八年级下册数学：专题11 等腰三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题1.1等腰三角形的判定与性质【十大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【翅型1根据等边对等角求角度】...............................................................1

【题型2根据等边对等角证明】.................................................................6

【题型3根据三线合一求解】...................................................................11

【题型4根据三线合一证明】...................................................................16

【题型5根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】...........................................22

【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】......................................................26

【题型7根据等角对等边证明速相等】..........................................................34

【题型8根据等角对等边求边长】..............................................................40

【题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】...........................................44

【题型10等腰三角形的判定与性质的综合运用】..................................................49

，举一反三

【知识点等腰三角形】

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角“：②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高

线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边“）.

【题型1根据等边对等角求角度】

【例1】（2023春・江苏无锡•八年级校联考期末）如图,在ZMBC中，AC=BC,以点5为旋转中心把△ABC按

顺时针方向旋转40。得到△48U,点4恰好落在4C_L,连接CC，，贝此/lCC，度数为（）

A.110°B.105°C.100°D.95°

【答案】A

【分析】由旋转知乙484=乙CBC'=40。，BA=BAr,BC=BC,由等边对等角及三角形内角和定理可求

乙B44=70°,Z.BCC=70°,Z.CAB=Z.CBA=70°,Z-ACB=40°,从而求得/ACC'=Z-ACB+乙BCC=

110°.

【详解】解：由旋转知，AABA1=Z.CBC=40°,BA=BA',BC=BCr,

：./.BAAr=^BArA,乙BCC'=乙BC'C,

：.ABAA,=g(180。—4/184')=70°,Z.BCC=1(180°-zCFCz)=70°,

中，AC=BC

：,LCAB=LCBA=70°,

：.LACB=180°-LCAB-Z.CBA=40°,

：,LACC=Z.ACB+乙BCC=40c+70°=110°.

故选：A.

【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键.

【变式1-1](2023春・广东梅州•八年级校考期末)在中，AB=AC,80是4c边上的高，LABD=50°,

则/C的度数为.

【答案】70。或20。

【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：/847=90。一44?。=40。，②如图，当顶角为钝角三角形时：

乙8.4C=90。+50°=140%再结合等腰三角形的性质可得答案.

【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：^BAC=90°-/.ABD=40°,

'：AB=AC,

：.LABC=ZC=1(180°-40°)=70°；

②如图，当顶角为钝角三角形时:

*：z.ABD=50°,40=90。，

：.LBAC=90°+50°=140°,

*：AB=AC,

：.LC=Zi4BC=1（180°-140°）=20°.

故答案为:70。或20。.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键.

【变式1-2］（2023春•四川达州•八年级校考期中）如图，在第1个△48C中，△8=30。AlB=CB,在边为S

上任取一点延长。占到",使44=4。，得到第2个△44。；在边色。上任取一点E，延长44到

AH使424=42E得到第3个△&&£；……按此做法继续下去，则第〃个三角形中以41为顶点的内角度

数是（）

C.（旷、5。D.()85。

【答案】C

【分析】先根据等腰三角形的性质求出NB&C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求

出4£43力2及立凡解久的度数，找出规律即可得出第九个三角形中以4为顶点的底角度数.

【详解】解：•••在中，/-B=30°,A1B=CB,

18O0-Z6180°-30°

,/B41c=ZC=2275°,

4是△a&D的外角，

-A1A2=A1D,

:.£DA2A1=，x75。；

2

同理可得"/久=(1)X75°,Z.FA^A3=C)3x75°,

•・.第九个三角形中以An为顶点的底角度数是G)"TX75。.

故选：C.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出4口424，4£4342及4凡心人3的

度数，找出规律是解答此题的关键.

【变式1-3](2023春・海南海口•八年级校考期中)如图，△A8C中，乙18。二4力。氏点力在8C所在的宜线

上，点E在射线4c上，且乙AOE=41E。，连接OE.

(1)如图①，乙B=4C=36°,/-BAD=72°,求NCDE的度数.

(2)如图②，若乙4BC==65。，^CDE=20°,求NB4D的度数.

⑶当点。在直线BC上运动时(不与点8、C重合)，试探究N8/W与"DE的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)36。

(2)40°

(3)2zCDE=乙BAD

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到±8力C=108。，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

(2)根据三角形的外角的性质得到乙£=65。-20。=45。，于是得到结论；

(3)设N4BC=Z-ACB=y0,Z.ADE=Z.AED=x°,ADE=a,LBAD=0①如图1,当点。在点8的左侧时，

乙4DC=x°-a②如图2,当点。在线段BC上时，乙4DC=x°+a③如图3,当点。在点C右侧时,LADC=X°-

a,根据题意列方程组即可得到结论.

