2025年中考数学总复习《四边形中最值问题解答题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《四边形中最值问题解答题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图1，在正方形中，E为对角线上一点（），点B，F关于直线对称，过点D作的垂线，分别交，于点G，H．

(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)如图2，连结并延长与的延长线交于点M，连结．若已知，设，用含x的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．2．在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.

(1)如图1，当点E落在边上时，线段的长度为__________.(2)如图②，连接，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接，①求证：.②求线段的长度.(3)如图3，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值为_____3．如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．

(1)如图1，若点H恰好落在上，连接，．求证：①；②；(2)如图2，点H落在矩形内，连接，若，，当点F在什么位置时，四边形的面积最大，并求它的最大值．4．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，点是边上的一个动点，以为一边作四边形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上，若，的面积为．

(1)当，四边形是正方形时，求的值为；(2)当，四边形是菱形时，求与的函数关系式；(3)当四边形是矩形时且矩形的两邻边，请直接写出与的函数关系式；并指出的最大值．5．问题提出：（1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长．问题解决：（2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．

6．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．(1)初步感知如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；(2)迁移探究如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．(3)拓展应用如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．7．已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E．(1)如图①，当时，连接，则的长=；(2)如图②，当边经过点B时，连接，求的长；(3)如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值．8．如图，等边三角形的顶点P和Q分别在矩形的两边上，（其中点P不与点B、C重合，点Q不与点C重合），点E在边上，且．

(1)若，，，则：①x可以取到的最大值是；②写出y与x的函数关系式，并说明理由；(2)若四边形的面积为，，求的长度；9．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接．(1)若，求的长；(2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由；(3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值．10．如图，在平行四边形中，，点G是边的中点，过点G作直线分别交直线于点E、F．(1)如图1所示，求证：；(2)如图2所示，连接，若于点F，求证：；(3)连接，已知，若点E落在线段上，求的最大值．11．如图，已知矩形中，，，点P从点C出发沿边向点B运动，连接，过点P作交边于点Q，以为对角线作正方形．(1)若，则______．(2)点M一定在的角平分线上吗？请说明理由；(3)当点P从点C重合的位置运动至点M落在边上时，求点M运动的路径长；(4)在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值．12．如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点．(1)如图，连接与交于点，连接交于点．求证：；当=时，求的值；(2)如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值．13．如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．14．如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中．(1)直接写出的度数为_______°；(2)连接，①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由；②当时，直接写出的长；(3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值．15．已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．

【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值；【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值；【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值．参考答案1．(1)见解析(2)(3)，面积的最大值为【分析】（1）根据对称的性质得，再得出，又，从而，进而可证结论成立；（2）设，则，，利用勾股定理求出x的值，然后得出的长即可；（3）先计算出，作于点P，作于点N，证，求出和，然后得出的面积为S的表达式，最后利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）证明：∵点B，F关于直线CE对称，∴，∵，，∴，∴；（2）解：设，则，即正方形ABCD的边长为，由（1）知，，∵，∴，在中，，即，解得或（舍去），∴；（3）解：设，∴，∵，∴，∵，∴，作于点P，作于点N，

∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即当时，有最大值，为，∴面积的最大值为．【点睛】本题是考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，勾股定理等知识是解题的关键．2．(1)(2)①证明见解析；②(3)【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，面积的最值问题.（1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可.（2）①利用直角三角形全等的判定证明即可.②利用勾股定理计算即可.（3）连接，作于M，当与共线，且时，面积最大，勾股定理计算即可.【详解】（1）如图①中

∵四边形是矩形，∴，∵矩形是由矩形旋转得到，∴，在中，，∴，故答案为：.（2）①证明：如图②中，

∵当点E落在线段上，∴，在和中，∴.②如图②中，，∴，设在中，，∴解得∴故答案为：.（3）解：如图3中，连接，作于M，

当与共线，且时，面积最大由题意：.∵，∴.∵.∴，则，的面积的最大值为，故答案为：3．(1)①见详解②见详解(2)，四边形的面积最大，且最大值为【分析】（1）①过点E作于点T，通过“”即可证明；②由①知以及等腰证明且，作可知，四边形为矩形，再根据推出，从而证明四边形为正方形，最后利用E是中点，即可求出答案．（2）利用第一问的证明方法可证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值．【详解】（1）证明：①过点E作于点T，如图所示，

∵四边形为矩形，∴．∵E为中点，∴．∵，，，∴．∴．②由①知∵为等腰直角三角形，∴，．∴．∵，四边形为矩形，∴，∴四边形为矩形．∵，，∴．∵，，∴．∴．∵四边形为矩形，∴四边形为正方形．∴，∵，∴；（2）解：过点H作于点Q，过点E作于点R，过点H作于点T，连接和，如图所示，

