2025年中考数学总复习《矩形与折叠问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《矩形与折叠问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得．(1)若点落在边上，__________；(2)若点到的距离为2，求的面积；(3)如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长．2．如图，四边形是矩形，分别是线段，上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的值．3．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标；(2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值；(3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式．4．如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，．(1)当点与点A重合时，求的长；(2)求的值；(3)求y与x的函数关系式．5．在矩形中，，P是边上一点，把沿直线折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在上，交于点F．(1)如图1，若点E是的中点，求证：；(2)如图2，当，且时，求的值；(3)如图3，当时，求的值．6．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．(1)连接，求证：四边形是菱形．(2)若，，求线段和的长．7．如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置．(1)若，求的度数；(2)若，求四边形的面积．8．如图1，已知四边形是矩形，，，是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点，的对称点分别是，，点落在边上，交于点．(1)如图2，当点与点重合时，连接，求证：四边形是菱形：(2)当时，若，，求的长．9．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．10．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与C重合，点D与点E重合．若长方形的长为8，宽为4．(1)求线段的长：(2)请直接写出的面积______．11．人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．(1)如图1，连接，直接写出；(2)在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由；(3)将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长．12．如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．(1)求证：；(2)如图，过点作，交于点，连结交于点．①求证：四边形是菱形；②若，，求的长．13．在长方形纸片中，，P是边上一点，．将纸片沿折叠后，点B的对应点记为点O，的延长线恰好经过该长方形的顶点D．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求长．14．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接，(1)如图1，当的面积为3时，求的值；(2)在（1）的条件下，求的面积；(3)当时，求的度数；(4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值.15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t()．(1)如图1．若，求的长；(2)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标；(3)若直线与直线相交于点M，且时，①求点C的坐标；②当时，的大小是否发生变化，请说明理由．参考答案1．(1)3(2)的面积为3或9；(3)的长为或．【分析】（1）延长交于点，设，则，，，证明，求得，，根据，列式计算即可求解；（2）分两种情况讨论，当点在矩形内时，当点在矩形外时，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可；（3）分两种情况讨论，当时，当时，同理，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可．【详解】（1）解：延长交于点，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，设，∵，∴，∴，∵，∴，由折叠的性质得，，，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，解得，∴；故答案为：3；（2）解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；综上，的面积为3或9；（3）解：如图，当时，延长交于点，∵，，∴，∴，∴，同理，，，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去）或，则的长为；如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点，由折叠的性质得，∵，∴，∴，∴，设，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，∴，同（1），，，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得，则的长为；综上，的长为或．【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．2．(1)证明见解析(2)【分析】（）证明即可求证；（）由菱形的性质得，由矩形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，最后根据即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴由折叠可知，，，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：由（）知，四边形是菱形，∴，∵四边形是矩形，∴，设，则，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质是解题的关键．3．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答；（2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；（3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式．【详解】（1）解：由折叠得：，四边形是矩形，，，，，，设，则，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，过作轴于，，是的中点，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如图③，过作轴于，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，，，．设的解析式为，将，代入得：，解得：，的解析式为．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．4．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解；（2）过点作，交于，则四边形是矩形，，由题意可知，进而可知，证得，得，再根据即可求解；（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，得，由翻折可得：，得，则，进而可知，则，即，求得，，再证，得，列出等式即可求解．