【详解】(1)解：•♦•"="•=36。，

:.Z.BAC=108°,

•••/BAD=72。，

：•/.DAE=36°,

•••/.ADE=Z.AED=72°,

:•乙CDE=180°-36°-36°-72°=36°；

(2)•••乙4cB=65°,“DE=20°,

•••zE=65°-20°=45°,

•••LADE=Z.AED=45°,

:.Z.ADC=25°,

vZ.ABC=^ADB+乙DAB=65°,

:.Z.BAD=40°；

(3)设4/IBC=Z.ACB=y0,Z.ADE=Z.AED=x°,4COE=a,乙BAD=p

①如图1,当点。在点8的左侧时，^ADC=x0-a,

fy°=x°+a

ly°=x°—a+'

解得，2a—0=0,

:.2a=0；

②如图2,当点。在线段3C上时，^.ADC=x0+a,

图2

(x°+a=y°+p

(x°=y°+a'

:.2a=0,

2a=0；

③如图3,当点。在点C右侧时，£ADC=x0-a,

A

.(x°-a+y°+p=180°

A(x°+y°+a=180°'

解得，2a-0=0,

:.2a=p.

综.上所述，484。与iCOE的数量关系是24coE=乙BAD.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的

关键.

【题型2根据等边对等角证明】

【例2】(2023春・湖南•八年级期末)如图，在中，N/1=45。，点。在4B边上，BC=CD,DELAC,

BFLAC,垂足分别为E,F.

(1)求证ADCE三2CBF；

(2)若力8=AC,求证

【答案】(I)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)先证明乙F8C=4DCE,再根据44s可证ADCK三AC8F：

(2)过点C作C"1BZ)于点H,根据等腰三角形的性质可得Z8CH=乙DCH,BH=DH,再证明乙4:。=乙DCH,

根据角平分线的性质可知DE=。，，进一步即可得证.

【详解】(1)证明：-DELAC.BFLAC,

:./DEC=Z.CFB=90°,^BFA=90°,

vLA=45°,

•••Z.ABF=45°,

•••BC=CD,

•••Z.DBC=Z.BDC,

vZ.DBC=乙ABF+Z.FBC,乙BDC=Z.A+乙DCE,

Z.FBC=Z.DCE,

在ADCE和ACBF中,

(乙DEC=乙CFB

1/.ECD=Z.FBC,

(BC=CD

DCE=△CZ?F(AAS)；

(2)证明：过点C作C”IB。于点”，如图所示：

B

Z.BCH=£DCH,BH=DH,

-AB=AC,

•••/.ABC=Z-ACB,

vZ.FBC=乙DCE,

:./BCD=乙ABF=45°,

Z.DCH=22.5°,4BDC=(180°-45°)+2=67.5°,

Z.ACD=67.5°-45°=22.5°,

•••Z.ACD=乙DCH,

•••DELAC,CH1BD,

：•DE=DH,

DE=-DB.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解

题的关键.

【变式2-1]（2023春・甘肃张掖・八年级校考期中）如图，在△ABC中，48=AC,作AD1交8c的延长线

于点D,作4EII8D,CELAC,W.AE,CE相交于点E,求证：AD=CE.

【答案】见解析

【分析】根据等边对等角可得/力8匚=乙478,根据平行线的性质可得乙氏4。=乙478,推得"8C="4C,

根据全等三角形的判定和性质即可证明.

【详解】证明：，：AB=AC,

：.LABC=乙ACB,

\'AE\\BD,

：,LEAC=Z.ACB,

：,LABC=乙EAC,

*：AD±AB.CE±AC,

：,LBAD=/.ACE=90°,

在A48。和△力CE中

（/.ABC=4CAE

AB=AC,

{^.BAD=LACE

••AABD=△CAE>

,'.AD=CE.

【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和

性质是解题的关键，属于中考常考题型.

【变式2-2]（2023春・湖北荆州•八年级统考期末）如图，在四边形ABC。中,AB||CD,连接8D,点E在BD

上，连接CE,若41=42,AB=ED,求证：乙DBC=LDCB.

AB

【答案】见解析

【分析】由平行线的性质可得出=乙BDC,结合题意可由“AAS”证明△ABD三4DEC,即得出BO=DC,

进而由等边对等角即可证明NOBC=乙DCB.

