湖南省湘南联盟2025届数学高二下期末联考模拟试题含解析

湖南省湘南联盟2025届数学高二下期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．把四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种2．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（）A． B．C． D．3．下列命题中：①“x>y”是“x②已知随机变量X服从正态分布N3，  ③线性回归直线方程y=bx+④命题“∃x∈R，x2+x+1>0其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心、为半径的圆与轴交于两点，与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．以下四个命题，其中正确的个数有（）①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．46．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．7．若等比数列的各项均为正数，，，则（）A． B． C．12 D．248．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是()A． B．C． D．9．是虚数单位,复数的共轭复数(

)A． B． C． D．10．若X是离散型随机变量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．311．一个盒子里有6支好晶体管，5支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（）A．23B．512C．712．展开式中x2的系数为（）A．15 B．60 C．120 D．240二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为的展开式中含项的系数，为的展开式中二项式系数的和，则能使成立的的最大值是________．14．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.15．有个元素的集合的3元子集共有20个，则=_______.16．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18．（12分）已知椭圆的离心率为，顺次连接椭圆的四个顶点，所得到的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设不垂直于坐标轴的直线与相交于两个不同的点，且直线的斜率成等比数列，求线段的中点的轨迹方程.19．（12分）已知函数，，（其中为自然对数的底数，…）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（3）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一点（不与、点重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函数（I）求在（为自然对数的底数）处的切线方程.（II）求的最小值.22．（10分）已知函数（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先从4个球中选2个组成复合元素，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子，即可得出答案.【详解】从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.本题主要考查了排列与组合的简单应用，属于基础题.2、D【解析】

把用替换后两者比较可知增加的式子．【详解】当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．3、B【解析】

①充要条件即等价条件，不等价则不充要；②根据正态分布的特征，且μ=3，得到P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)，判断其正确；③根据回归直线的特征，得出其正确；④写出命题p的否定¬p，判定其错误；最后得出结果.【详解】对于①，由x>y≥0，可以推出x2>y2，充分性成立，x2对于②，根据题意得P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)=1-0.72=0.28，所以②正确；对于③，根据回归直线一定会过样本中心点，所以③正确；对于④，命题“∃x∈R，x2所以正确命题有两个，故选B.该题考查的是有关判断命题的正误的问题，涉及到的知识点有充要条件，正态分布，含有一个量词的命题的否定，回归直线方程的特征，属于简单题目.4、B【解析】

取的中点，利用点到直线距离公式可求得，根据可得，从而可求得渐近线方程.【详解】如图，取的中点，则为点到渐近线的距离则又为的中点，即：故渐近线方程为：本题正确选项：本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到之间的关系.5、B【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B。6、C【解析】

没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案.【详解】A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；B.集合由满足条件的上的点组成，不是空集，故不正确；C.，解得：或，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；D.满足不等式的解为，所以集合表示，故不正确.故选：C本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.7、D【解析】

由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．【详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，，所以，所以．所以，故选D．本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．8、A【解析】

先将不等式转化为，然后构造函数，只要小于的最大值即可【详解】解：由，得，令，则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，取最大值，所以故选：A此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题9、B【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简z，再由共轭复数的概念得到答案.【详解】因为，所以，故选B.该题考查的是有关复数的共轭复数问题，涉及到的知识点有复数的除法运算法则，复数的乘法运算法则，以及共轭复数，正确解题的关键是灵活掌握复数的运算法则.10、C【解析】

本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【详解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.11、D【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为59考点：等可能事件的概率．12、B【解析】

∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】

由题意可得，An＝＝，，若使得An≥Bn，即n（n+1）≥2n，可求.【详解】∵（1+x）n+1的展开式的通项为Tr+1，由题意可得，An＝＝，又∵为的展开式中二项式系数的和，∴，∵An≥Bn，∴，即n（n+1）≥2n当n＝1时，1×2≥2，满足题意；当n＝2时，2×3≥22，满足题意；当n＝3时，3×4≥23，满足题意；当n＝4时，4×5≥24，满足题意；当n＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n≥5时，n（n+1）＜2n，∴＝4.故答案为4本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．14、【解析】

由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.【详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点：，所以概率故得解．本题考查古典概型，属于基础题.15、6【解析】

在个元素中选取个元素共有种，解=20即可得解.【详解】在个元素中选取个元素共有种，解=20得，故答案为6.本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.16、1；【解析】

分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意，，，∴．故答案为1．本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．详解：（1）∵①当时，，∴当时，②由①-②得：∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴（2）∵∴点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18、（1）；（2），.【解析】

（1）由椭圆离心率和四边形的面积公式，求出和的值，即可求得椭圆的方程；（2）若设直线，，则由直线的斜率成等比数列，得，再结合根与系数的关系，可求出的值.【详解】（1），四边形的面积，，椭圆（2）设直线，联立，消去得：由，得，，或（a）当时，直线过原点，关于原点对称，故线段的中点即为原点；（b）当时，，设则消去，将代入得注意到判别式，故，所以综合（a）（b），所求轨迹方程为，或者写为，此题考查的是椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.19、（1）极大值为-1，最小值为（2）（3）【解析】

（1）当时，利用函数导数，求得函数的单调区间，并求出极大值和极小值.（2）对求导后，令导数大于或等于零，对分成三类，讨论函数的单调区间，由此求得取值范围.（3）构造函数，利用导数求得函数的最小值，令这个最小值大于或等于零，解不等式来求得的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，当或时，，函数在区间，上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.（2），令，依题意，函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立.当时，显然成立；当时，在上单调递增，只须，即，所以.当时，在上单调递减，只须，即，所以.综上，的取值范围为.（3），即，令=，因为，所以只须，令，，，因为，所以，所以，即单调递增，又，即单调递增，所以，所以，又，所以.本小题主要考查利用导数求具体函数的单调区间以及极值，考查利用导致求解参数的取值范围问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题.综合性较强，属于难题.利用导数研究函数的性质，主要是通过导数得出函数的单调区间等性质，结合恒成立问题或者存在性问题的求解策略来解决较为复杂的问题.20、(1)(2)【解析】

（1）由平面可得，从而得到.（2）以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面，平面,平面平面，所以，所以，因为，所以.所以.（2）解：以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点.则.设平面的一个法向量为，则，即，得.令，得；易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.故二面角的余弦值为.线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21、（I）；（II）【解析】

（I）对函数求导，把分别代入导数与原函数中求出，，由点斜式即可得到切线方程；（II）求出函数的定义域，分别令导数大于零和小于零，结合定义域，解出的范围即可得到函数的单调区间，由此求出的最小值。【详解】（I），故，又故在处的切线方程