镇江市重点中学2025年数学高二下期末学业质量监测试题含解析

镇江市重点中学2025年数学高二下期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．2．已知随机变量服从正态分布，则等于（）A． B． C． D．3．已知，为的导函数，则的图象是（）A． B．C． D．4．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（）A． B． C． D．5．的展开式的中间项为（）A．24 B．-8 C． D．6．已知函数若关于的方程有7个不等实根，则实数的取值范围是()A． B． C． D．7．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．8．二项式的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．29．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.A．18 B．20 C．24 D．3010．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．11．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()A． B． C． D．12．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，再将电子元件放回.重复次这样的试验，那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为________．14．设函数的定义域为，若对于任意，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为_______________.15．设复数满足，则＝__________.16．已知圆锥的底面面积为，母线长为5，则它的侧面积为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）令，当时，求实数的取值范围；（2）令的值域为，求实数的取值范围；（3）已知函数在，数集上都有定义，对任意的，当时或成立，则称是数集上的限制函数；令函数，求其在上的限制函数的解析式，并求在上的单调区间．18．（12分）现在很多人喜欢自助游,2017年孝感杨店桃花节，美丽的桃花风景和人文景观迎来众多宾客.某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在孝感桃花节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节大量游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.附:19．（12分）已知函数是奇函数．（1）求；（2）若，求x的范围．20．（12分）如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．21．（12分）甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．22．（10分）大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近天的日需求量（单位：千克），整理得下表：日需求量频数以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.（1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列；（2）若该超市一天购进水果千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列及其数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：．本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．2、D【解析】

根据正态分布的性质求解.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以分布列关于对称，又所有概率和为1，所以.故选D.本题考查正态分布的性质.3、A【解析】

先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．4、A【解析】

计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可.【详解】由已知易得：，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率故选：A本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5、C【解析】

由二项式展开式通项公式，再由展开式的中间项为展开式的第3项，代入求解即可.【详解】解：的展开式的中间项为展开式的第3项，即，故选：C.本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了展开式的中间项，属基础题.6、C【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f（x）的范围，然后利用二次函数的性质求解a的范围．详解：函数的图象如图：关于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7个不等的实数根，f（x）=1有3个不等的实数根，∴f（x）=﹣a必须有4个不相等的实数根，由函数f（x）图象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故选：C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．7、D【解析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.8、A【解析】

利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．【详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，则T6=××a2x2．∵x2的系数为，∴×a2=，解得a=2．则x2dx=x2dx==．故选：A．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加9、A【解析】

分类：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【详解】若人中有人是男生，则有种；若人都是男生，则有种；则共有种选法.排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.10、B【解析】

设球心到平面的距离为，求出外接球的半径R=,再根据求出，再根据求三棱锥的体积.【详解】设球心到平面的距离为，三棱锥外接圆的表面积为，则球的半径为，所以，故，由是的中点得：.故选B本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11、D【解析】

由于和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．【详解】点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D．本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．12、B【解析】

取出的个电子元件中有个正品，个次品的概率，重复次这样的试验，利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式能求出“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率【详解】从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，再将电子元件放回，取出的个电子元件中有个正品，个次品的概率，重复次这样的试验，那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是：.故选：B本题考查了次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：设根据题意可得函数在R上单调递减，然后根据可得，最后根据单调性可求出x的取值范围．设，，即函数F（x）在R上单调递减，，而函数F（x）在R上单调递减，，即，故答案为考点：导数的运算；其它不等式的解法14、.【解析】

分析：根据题意知函数f（x）图象的对称中心坐标为（1，﹣1），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到结果．详解：解：函数，f（1）＝2﹣3＝﹣1，当x1+x2＝2时，f（x1）+f（x2）＝2x1+2x2+3cos（x1）+3cos（x2）﹣6＝2×2+0﹣6＝﹣2，∴f（x）的对称中心为（1，﹣1），∴＝f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）＝﹣2×（2017）﹣1＝﹣1．故答案为﹣1．点睛：这个题目考查了函数的对称性，一般函数的对称轴为a，函数的对称中心为（a,0）；15、【解析】

分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.16、【解析】

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,而扇形的半径等于母线长,圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积.【详解】由圆锥的底面面积为,底面半径为,可得底面周长为扇形的面积=扇形弧长扇形半径侧面积为=故答案为:.解题关键是通过圆的面积求得圆的半径,然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,通过扇形的面积公式得到的答案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）增区间为在【解析】

（1）由分段函数求值问题，讨论落在哪一段中，再根据函数值即可得实数的取值范围；（2）由分段函数值域问题，由函数的值域可得，再求出实数的取值范围；（3）先阅读题意，再由导数的几何意义求得，再利用导数研究函数的单调性即可.【详解】解:（1）由,且时，当时,有时,,与题设矛盾,当时,有时,,与题设相符,故实数的取值范围为:;（2）当，，因为，所以，即，当，，因为，所以，即，又由题意有，所以，故实数的取值范围为；（3）由的导函数为，由导数的几何意义可得函数在任一点处的导数即为曲线在这一点处切线的斜率，由限制函数的定义可知，由，即函数在为增函数，故函数在为增函数.本题考查了分段函数求值问题、分段函数值域问题及导数的几何意义，重点考查了阅读理解能力，属中档题.18、(1)赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计在犯错误的概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.（2）的分布列为：期望.【解析】试题分析：(1)根据分层抽样比为，可知女性共55人，从而可以知难行45人，即可填表，计算卡方，得出结论；（2）由题意知随机变量服从二项分布，从而利用公式计算分布列和期望．试题解析：(1)赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计将列联表中的数据代入计算，得的观测值：，在犯错误的概率不超过前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．(2)的所有可能取值为：,依题意，的分布列为：19、（1）；（2）或【解析】

（1）由为奇函数，得，然后化简求出即可（2）不等式可化为，然后分和两种情况讨论.【详解】解：（1）由，得，定义域为．由为奇函数，得，，，，∴，得．（2）易知．不等式可化为，（i）当时，，不等式化为，得，即，解得，联立，得．（ⅱ）当时，，不等式可化为，∵，∴，，∴，即，解得．综上，x的范围为或本题考查的是奇函数的定义的应用及解指数不等式，一般在原点有意义时用原点处的函数值为0求参数，若在原点处无意义，则如本题解法由定义建立方程求参数。20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由，即可得面，即可证明平面平面；（2）过作，垂直为，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）．求得平面的法向量为．则，即可求出与平面所成角的正弦值．【详解】（1）在中，，又，，平面则平面，从而，又，，则平面又平面，从而平面平面.（2）过作，垂足为，由（1）知平面.以为原点，为轴正方向如图建立空间直角坐标系.不妨设，则，.则，设为平面的一个法向量，则，令，则，设，则故与平面所成角的正弦值为.本题主要考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，以及利用向量法求直线与平面所成角的大小，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．21、（１）0.1．（２）0.2．【解析】

（１）P1＝0.6（1－0.