广东省深圳市南山区2025届数学高二下期末考试试题含解析

广东省深圳市南山区2025届数学高二下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．2．设a=log20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a3．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（）A．40 B．28 C．24 D．164．若复数满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．5．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．6．已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．设，复数，则在复平面内的对应点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.459．变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）模型12340.480.150.960.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型410．已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，有以下命题：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（）A．66种 B．36种 C．30种 D．24种12．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是上一点，当二面角为时，（）A． B． C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则=_____14．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____15．“”的否定是__________．16．如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为的正三角形，俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧而积为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图直线经过圆上的点，OA=OB，CA=CB，圆交直线于点、，其中在线段上，连接、.（1）证明：直线是圆的切线；（2）若，圆的半径为，求线段的长.18．（12分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在的最大值为2，求a的值.19．（12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足不等式的实数的取值范围.20．（12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.21．（12分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，是中点，求的长.22．（10分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入（单位百元）频数赞成人数（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为“月收入以元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于百元的人数月收入低于百元的人数合计赞成__________________________________________不赞成__________________________________________合计__________________________________________（2）若对在、的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中不赞成“楼市限购令”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：，其中.参考值表：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设，根据已知可得，由，得到，结合双曲线的定义，得出，再由已知求出，即可求解.【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为.故选：D本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.2、A【解析】

求出三个数值的范围，即可比较大小.【详解】，，，，，的大小关系是：.故选：A.对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．3、B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.4、A【解析】

根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【详解】由题意得：本题正确选项：本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.5、A【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.6、D【解析】

先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.【详解】.由题意，在上有四个不同的实根.令，得或，即或.直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.据题意是，解得.故选D.本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.7、C【解析】

在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得,在复平面内的对应点为.当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.8、A【解析】

试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．9、C【解析】分析：根据相关系数的性质，最大，则其拟合效果最好，进行判断即可．详解：线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；

越小，相关程度越小，

∵模型3的相关系数最大，∴模拟效果最好，

故选：A．点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小．10、C【解析】

首先利用导数的几何意义及函数过原点，列方程组求出的解析式，则命题①得到判断；然后令，求出的极值点，进而求得的最值，则命题②③得出判断．【详解】∵函数的图象过原点，∴．又，且在处的切线斜率均为，∴，解得，∴．所以①正确．又由得，所以②不正确．可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极大值为，极小值为，又，∴，∴的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．综上可得①③正确．故选C．本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．11、C【解析】

根据分步乘法计数原理，第一步先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，第二步将3组员工安排到3个不同的岗位。【详解】解：由题意可得，完成这件事分两步，第一步，先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，共有种，第二步，将3组员工安排到3个不同的岗位，共有种，∴根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种，故选：C．本题主要考查计数原理，考查组合数的应用，考查不同元素的分配问题，通常用除法原理，属于中档题．12、A【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由于，所以，即，又平面的一个法向量是且，解之得，应选答案A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】抽取次品数满足超几何分布：，故，，，其期望，故.14、【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.15、【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.16、8【解析】

首先根据三视图转换成立体图形，进一步利用几何体的侧面积公式求出结果．【详解】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2，高为的正四棱锥．如图四棱锥

所以：正四棱锥的侧面的高为：，

则正四棱锥的侧面积为：．

故答案为8.本题考查的知识要点：三视图和立体图形之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）5.【解析】试题分析：（1）若要证明AB为圆O的切线，则应连接OC，证明OC⊥AB，根据题中条件，OA=OB得三角形OAB为等腰三角形，再由CA=CB，即C为AB中点，因此OC⊥AB，又C在圆O上，所以AB为圆O的切线。本问考查圆的切线的证明，一是证明垂直，二是说明点在圆上，就可以证明是圆的切线了。（2）直线是圆的切线，.又，可以证明，可以得出对应线段成比例，，又根据，故.设，则，又，故，即.从而可以求出x的值，即BD的长，OA=OB=OD+DB,就可以求出OB的长度。试题解析：（1）连结.又是圆的半径，是圆的切线.（2）直线是圆的切线，.又，，则有，又，故.设，则，又，故，即.解得，即..考点：1.圆的相关证明；2.三角形相似18、（1）见解析（2）【解析】

（1）由导数求出的最大值即可证；（2）求出导函数，分类讨论确定的正负，得的单调性及最大值后可得．【详解】解：（1）的定义域为，当时，，.令，得，令，得；所以在单调递增，在单调递减.所以，即.（2），（i）当时，在单调递增，它的最大值为，所以符合题意；（ii）当时，在单调递增，在单调递减，它的最大值为，解得（不合，舍去）；（iii）当时，在单调递减，它的最大值为，所以（不合，舍去）；综上，a的值为.本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值等问题，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，体现综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注.19、（1）为奇函数；证明见解析（2）【解析】

（1）显然,再找到与的关系即可；（2）由可得,进而求解即可.【详解】（1）是奇函数；证明:因为,所以.所以为奇函数（2）解:由不等式,得,整理得,所以,即本题考查函数奇偶性的证明,考查解含指数的不等式,考查运算能力.20、（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．21、（1）（2）【解析】

（1）通过正弦