【详解】解：-AB||CD,

•••/.ABD=Z.BDC.

Z1=Z2

在AABD^WLDEC中，4ABD=LEDC,

AB=DE

•••△/WOOCC(AAS),

•••BD=DC,

•••Z.DBC=Z-DCB.

【点睛】本题考查平：行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质.掌握三角形全等的判定定

理和性质定理是解题关键.

【变式2-3](2023春・辽宁大连•八年级统考期末)如图，已知△/1BC为等腰三角形，AB=AC,0为线段延

长线上一点，连接4。，DE平分/4OC交AC、48于点E、F,R/.ADC+-Z.ABC=180°.

2

(1)猜想乙ZMC与乙4C0的数量关系，并证明;

(2)求证4。=DC+EC.

【答案】(1)乙力CD=24ZMC,证明见解析

⑵见解析

【分析】（1）由等边对等角得乙=再由三角形内角和定理和已知等量代换即可得出结论；

（2）延长DC至点K,使CK=CE,易得△4DE三AKDESAS）,再根据全等三角形的性质即可得出结论.

【详解】（1）LACD=2LDAC.

证明如下：''AB=AC,

•••/.ABC=Z.ACD,

•••/.ADC+-/.ABC=180°,

2

Z.ADC-^--^ACD=180°,

2

X*.Z.ADC=180°-/.ACD-乙DAC,

3

180°-Z,ACD-Z.DAC=180°--z/lCD,

2

化简，得：/-ACD=2^DAC.

(2)证明：延长OC至点K,使CK=CZ7.

vCK=CE,

•••LK=乙CEK,

•••Z.ACD=2/.K,

又•••Z.ACD=2/.DAC,

:.Z.DAC=乙K,

又OE平分NA。。，

:.Z.ADE=Z.KDE,

在A/1DE与△KOE中，

(LADE=Z.KDE

\/.DAC=乙KDE,

(DE=DE

•••△ADEw△/</)£1(AAS),

DA=DK,

又•••DK=DC+CK=DC+EC,

•••AD=DC+EC.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确构造辅助线使

三角形全等是解题的关键.

【题型3根据三线合一求解】

【例3】（2023春・广东深圳•八年级统考期末）如图，△4BC中，=点。为C4延长线上一点，DH1BC

于点〃，点F为延长线上一点，连接。广交CB的延长线于点E,点E是。户的中点，若BH=2,BE=2BH,

则8c=______.

【答案】12

［分析］过。作DNII4凡交CE延长线于N,证明△DEN=△/EB(AAS),得到EN=BE=4,由此求出N"=10,

再根据乙。=乙ABC,乙ABC=LN,证得NC=△N,得到DC=DN,利用等腰三角形的三线合一求出CH=

NH=10,即可求出==12.

【详解】过。作DNIRF,交CE延长线于N,

:.乙FDN=乙F,乙FBE=4N

•・•点E是。尸的中点，

:・DE=FE

••△DENw△/E8(AAS)

：.EN=BE,

•:BH=2,BE=2BH,

：.EN=BE=4,

:.NH=10,

YAB=AC,

:•乙C=匕ABC,

VDNUAF,

：,z.ABC=乙N,

：,LC=，N,

：.DC=DN

又,：DH1BC,

:・CH=NH=10,

：.BC=CH+BH=12,

故答案为：12.

【点睛】此题考查了全等二角形的判定和性质，平行线的性质，等腰二角形二线合一的性质，正确引出辅助

线结合各性质进行推理论证是解题的关键.

【变式3-1］（2023春•河北邢台•八年级校联考期末）如图，在△48C中，AB=AC,力。是△4"的中线，边

力8的垂直平分线交力C于点E,连接〃E,交40于点F.若/。=66。，则乙1FE的度数为（）

A.48°B.62°C.72°D.82°

【答案】C

【分析】由题意易得乙4BC=4C=66。，AE=BE,则有N/WE==48。，然后可得乙E8C=18。，进

而问题可求解.

【详解】解：*：AB=AC,/1O是A/B。的中线，，Z.C=66°,

：.LABC=Z.C=66°,AD1BC,即44D8=90。，

：,LBAC=180°-2zC=48°,

•••48的垂直平分线交4c于点E,

••AE=BE,

：,z.ABE=LBAC=48°,

:.乙EBC=18°,

J.LAFE=乙BFD=90°-乙EBC=72°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段

垂直平分线的性质定理是解题的关键.

