江苏溧阳市2025届高二下数学期末联考模拟试题含解析

江苏溧阳市2025届高二下数学期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－82．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则（）A． B． C． D．4．已知数列的通项公式为，则（）A．-1 B．3 C．7 D．95．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知的分布列为-101设，则的值为（）A．4 B． C． D．17．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（）A． B． C． D．8．已知，若将其图像右移个单位后,图象关于原点对称，则的最小值是()A． B． C． D．9．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为A． B． C． D．10．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A．96,80 B．100,76 C．98,78 D．94,8211．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A． B． C． D．12．函数(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，分别是角，，所对的边，且，则的最大值为_________．14．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为_______________.15．函数是上的单调递增函数，则的取值范围是______.16．若实数x，y满足，则的最大值为__________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数过点．（Ⅰ）求函数的极大值和极小值．（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．18．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？19．（12分）某班要从6名男生4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数结果用数字作答．（1）所安排的男生人数不少于女生人数；（2）男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表；（3）女生乙必须担任数学课代表，且男生甲必须担任课代表，但不能担任语文课代表．20．（12分）已知的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为．（1）求；（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是的指数为整数的项）．21．（12分）已知函数，．（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）记表示中的最小值，若函数在内恰有一个零点，求实的取值范围．22．（10分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.2、D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，

∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；

在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；

在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；

在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．3、A【解析】

由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案。【详解】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.综合两方面可知．则函数的解析式为，结合函数图形，因为，当时，，结合图象可知则，故选A．本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题。4、C【解析】

直接将代入通项公式，可得答案.【详解】数列的通项公式为.所以当时，.故选：C本题考查求数列中的项，属于基础题.5、B【解析】

由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【详解】，因为，所以.本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量，具有线性关系，直接利用公式能使运算更简洁.7、B【解析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件．

则由题意知，所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．

故选：B．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．8、C【解析】

利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【详解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）（x∈R），若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的图象；若所得图象关于原点对称，则﹣φkπ，k∈Z，故φ的最小值为，故选：C．本题主要考查两角和差的三角公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．9、A【解析】

根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果．【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，，所以，故答案选A．本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算，特别要注意的求法．10、C【解析】

流程图的作用是求出的一个解，其中且为偶数，逐个计算可得输出值.【详解】执行程序：，，，故输出的分别为98,78.故选C.本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题.11、C【解析】

计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.12、B【解析】

根据零点存在性定理，即可判断出结果.【详解】因为，所以，，，所以，由零点存在定理可得：区间内必有零点.故选B本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理边化角化简可求得,则有,则借助正弦函数图象和性质即可求出.【详解】因为，所以，所以．所以，因为，所以当时，取得最小值．故答案为:.本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.14、【解析】试题分析：的定义域为，由，得，所以.①若，由，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以是的极大值点；②若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合①②：的取值范围是，故答案为.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值.15、【解析】

在和分别保证对数型函数和一次函数单调递增；根据函数在上单调递增，确定分段处函数值的大小关系；综合所有要求可得结果.【详解】当时，若原函数为单调递增函数，则；当时，若原函数为单调递增函数，则，解得：；为上的单调递增函数，，解得：；综上所述：的取值范围为.故答案为：.本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略函数在分段函数分段处函数值的大小关系，造成范围求解错误.16、3【解析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，取得最大值3。故答案为：3。本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)的极大值,极小值(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得，根据导函数的符号判断出函数的单调性，结合单调性可得函数的极值情况．（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，再根据和的大小求出即可．试题解析：（Ⅰ）∵点在函数的图象上，∴，解得，∴，∴，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．∴当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为．（Ⅱ）由（I）可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴，又，，∴．18、（I）1617182212122（II）2（III）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，2，21，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤2）=．由此能确定满足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=．求出买2个所需费用期望EX1和买21个所需费用期望EX2，由此能求出买2个更合适试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，11，11的概率分别为1．2，1．4，1．2，1．2，从而；；；；；；．所以的分布列为1617182212122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为2．（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当时，．当时，．可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．考点：离散型随机变量及其分布列19、（1）；（2）；（3）1008.【解析】

（1）根据男生人数不少于女生人数，分三种情况讨论：选出5人中有5个男生，选出5人中有4名男生、1名女生，选出5人中有3名男生、2名女生，再全排列即可.（2）从剩余9人中选出4人，安排甲担任另外四科课代表，剩余四人全排列即可.（3）先安排甲担任另外三科的课代表，再从剩余8人中选择3人并全排列即可得解.【详解】（1）根据题意，分3种情况讨论：，选出的5人全部是男生，有种情况，，选出的5人中有4名男生、1名女生，有种情况，，选出的5人中有3名男生、2名女生，有种情况，则男生人数不少于女生人数的种数有种；（2）根据题意，分3步分析：，在其他9人中任选4人，有种选法，，由于甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他4科的课代表，有种选法，，将其他4人全排列，担任其他4科的课代表，有种情况，则有种安排方法；（3）根据题意，分3步分析：，由于女生乙必须担任数学课代表，甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他3科的课代表，有种选法，，在其他8人中任选3人，有种选法，，将其他3人全排列，担任其他3科的课代表，有种情况，则有种安排方法．本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.20、（1）（2）有理项是展开式的第1，3，5，7项，详见解析【解析】

根据二项式展开式的通项公式中的二项式系数求出，再由通项求出有理项.【详解】解：（1）由题设知，解得.（2）∵，∴展开式通项，∵且，∴只有时，为有理项，∴有理项是展开式的第1，3，5，7项.本题考查二项式的展开式的特定项系数和特定项，属于中档题.21、（1）；（2）【解析】

（1）利用分离参数，并构造新的函数，利用导数判断的单调性，并求最值，可得结果.（2）利用对的分类讨论，可得，然后判断函数单调性以及根据零点存在性定理，可得结果.【详解】（1）由，得，令，当时，，，；当时，，，，∴函数在上递减，在上递增，，，∴实数的