青岛三中2025年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

青岛三中2025年数学高二第二学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆与圆的公切线有几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．3．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.A．18 B．20 C．24 D．304．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件5．下列等式不正确的是（）A． B．C． D．6．从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为()A． B．C． D．7．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆+y2=1和双曲线-y2=1，P是它们的一个交点，则ΔF1PF2的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝有三角形 D．等腰三角形8．已知集合，，在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为（）A． B． C． D．9．已知集合，，则为（）A． B． C． D．10．函数的极值情况是（）．A．有极大值，极小值2 B．有极大值1，极小值C．无极大值，但有极小值 D．有极大值2，无极小值11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A． B． C． D．12．在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进行了调查:知情人士A说,他可能是四川人,也可能是贵州人；知情人士B说,他不可能是四川人；知情人士C说,他肯定是四川人；知情人士D说,他不是贵州人.警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是（）A．四川 B．贵州C．可能是四川,也可能是贵州 D．无法判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值_____．14．某人进行射击训练，射击一次命中靶心的概率是0.9，各次射击相互独立，他连续射击3次，则“第一次没有命中靶心后两次命中靶心”的概率是______.15．若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．16．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线l被圆C截得的弦长为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）若函数在上有唯一零点，证明：.18．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，且，，，O为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.19．（12分）已知函数.（1）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围；（2）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，点在上，平面平面.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.21．（12分）已知（1）求；（2）若，求实数的值.22．（10分）小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.【详解】圆，圆心，，圆,圆心，，圆心距两圆外切，有3条公切线.故选C.本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.2、C【解析】

利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象．【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；当时，，则，排除A选项；又，排除B选项．故选C．本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题．3、A【解析】

分类：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【详解】若人中有人是男生，则有种；若人都是男生，则有种；则共有种选法.排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.4、C【解析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.5、A【解析】

根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．【详解】A，根据组合数公式，，A不正确；B，，故B正确；C，故C正确；D，故D正确；故选：．本题考查排列组合数公式的计算，要牢记公式，并进行区别，属于基础题．6、C【解析】

先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．【详解】图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M取自图中阴影部分的概率为．故选C．本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．7、B【解析】根据椭圆和双曲线定义：又；故选B8、D【解析】

利用线性规划可得所在区域三角形的面积，求得圆与三角形的公共面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】表示如图所示的三角形，求得，，点到直线的距离为，所以，既在三角形内又在圆内的点的轨迹是如图所示阴影部分的面积，其面积等于四分之三圆面积与等腰直角三角形的面积和，即为，所以在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为，故选D.本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9、A【解析】

利用集合的交集运算进行求解即可【详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等10、A【解析】

求导分析函数导数的零点,进而求得原函数的单调性再判断即可.【详解】由题,函数定义域为,,令有.故在上单调递增,在上单调递减.在上单调递减,在上单调递增.且当时,；当时,故有极大值,极小值2.故选：A本题主要考查了函数极值的求解,需要求导分析单调性.同时注意函数在和上分别单调递减.属于基础题.11、B【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴常为,故选B.12、A【解析】

先确定B,C中必有一真一假，再分析出A,D两个正确，男孩为四川人.【详解】第一步,找到突破口B和C的话矛盾,二者必有一假.第二步,看其余人的话,A和D的话为真,因此男孩是四川人.第三步,判断突破口中B,C两句话的真假,C的话为真,B的话为假,即男孩为四川人.故选：A本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到的最小值.【详解】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，圆的圆心坐标为，半径为，所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即.本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把的最小值转化为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.14、0.081.【解析】分析:根据题意三次射击互相独立，故概率为：详解：射击一次命中靶心的概率是0.9，各次射击相互独立，第一次没有命中靶心后两次命中靶心的概率为：故答案为：0.081.点睛：这个题目考查了互相独立事件的概率的计算，当A，B事件互相独立时，.15、【解析】

由题意可得当x=时，4x=log2ax，由此求得a的值．【详解】∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，则当x=时，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案为．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．16、2【解析】分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C截得的弦长.详解：由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.则圆心到直线的距离d=，故弦长=.故答案为2.点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析【解析】

（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数的最小值转化即可。【详解】（1）的定义域为，∵，当时，，为减函数；当时，，为增函数，∴有极小值，无极大值，故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，∴有唯一解，令，则令，则，当时，，故函数为增函数，又，，∴在上存在唯一零点，则，且，当时，，当时，，∴在上有最小值.ly，∴.本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.18、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)连结,推导出,由此能证明平面.(2)利用等体积法求距离即可.【详解】(1)证明:连结,四棱锥的底面是菱形,且，,,O为AB的中点...平面.(2)在中,,则,,.故点B到平面的距离.本题考查线面垂直的判断定理,考查等体积法求点到面的距离,难度一般.19、（1）或；（2）.【解析】

（1）求出函数图象的对称轴，根据二次函数的单调性求出的范围即可；（2）问题转化为对任意恒成立，设，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可.【详解】(1)的对称轴的方程为，若函数在上具有单调性，所以或，所以实数的取值范围是或.（2）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当，即时，，此时无解，当，即时，，此时，当，即时，，此时，综上.该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，需要对二次函数的性质比较熟悉，再者要注意单调包括单调增和单调减，另外图像落在直线的下方的等价转化，恒成立问题要向最值靠拢.20、（1）详见解析（2）【解析】

（1）在平面内知道两条相交直线与垂直，利用判定定理即可完成证明；（2）通过辅助线，将与平行四边形关联，从而计算出长度，然后即可求解三棱锥的体积.【详解】解：（1）平面，，又四边形为正方形，，且，平面，为的中点，，且，平面；（2）作于，连接，如图所示：平面平面，面，由（1）知平面，，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四边形为平行四边形，为的中点，，本题考查立体几何中的线面垂直关系证明以及体积计算，难度一般.计算棱锥体积的时候，可以采取替换顶点位置的方式去计算，这样有时候能简化运算.21、（1）；（2）【解析】分析：（1）化简复数为代数形式后，再结合复数模的公式，即可求解；（2）化简复数z为1+i，由条件可得a+b+（a+2）i=1﹣i，解方程求得a，b的值．详解：（1）化简得（2）解得点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.22、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×