2

【变式3-2]（2023春•山西临汾•八年级统考期末）如图，在2L4BC中,AB=BC,S^ABC=3cm,边BC的垂

直平分线为/,点。是边力C的中点，点夕是/上的动点，当APCD的周长取最小值4时，则—.

A

【分析】连接8D,由于力8=8。，点。是71C边的中点，故BO_L/C,再根据三角形的面积公式求出力CX8。=

6,再根据直线/是线段8C的垂直平分线可知，点C关于直线/的对称点为点B,故的长为CP+PD的最

小值，得50=-[4:+4,由此即可得出结论.

【详解】解：连接8D,

•・NB=BC,点。是BC边的中点,

1AC,

:\S\ABC—"c'BD=}xACxBD=3»

解得ACxBD=6,

•••直线/是线段8c的垂直平分线，

・••点C关于直线/的对称点为点B,

・・・BD的长为CP+PD的最小值，

J.ACDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+\AC=4,

；・BD

=--/21C+4,

•MCx(-“C+4)=6,

解得AC=2或6.

故答案为：2或6.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

【变式3-3](2023春•辽宁沈阳•八年级统考期末)如图，在中，^ACB=90°,AC=BC,点、E为AC边

的中点，过点A作/1。148交BE的延长线于点D,CG平分乙ACB交BD于点、G,交4B于点M,点广为边力B上一

点，连接。凡^ACF=Z.CBG.

⑴若乙FCM=18。，则的度数为；

(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)108°

(2)CF=2DE,理由见解析

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质得到NC4F=/CBA=45。，ZBCG=ZACG=45°,求出N8CG

=ZCAF=45°,进而求出NAC厂得到NC3G的度数，根据三角形内角和求出答案；

(2)证明△4CGgZ\G4F(ASA),推出8G=。凡再证△AOE/ACGE(AAS),推出。/GE,即QG=2OE,

即可得到结论.

【详解】(1)VZACB=90°,AC=BC,CG平分NACB,

^ZCAF=ZCI3A=45°,ZBCG=ZACG=45°,

：,ZBCG=ZCAF=45°,

VzFCM=18°,

A^ACF=ZACM-ZFCM=450-]8°=27°,

••・NC8G=NAb=27°,

AZBGC=180°-Z^CG-ZCfiG=IS0°-45°-27。=108。,

故答案为：108。；

(2)CF=2DE,

理由：连接AG,

•；NCBG=NACF,AC=BC,NBCG=/CAF,

.,.△BCG^ACAF(ASA),

：・8G=CF,

*/CG平分N4C4,AC=BC,

•••CM_LA8,

,：ADLAB,

：.AD\\CG,

，/D=4EGC,

•：2AED/CEG,/D=/EGC,AE=CE,

/.AADE^ACGE(AAS),

:・DE=GE,即QG=2O£

又：点G是8。的中点，

:・DG=BG,

:.CF=2DE.

【点睛】此题考查了等腰直角三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握

全等三角形的判定定理是解题的关键.

【题型4根据三线合一证明】

【例4】（2023春・福建芾田•八年级校考期中）如图，中，AB=AC,AD是8c边上的中线，DE//AC

⑴求证：EB=ED.

（2）求证：AE=DE.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据。E〃4C,ED=^AC=^AB,进而得出结论；⑵由等腰三角形的性质得48/W=iGW,再

由平行线的性质得NB4D=〃DE,则皿D=4ADE,即可得出结论.

【详解】（1）VAB=AC,人。是8c边上的中线，

・・.4£）平分血1C,

LBAD=Z.CAD,

：.BD=DC,

♦：DE"AC,

:,ED=-2AC=-2AB,

：.E&AB中点即EB=AE=\AB,

：.EB=ED.

（2）证明：・.F8=4C,A。是BC边上的中线，

，AD平分4C,

：,LBAD=Z.CAD,

*：DE//AC

：,£BAD=/-ADE,

：,LCAD=LADE,

'•AE=DE.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.

【变式4-1】(2023春・湖南益阳•八年级校考期中)两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图，在筝

形RBCD中，AB=AD,BC=DC,AC.8。相交于点。，求证：

(1)△43c三△A。。：

(2)AC1BD.

【答案】(I)见解析；

⑵见解析.

【分析】⑴分别利用SSS证。三△4DC即可；

(2)由△力BC三△ADC得44c8=44CD,利用等腰三角形的性质即可■得4C180.

【详解】(1)证明：在△48C和△力。C中,

(AB=AD

8c=DC，

(AC=AC

：.LABC=LADC(SSS).

