事件的关系与概率.6、C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.7、C【解析】试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.8、C【解析】

函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.【详解】函数关于轴对称的解析式为，函数，两个函数的图象如图所示：若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，所以，故选C.本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.9、D【解析】

根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.10、D【解析】

函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点等价于当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，即可即m=f（x）有3个不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范围．【详解】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①当0<x＜2时，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时有最大值，即为f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域为（﹣2，]，②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m＜0时，当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，故当﹣＜m＜0时，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D.(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法.11、D【解析】

分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.12、C【解析】，，与夹角为，且，为直角三角形，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据为奇函数得到关于对称，，关于对称，所以关于对称，计算得到答案.【详解】函数为奇函数关于对称函数满足关于对称关于对称恰有个零点所有这些零点之和为：故答案为：本题考查了函数的中心对称，找出中心对称点是解题的关键.14、【解析】

由题意画出正方体，求出的面积，利用等体积法求解到平面的距离.【详解】由题意，画出正方体如图所示，，点是中点，所以，在中，，，，所以，，所以，设到平面的距离为，由，得，解得，.故答案为：本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题.15、【解析】

利用复数的除法运算化简，进而求得.【详解】依题意，故故答案为：.本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.16、126【解析】

根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后填表格，最后根据“同意的”比例求所有学生中“同意”的人数.【详解】一共人，抽样比高一学生：人，高二学生：人，高三学生人，同意不同意合计高一325高二246高三112同意的共有6人，同意的共有人.故答案为：126本题考查分层抽样和统计的初步知识，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.详解：（1）；(2)因为右焦点,当直线的斜率不存在时其方程为，因此，设，则，所以且，所以，，因此，直线和的斜率是成等差数列.当直线的斜率存在时其方程设为，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因为，所以有,因此，直线和的斜率是成等差数列，综上可知直线和的斜率是成等差数列.点睛：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转化思想方法，考查计算能力与解决问题的能力.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．【详解】（1）定义域为：，当时，.∴在时为减函数；在时为增函数.（2）记，则在上单增，且.∴.∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.20、（1）（2）【解析】试题分析:（1）由可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程代入圆C方程，再根据参数几何意义得，最后根据韦达定理求的值．试题解析：（1）；（2）直线的参数方程代入圆C方程得．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(