∵四边形为矩形，∴．∵E为中点，∴．∵，，，∴．∴．∵为等腰直角三角形，∴，．∵，四边形为矩形，∴，∴四边形为矩形．∵，，∴．∵，，∴．∴，．∵，，∴．∵四边形为矩形，∴四边形为正方形．∴．∵，∴．∵，，，∴四边形为矩形．∴．∴设∴∴∵，开口向下∴当时，即，的面积最大，且最大值为．∴四边形的面积的最大值为：【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题是解题的关键．4．(1)；(2)；(3)，最大值为．【分析】（）只要证明即可解决问题；（）如图，连接，作于，证明，可得，由此即可解决问题；（）如图，作于Q，则，，根据矩形的性质证明，根据矩形的两邻边，，得，由此即可解决问题．【详解】（1）∵四边形是矩形，，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：；（2）如图，连接，作于Q，则，，

∵四边形是菱形，∴，，∴，在矩形中，，∴，∴，即∠DNE＝∠MFQ，∴，∴，∵，，∴，∴，∴与的函数关系式；（3）如图，作于，则，，

∵四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵矩形的两邻边，，∴，∴，∵，∴，∵，∴的最大值为．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、二次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用二次函数的性质确定最值问题．5．（1）；（2）存在最大值，最大值为，【分析】（1）翻折的对应边等，勾股定理计算，求出，再设，在三角形中用勾股定理建立方程计算即可求；（2）利用三角形中线和折叠得到、、、共圆，得到平行，′的面积转换为的面积，从而面积最值转换为角的最值．【详解】解：（1）将沿所在直线翻折得，∴，，在矩形中，，，∴由勾股定理得，∴，∴，设，则，∴由勾股定理得，∴，∴，∴；（2）存在．理由：∵，为斜边上的中线，，∴，∵沿所在直线翻折，点的对应点为，∴，，∴以为圆心，为半径的圆，、、、在同一圆上．∴，∵，∴，∴∴，∴与同底，等高，∴，∴当时，的面积最大，最大值为，此时，，综上，′的面积存在最大值，最大值为，．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，四点共圆，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．(1)(2)3(3)【分析】（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，∴，，∵，逆时针旋转矩形得到矩形，∴，∴，故答案为：；（2）∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，∴，，在与中，∵，∴∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得∴，解得：，∴；（3）解：∵为边的中点，∴，∴，

过A作于E，∵点B到的距离小于，∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．7．(1)(2)(3)【分析】（1）连接，，利用勾股定理得，结合旋转得和，即可求得答案；（2）连接，由旋转性质得，，，即可判定，得，由题意可知，进一步得，利用勾股定理得，即可求得；．（3）连接，交于点O，连接和，由矩形性质得，根据题意得是的中位线，可知点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动，当为直径时，即点P于点B重合时，最大；【详解】（1）解：连接，，如图：∵是矩形，∴，又∵，，∴，，∴，由旋转的性质得：，∵∴，∴．（2）连接，如图，由旋转性质得，，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，，则，那么，解得．（3）连接，交于点O，连接和，如图，∵是矩形，∴，∵点P是的中点，∴是的中位线，∴，∴点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点P于点B重合时，最大，最大为：．【点睛】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，以及动点问题，圆的基础知识，解题的关键是利用旋转找到对应关系和添加辅助线．8．(1)①；②，理由见解析(2)4【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，，即，即当最大时，最大，可知当与重合时，最大，即最大，，，，计算求解即可；②计算求解，则，由勾股定理得，，即，整理得，；（2）如图，延长到，作，证明，则，，设，则，，，，，则，，，即，求出满足要求的解，然后计算作答即可．【详解】（1）①解：∵矩形，∴，，由勾股定理得，，即，∴当最大时，最大，∵等边三角形，∴，，∴当与重合时，最大，即最大，∴，∴，∴，∴，解得，，故答案为：；②解：，理由如下：∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，即，整理得，，故答案为：．（2）解：如图，延长到，作，

∵，，，∴，∴，，设，则，，，，∵，，∴，∴，，∴，∴，解得，或（舍去），∴，∴的长度为．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，一次函数的应用，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．9．(1)(2)，见解析(3)【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后求出，再根据等角的余角相等求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（2）过点作交于点，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（3）连接，连接，设它们交于点，利用已知条件和（1）的结论得到，则点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大；过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质和等底等高的三角形的面积相等可得：三角形的面积四边形的面积，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．【详解】（1）解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，；（2）解：、、的数量关系为：．理由：如图，过点作交于点，