A

(2)证明：由(1)得△ABC三△ADC,

：.^ACB=Z/4CD,

*：BC=CD,

:、AC1BD.

【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定

理.

【变式4-2](2023春•山东泰安•八年级统考期中)如图,已知A/BC中，AB=AC,LBAC=90%点。为BC

的中点，点E、r分别在直线4B、AC上运动，目始终保持AE=C凡

图①图②

(1)如图①，若点从小分别在线段,48、力。上，OE与OF相等且1与。尸垂直吗？请说明理由;

(2)如图②，若点E、F分别在线段4B、CA的延长线上,(1)中的结论是否依然成立？说明理由.

【答案】(l)DE=DFRDE1DF,见解析

(2)成立,见解析

【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性质得到="=45。和40=80=DC,再证

明ZME0三△60(S4S),利用全等三角形的性质即可求解；

(2)利用等腰直角三角形的性质得到乙=LDAC=乙8=4。=45。和力。=BD=DC,再证明△AED三

△CFD(SAS),利用全等三角形的性质即可求解.

【详解】(1)DE=D尸且DE1DF,理由是：

如图①，连接4。，

*：LBAC=90°,AB=AC,。为BC中点，

：.LBAD=/.DAC==z_C=45°,

,.AD=BD=DC»

(AE=CF

S.LAED^^CFD^,l^EAD=ADAC

(AD=DC

：,LAED三＞CFD(SAS),

：.DE=DF,乙ADE=LCDF,

又•••4COF+4ADF=90。,

J乙力r=90°,

.LED"=90°,

：,DE1DF.

图①

(2)若点E、尸分别在线段力氏。4的延长线上，(I)中的结论依然成立，如图②，连接4。，理由如下:

VAB=AC,Z.BAC=90°,点。为8C的中点，

=Z-DAC=乙B=Z.C=45°,

••AD=BD=DC»

AE=CF

在AAED^^CFD中，Z.EAD=LDAC

AD=DC

：.LAEDWACFD(SAS)；

：.DE=DF,乙ADE=^CDF,

又•："DF-/.ADF=90。，

：.LADE-LAD¥=90°,

/.zFDF=90°,

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全

等三角形.

【变式4-3]（2023春・河北廊坊•八年级校考期中）如图，在△ABC中，IC=BC,/A=/ABC=45。，。为AB中

点，点E是48边上一动点(不含端点4、B),连接CE,点F为CE上一点，8F始终垂直于CE,交直线CO于

点G.

(1)点E在线段40上运动(如图1),当CG=/E时，求证：BG=CE；

(2)若点E运动到线段80上(如图2),当CG=/1E时，试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化，请写出你

的结论并加以证明；

(3)过点力作为“1CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点M(如图3),求证：2BCE为CAM.

【答案】(1)见解析

(2)不变,见解析

⑶见解析

【分析】(1)根据等腰三角形性质得出乙8CG=45。，再证明△4CE三△CBG(SAS),即可求证BG=CE；

(2)用和(1)同样的方法证明△4CE三△CBG(SAS),即可得出结论：

(3)根据等腰三角形性质得出CD1AB,则，2+乙3=90。，根据AH1CE,则乙3+乙M=90°,即可得出乙2=

乙M,再推=Z3,则/8CE=^CAM,即可求证^BCE三△CAM(AAS).

【详解】(1)证明：*：AC=BC,LA=LABC=45°,

：.LACB=90°,

丁点。为48中点，

：.ABCG--2AACB-45°,

在ZMCE和△加；中，

(AC=CB

NBCG=Z.A,

(CG=AE

：.LACE三△CBG(SAS),

:.BG=CE.

(2)解：BG、CE的数量关系不发生变化，证明如下:

证明：・・・AC=8C,乙4=44BC=45。，

••・，4c8=90。，

丁点。为48中点，

・・・，8CG=*CB=45。，

2

在44(；七不必(；8。中，

(AC=BC

NBCG=Z-A,

(CG=AE

：,LACE三△CBG(SAS),

:.BG=CE.

(3)解：'：AC=BC.^A=乙ABC=45°,

J.LACB=90°,

•・•点。为力8中点，

：,CD1AB,Z-BCG=-Z-ACB=45°,

2

AZ2+Z3=90°,

*：AH1CE,

Az3+zM=90。，

Az2=乙M,

Vzl+ZM=90°,

Azl=Z3»

Az3+乙BCG=Z1+^BAC,即zBCE=^.CAM,

在

(Z2=Z-M

NBCE=ACAM,

(AC=BC

/.ABCE三△C4M(AAS).

