江西省吉安市安福中学2025届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

江西省吉安市安福中学2025届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则等于（）A． B． C． D．2．若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．3．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A． B． C． D．4．定义函数为不大于的最大整数，对于函数有以下四个命题：①；②在每一个区间，上，都是增函数；③；④的定义域是，值域是.其中真命题的序号是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A． B．平面C． D．平面6．在中，,则（）A． B． C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为A． B． C． D．8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种 B．30种 C．40种 D．60种9．中，边的高为，若，，，，，则（)A． B． C． D．10．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．11．函数y=12A．(0,1) B．(0,1)∪(-∞,-1) C．(-∞,1) D．(-∞,+∞)12．若（为虚数单位），则=（）A．1 B． C．2 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数有两个极值点，其中,，且，则方程的实根个数为________个.14．已知集合，，若，则实数的取值范围是_______.15．如图所示的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列.在此表中，数字“121”出现的次数为___________.234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………16．已知函数，使在上取得最大值3，最小值-29，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F1的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F2MN；（1）求椭圆的标准方程（2）求圆E半径的最大值18．（12分）已知命题：对，函数总有意义；命题：函数在上是增函数.若命题“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：20．（12分）已知f(x)=12sin（1）求fx（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC=f(x)max，BC=f(x)min21．（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：集合，,，，故选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.2、C【解析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.3、A【解析】

根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.【详解】由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直线方程为，即.故选A本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.4、D【解析】

画出函数的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假.【详解】画出的图象，如图所示，可知是最小正周期为1的函数，当时，，可得，①正确；由图可知，在每一个区间，上，都是增函数，②正确；由图可知，的定义域是，值域是，④正确；由图可知，，③是错误的.真命题的序号是①②④，故选D.本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5、C【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．

故选C．本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6、B【解析】

先根据求得，进而求得，根据余弦定理求得以及，由此求得.【详解】由于，所以且为锐角，所以.由余弦定理得.故.所以.故选B.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数量积的运算，属于中档题.7、C【解析】分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．∴．故选C．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．8、A【解析】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．9、D【解析】

试题分析：由，，可知10、A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.11、A【解析】

试题分析：令f'x=x-考点：函数的单调区间.12、A【解析】

根据复数的除法运算，化简得到，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数满足，则，所以，故选A.本题主要考查了复数的运算，以及复数模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据有两个极值点可知有两个不等正根，即有两个不等正根，从而可得；采用换元的方式可知方程有两个不等实根，从而可将问题转化为与和共有几个交点的问题；通过确定和的范围可确定大致图象，从而通过与和的交点确定实根的个数.【详解】有两个极值点有两个不等正根即有两个不等正根且，令，则方程的判别式方程有两解，且，由得：，又且根据可得简图如下：可知与有个交点，与有个交点方程的实根个数为：个本题正确结果：本题考查方程解的个数的求解问题，解决此类问题常用的方法是将问题转化为曲线与平行于轴直线的交点个数问题，利用数形结合的方法来进行求解；本题解题关键是能够确定极值的大致取值范围，从而确定函数的图象.14、【解析】

根据，确定参数的取值范围.【详解】若满足，则.故答案为：本题考查根据集合的包含关系，求参数的取值范围，属于简单题型.15、1【解析】

第1行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，求出通项公式，可求出结果．【详解】根据题意，第行第列的数记为．那么每一组与的组合就是表中一个数．

因为第一行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，

所以，

所以第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以．

令.

则，则120的正约数有4×2×2=1个.所以121在表中出现的次数为1次故答案为：1．本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用,和正约数的个数的求解，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，16、3【解析】分析：求函数的导数，可判断在上的单调性，求出函数在闭区间上的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的的导数，，由解得，此时函数单调递减.由，解得或，此时函数单调递增.即函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得极大值同时也是最大值，则，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据椭圆上点与的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知，所以.故椭圆的标准方程为；（2）由条件不为，设交椭圆于，设圆的半径为，由可得，即令，（），则当时，.本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.18、【解析】

由对数函数的性质，我们可以得到为真时，的取值范围；根据导数的符号与函数单调性的关系及基本不等式，我们可以求出为真时的取值范围；而根据“”为真且命题“”为假，可得真假，或假真，求出这两种情况下的的取值范围再求并集即可．【详解】解：当为真命题时，解得当为真命题时，在上恒成立，即对恒成立.又，当且仅当时等号成立，所以，所以.因为命题“”为真命题且命题“”为假命题，所以命题与命题一个为真一个为假当真假时，有解得当假真时，有解得综上，实数的取值范围是本题考查的知识点是对数函数的性质，恒成立问题，导数法确定函数的单调性，复合命题的真假，属于中档题.19、（1）1；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为，所以，则,所以的值为1．(2)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．因为要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．则在上递减,上递增,所以的最小值为．因为,当时,,则,所以恒成立．所以,所以，得证．20、(1)f(x)max【解析】

（1）先利用二倍角公式以及辅助角公式化简fx，再根据正弦函数性质求最值，（2）先根据正弦定理得AD=2BD，再根据余弦定理列方程解得cos1【详解】（1）f(x)=12=3∵f