【详解】（1）解：∵点与点A重合∴，∵，，∴，∵四边形是矩形，∴，在中，，即，解得：，即；（2）过点作，交于，则四边形是矩形，∴，由题意可知，∴，则，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，∴，由翻折可得：，∴，则，∴，则，即，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，矩形的性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解决问题的关键．5．(1)见解析；(2)(3)【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定即可证得结论；（2）利用折叠性质得出，，进而得出，得出，证明，则，设，可求出，，再证明，进而可求得PB，即可得出结论；（3）证明，得出，即可解答．【详解】（1）解：证明：在矩形中，，，∵是的中点，∴，在和中，，∴．（2）在矩形，，∵沿折叠得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴，，由折叠得，，∴，∵，∴∴设，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如图，连接，∵，∴，∴，∵，∴平行四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识的灵活运用，会利用方程思想解决问题是解答的关键．6．(1)证明过程见解析；(2)，【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．（1）根据是矩形，可得，由，可得，进而可知四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，继而可证得四边形是菱形；（2）首先设，则，在中，利用勾股定理可求得的长，过点作，先求得的长，再在中，利用勾股定理，即可求得的长．【详解】（1）证明：如图，由折叠可知，垂直并平分，设与交于点，则：，，，∵四边形是矩形，∴∴在和中：∴∴∴四边形是平行四边形又∵，∴四边形是菱形．（2）设，则，则在中，由勾股定理得：解得：，∴，如图，过点作于，∴四边形是矩形，∴，∴在中，由勾股定理得：7．(1)(2)16【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．（1）根据平行线的性质求出，根据折叠的性质得到，根据平角的概念计算；（2）由折叠的性质得出，设，则，由勾股定理得出，解得，由梯形的面积公式可得出答案．【详解】（1）解：∵四边形是长方形，∴，∴由折叠的性质可知，∴；（2）解：∵长方形纸片沿折叠，∴，设，则，∵，∴，解得，∴，由（1）知，∴，∴．8．(1)见解析(2)【分析】（1）根据折叠得出，，，根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论；（2）如图，过作于，则四边形为矩形，可得，，证明四边形为正方形，而，，可得，，由对折可得：，由，可得，可得，，同理可得：，再进一步可得答案.【详解】（1）证明：∵以直线为对称轴将矩形进行折叠，点与点重合，，，，四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点，∴，，，，，四边形是菱形．（2）解：如图，过作于，则四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴四边形为正方形，而，，∴，，，，∴，∴，由对折可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∴，∴，∴，，而，∴.【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活运用，本题难度很大，选择合适的方法解题是关键．9．(1)；(2)M到的距离为8．【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；（2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，可得结论．【详解】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上，∴，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，；（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于．四边形是矩形，，，，，，，四边形是矩形，，平分，，，，，，，，，到的距离为8．10．(1)(2)【分析】本题主要考查矩形与折叠性质、勾股定理．（1）由折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理求出的长，再过点作于，在中，由勾股定理求出的长；（2）过点作于，根据，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．【详解】（1）解：过点作于，∵长方形纸片，∴，，，，由折叠可得，，，，，设，则，在中，∴，解得，∴，，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，；（2）解：过点作于，∵，∴，∴，故答案为：．11．(1)(2)菱形，见解析(3)【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．理解折叠的性质是解题的关键．【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，垂直平分，，又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，，是等边三角形，，．（2）解：由（1）得，四边形是矩形，，，是等边三角形，，由折叠得，，，四边形是菱形．（3）解：四边形是正方形，，，由折叠得，，，，，，，∵，，∴，在中，，∴，∴．【点睛】（1）依据折叠的性质可得到是等边三角形，进而得到的度数，再根据折叠的性质即可求出的度数；（2）根据是等腰三角形，利用三线合一即可得到，再判定四边形是平行四边形即可；（3）利用直角三角形中“斜边、直角边”相等证明，得到，再根据所对的直角边等于斜边的一半得出，最后根据勾股定理即可求出．12．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；(2)①根据矩形性质及第一问证得邻边相等进行证明；②根据折叠特性设未知边，根据勾股定理列方程求解．【详解】（1）证明：如图，根据折叠，，又，，，；（2）①证明：四边形是矩形，，，又，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；解：，，．．设，．在直角中，，即，解得，即，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了结合矩形的性质、等角对等边及平行线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．(1)为等腰三角形．理由见解析(2)【分析】（1）由折叠的性质可得，由矩形的性质得到，进而得到，进一步证得，即可求证，（2）由折叠的性质得到，，，设，运用勾股定理列方程解答即可，本题考查了折叠问题、矩形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用折叠和矩形的性质是解答本题的关键．【详解】（1）解：为等腰三角形．理由：由翻折可得，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，（2）解：由翻折可知，，，设，∵，∴，在中有，∴，解得：，∴的长为．14．(1)(2)8(3)(4)【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案；（2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案；（3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；（4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，