B

M

H

图3

【点睛】本题主要考杳了全等三角形的判定和性质，等腰二角形那个的性质，解题的关键是掌握全等二角形

是判定方法，以及等腰三角形“三线合一”.

【题型5根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】

【例5】（2023春•上海浦东新•八年级校联考期末）已知，如图，在M故?中，AB=AC,D,£分别在CA,

8A的延长线上，且8£=CO,连BD,CE.

（1）求证：ZD=ZE：

（2）若N84C=108。，NO=36o,则图中共有个等腰三角形.

【答案】（1）见解析；（2）5

【分析】（1）证明△（SAS），可得结论.

（2）根据等腰三角形的定义，判断即可.

【详解】（1）\*AB=AC,

・•・A^BC=ZACB,

在AEBCffADCB中，

（BE=CD

l^ABC=乙ACB，

（BC=CB

:.△EBgADCB（SAS），

：.BE=CD.

（2）图中共有5个等腰三角形.

VZBAC=108°,AB=AC,

・・・NA8C=/ACB=36°,

VZD=ZE=36°,

:"D=/BCD,ZE=ZCBE,

：.ZDAB=ZEAC=12°,

・・・NQBA=NOAB=72。，/EAC=/ECA=72。,

:・DB=DA,EA=EC,

.二△AB。，△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找.

【变式5-1］（2023春・广西钦州•八年级校考期中）如图，在RtzMBC中，41CB=90度，BC=4,AC=3,

在直线AC上取一点尸，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

Ch------------------

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论.

【详解】解：如下图，

作＜8垂直平分线与小。相交于点P,可得R4=PB,

以A为圆心，力8为半径画圆，交AC有Pi、P2两个交点，可得PIA=AB,P2A=AB,

以8为圆心，4?为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得尸34二。8，

故选:D.

【点睛】本题考查r等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图，分情况讨论.

【变式5-2]（2023春・河南南阳•八年级统考期末）如图,△ABC中,Z.ABC=72%乙4=36。,用尺规作图

作出射线BO交4C于点/）,则图中等腰三角形共有一个.

A

【答案】3

【分析】根据已知条件乙48。=72>,41=36。，可得△48。是底角为72。的等腰三角形，再根据尺规作图可

得8。平分乙48C,从而判断等腰三角形的个数.

【详解】•••△48C中，乙48c=72°,=36°,

/.zC=180°-72°-36°=72°,

/.zC=z.ABCr

.\AB=AC,

・•・A48。是等腰三角形.

由题图可知，BD平分〃BC,

：.LABD=乙CBD=-^ABC=36',

2

：,LABD=4力，乙CDB=180°-72°-36°=72°,

•\AD=BD/CDB=乙C,

・・・乙力8。是等腰三角形，BC=BD,

・・・么8。。是等腰三角形.

综上可知，题图中的等腰三角形有△ABC,AABD,ABDC,共3个.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键.

【变式5-31（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级统考期末）如图1,/.DAB=（ABC=90°,ABAC=45°,CELBD.

（1）求证：AD=BE；

（2）如图2,若点E是48的中点，连接。E、CD,在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形.

【答案】（1）见解析

△EDC,△CDB,LADE

【分析】（I）先证明=根据全等三角形的判定和性质证明即可;

（2）根据等腰三角形的判定方法判断即可.

【详解】（I）证明：Vz/IFC=90°,/.BAC=45°,

J.LACB=45°,Z.ABD+乙DBC=90°,

：.AB=BC.

,：CE1BD,

，乙BCE十乙DBC=90°,

：.£.ABD=乙BCE.

(LABD=乙BCE

在和△E8C中，AB=BC

{^.DAB=LEBC

：,LDAB三△EBC(ASA),

*.AD=BE.

(2)如图：

由（1）可知48=BC,

・・・4力8。是等腰三角形；

•・•点E是88的中点，AD=BE,

AZD=AE,

.MADE是等腰三角形；

'：^DAB=90°,^BAC=45°,

：,FD=FE,ACA.DE,

•:FC=FC,

/.AEFC=△DFC,

，EC=DC,

・•・AEDC是等腰三角形；

'：LDAB"EBC,

：,EC=DB,

：,DC=DB,

・・・ACD8是等腰三角形；

故等腰三角形有△ABC,△EDC,△CD8,AADE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质

是解题的关键.

【题型6根据等角对等边证明等腰三角形】

【例6】(2023春・重庆江北•八年级校考期中)如图，在RS4CB中，44cB=90。，与乙二48的平分线

相交于点E,延长交8C于点0,过点E作Efl40交AC于尸，作EGII4B交4c于点G.

(1)求证：AGEF为等腰三角形;

(2)求证：AF+BD=AB.

【答案】(I)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据角平分线的定义得/BAD="力。，再根据平行线的性质可得〃EG=乙BAD,可得乙4EG=

根据等角的余角相等可得24/咕=""，即可得出答案；

(2)在AB上取8M=BD，连接EM,首先利用SAS证明△MBE4DBE,得匕8ME=乙BDE,再说明匕AFE=

乙4ME,利用A4S证明△4FE得/F=4M,进而证明结论.

【详解】(1)证明：•••40平分4B4C,

A/.BAD=乙CAD,

•••EGWAB,

•••/.AEG=乙BAD,

•••/.AEG=Z.CAD,

vEF1AD,

:./.AEG+Z.GEF=Z.CAD+Z.AFE=90°,

:.Z.AFE=乙GEF,

AGF=GE,

••.△GEF为等腰三角形；

(2)在A8上取8M=8。，连接EA/,

•••BE平分乙4BO,

•••Z.MBE=Z.DBE»

在ZkMBE和△DBE中，

BM=BD

乙MBE=Z-DBE,

BE=BE

MBE=△OBE(SAS),

:.Z.BME=乙BDE,

v乙FED=Z.ACB=90。，

:.乙EFC+乙EDC=180°,

•••乙EDC+乙BDE=180°,

•••乙EFC=乙BDE,

，EFC=乙BME,

Z.AFE=LAME,

在AAFE和△AME中,

(/.BAD=Z.CAD

1/.AFE=Z.AME,

(AE=AE

：.LAFE三△4ME(AAS),

.'.AF=AM,

AF+BD=AM+BM=AB.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的

性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【变式6-1］（2023春•吉林松原•八年级统考期中）如图，zl+z2=180°,GP平分48GH.

（1）求证：△PGH是等腰三角形；

（2）若=116°,求4GPO的度数.

【答案】（1）见解析

（2）148°

【分析】（1）首先根据平角的定义得出乙2=48GH,则48||CD,再利用平行线的性质证明即可；

（2）首先得出N8GH=180。-116。=64。，再由角平分线的定义得出/BGP=32。，最后利用平行线的性质

可得答案.

【详解】（1）证明：•••41+42=180。，Z14-ZFGW=180°,

•••Z2=乙BGH,

AB||CD,

:.乙GPH=LPGB,

•••GP平分ZBG”,

:.£PGH=乙PGB,

:.乙GPH=乙PGH,

•••GH=PH,

・•.△PGH是等腰三角形：

(2)解：•••匕1=116°,

:.4BGH=180°-116°=64°,

•••GP平分乙BGH,

.%乙BGP=32°,

vAB||CD,

•••乙GPD=180°-32°=148°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题

的关键.

【变式6-2](2023春・广东广州•八年级校考期末)如图，四边形力BCD中，z.DCB+Z.CBA=180°,过点。

作=DE与C交于点D,与4c交于点凡

备用图

(1)求证：△(?”/)为等腰三角形；

(2)若E为BC中点，猜想A”，，。与EH三者的数量关系.并证明之

【答案】(1)见解析；

(2)AH=HD+2EH,理由见解析.

【分析】(1)由题意可知||CD,利用其性质可得=乙C/8,根据/CDE=4。力8进而可得40Gl=

(CDE,从而可得△CH。为等腰三角形；

(2)如图，延长DE,使得=可证明ABEF三△CE。，可得4户二乙。48,即AH=FH,再利用线段

和差关系即可得AH=HD+2EH.

【详解】(1)证明：\^DCB+Z.CBA=180°,

：.AB||CD,

：,LDCA=Z.CAB,

,:乙CDE=LCAB,

：.LDCA=Z.CDE,

:・HD=HC,

・•・AC，。为等腰三角形.

(2)AH=HD+2EH,理由如下：

如图，延长DE,使得DE=EF=HD+EH,

•・力为BC的中点,

：,BE=CE

在&BEF与△CED中，

FE=DE

ZdiEF=MED,

BE=CE

:MBEF三ACED(SAS),

=乙CDE,

又,：乙CDE=/-CAB,

：.LF=乙CAB,

：,AH=FH,即：AH=EF+EH=HD+EH+EH

即：AH=HD+2EH.

【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造

全等三角形是解决问题的关键.

【变式6-3](2023春•新疆乌鲁木齐•八年级统考期末)数学课上，同学们探究卜.面命题的正确性，顶角为

36。的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形”具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以

把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：

(1)已知如图1：黄金三角形△ABC中，ZA=36°,直线BD平分NABC交AC于点D,求证：△ABD和

△DBC都是等腰三角形;

（2）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=36。，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形,

不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数.

（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36。，求原三角形的最大内角的

所有可能值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72。，90。，108。，126。，132。

【分析】（1）通过角度转换得到/ABD二NBAD,和NBDC=72c=NC,即可判断：

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；

（3）设原△ABD中有一个角为36。，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当

分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的

度数即可.

【详解】解：（1）证明：VZABC=（180-36）^2=72；BD平分NABC,NABD=72+2=36。，

••・NABD=NBAD,

•••△ABD为等腰三角形，

AZBDC=72°=ZC,

•••△BCD为等腰三角形；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示:

A

(3)设原△ABD中有一个角为36。，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：

①当分割的直线过顶点B时，

【I】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时NA=36o,ND=36。，NR=72+36=108。，最大角的值为108°；

[2]：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：ZA=36°,ZD=18°,ZB=IO8+18=126°,最大角的值为126。；

【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况

△BCD以B为顶点：ZA=36°,ZD=72°,

AZABD=72°,最大角的值为72。；

△BCD以C为顶点：ZA=36",ND=54。,

・・・NABD=90。，最大角的值为9()。；

D

△BCD以D为顶点：ZA=36°,ND=36。

AZABD=108°,最大角的值为108。；

②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的;

③当分割三角形的直线过点A时，

此时NA=36。，ZD=12°,ZB=132°,

最大角的值为132°：

综上所述:最大角的可能值为72。，90°,108°,126°,132°.

【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度

较大，分类讨论是解决本题的关键.

【题型7根据等角对等边证明边用等】

【例7】（2023春•江苏扬州•八年级统考期末）如图，在△48。中，乙48。的平分线B。交4C边于点AAE1BC

于点E.已知448。=60。，ZC=45°.

(1)求证：AB=BD-,

（2）设与AE交于点F,求证：CE=BF+EF.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出=乙4DB=75。，再用等腰三角形的判定证明即可；

（2）根据等腰三角形的判定证明4E=EC,力f二B尸即可.

【详解】（1）证明：平分〃BC,Z-ABC=60°,

：

.LDBC=-2Z-ABC=30°,

LADB=Z.DBC+ZT=75°,

^BAC=180°-乙ABC-Z.C=75°,

：.LBAC=LADB,

：.AB=BD；

（2）证明：VAE1BC

：.LAEC=90°

VzC=45°

：,LEAC=45°

：.AE=EC

*：LBAC=75°

：.z.EAB=30°

：.^ABD=4EAB=30°,

：.AF=BF,

\'AE=AF+EF

：，CE=BF+EF.

【点睛】本题考查了三角形内角和和等腰三角形的判定，解题关健是熟练运用三角形内角和求出角的度数.

【变式7-1］（2023春・天津•八年级期中）如图：石在△A8C的AC边的延长线上，A/3=4C,。点在A8边上,

DE交BC于点F,DF=EF,求证：BD=CE.

A

【答案】见解析

【分析】过。作。G〃C£,交4c于点G,证明AQG尸父△ECR可得。G=C£,根据平行线的性质以及等

角对等边可得BD=DG,等量代换即可证明BD=CE.

【详解】证明：过。作OG〃C£,交8C于点G,

则NGO"=NE,NDGB=NACB,

在AQG尸和△ECF中，

(乙GDF=ZE

DF=EF,

t乙DFG=乙CFE

:ADGgAECF(ASA),

:.DG=CE,

•：AB=AC,

:・/B=NACB=NDGB,

:・RD=DG

BD=CE.

【，点睛】本题考杳了三角形全等的性质与判定，等角对等边，正确的添加辅助线是解题的关键.

【变式7-2］（2023春•湖北孝感•八年级统考期末）如图，△48。中，。4=C8,点。在8C的延长线上，连

接々），AE平分4二40交CD于点£过点E作垂足为点F,与力。相交于点G.

D

⑴求证：CG=CEx

(2)若48=30。，Z-CAD=40°,求乙4E尸和匕。的度数;

(3)求证：ZD=2AAEF.

【答案】(I)见解析

(2)LAEF=40。，ZD=80°

(3)见解析

【分析】