在和中，，，，由（1）知：，，．，，．∵，，．在和中，，，，由（1）知：是等腰直角三角形，，，，，，；（3）解：四边形面积的最大值为．理由：连接，连接，设它们交于点，如图，

正方形的边长为2，，，．是等腰直角三角形，，，．点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大．如图，则，由（1）知：，，，，，，过点作于点，过点作，交的延长线于点，，在和中，，，，，，，，∴，三角形的面积四边形的面积，由题意：，，．三角形的最大面积为．四边形面积的最大值为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，，根据线段中点的性质确定，最后根据全等三角形的判定定理即可证明；（2）连接．根据全等三角形的性质确定，，根据线段中点的性质确定，，证明四边形是平行四边形，再根据，易证四边形是矩形，即可证明；（3）过点G作交的延长线于H，过点A作于M，过点F作交的延长线于N．根据全等三角形的性质和勾股定理确定当点E与点B重合时，取得最大值．根据直角三角形的边角关系求出和的长度，根据勾股定理求出的长度，根据平行四边形的性质，全等三角形的性质，线段的和差关系求出的长度，根据直角三角形的边角关系求出和的长度，进而求出的长度，最后根据勾股定理即可求出的最大值．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵点G是AD中点，∴，∴；（2）解：如下图所示，连接，∵，∴，，∵点G是AD中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴；（3）解：如下图所示，过点G作交的延长线于H，过点A作于M，过点F作交的延长线于N，∵，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，∵，∴，∴当点E与点B重合时，取得最大值时，即取得最大值，∵，，，∴，，∵，∴，∵，即，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴的最大值为．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定定理和性质、矩形的判定定理和性质、勾股定理，直角三角形的特征，综合应用这些知识点是解题关键．11．(1)(2)点M一定在的角平分线上，理由见解析(3)(4)3【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可；（2）过点作，证明，得到，即可得出结论；（3）连接，由（2）可知，点在的角平分线上，求出点与点重合时的长，以及点落在上的长，两条线段的差值即可点运动的路径长；（4）取的中点，过点作，垂径定理，得到为的中点，进而得到，得到当最大时，最大，设，根据，列出比例式，求出的最大值，即可得出结果．【详解】（1）解：∵矩形，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）一定，理由如下：过点作，则四边形为矩形，∴，∵正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴点一定在的角平分线上；（3）连接，由（2）知：点一定在的角平分线上，∴，当点与点重合时，点与点重合，此时：，∵正方形，∴，当点M落在边上时，此时，∴，∴点运动的路径长为：；（4）设的交点为，∵，∴点为的外心，过点作，则：，∴为的中位线，∴，设，则：，由（1）知：，∴，∴，∴，∵，∴的最大值为，∴的最大值为3，即：的外心到边的距离的最大值为3．【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外心，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．12．(1)证明见解析；，(2)．【分析】()证明，得到，再证明，得，证明出即可；作于，利用，得出，，设为单位，，，利用表示出，再由列出方程，解得，即，在中，由勾股定理得：，则，由四边形是正方形得，证明，求出，然后代入求值即可；()过点作，交的延长线于，连接，延长交于点，分析出当点与相切时，满足题意，设为单位，求出，再计算解答即可.【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；解:作于，如图，∵，∴，，由（）得，∴，∴，∵，，，∴，∴，，设为单位，则，设，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，即，∴，由（）得，在中，由勾股定理得：，∴，∵四边形是正方形，∴，∵∴，∴，即，∴，∴，∴；（2）如图，过点作，交的延长线于，连接，延长交于点，∵，∴，∴，∵为定值，∴当最大时，的值最大，即的值最大，∴当与距离最大时，即当点与相切时，满足题意，∴，∵，∴共线，设为单位，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．13．(1)；(2)是等腰直角三角形，见解析(3)【分析】（1）由题可知、均是中位线，由，根据，，，得到，继而得到，结合平行线的性质，得到即可．（2）先证，转化成（1）证明即可.（3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，根据点A是定点，是定长，判定点D在以A圆心，以4为半径的圆上，根据直径是最大的弦，确定点B，A，D三点共线时，有最大值，且为14，计算的最大值即可.【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点，∴、均是中位线，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，,故答案：；．（2）是等腰直角三角形，理由如下：连接，∵，，，∴，∵，∴，∴，∵点M、P、N分别为、、的中点，∴、均是中位线，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，,故是等腰直角三角形．（3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，∵点A是定点，是定长，，∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上，∵直径是最大的弦，∴点B，A，D三点共线时，且B，D在点A的两侧时，有最大值，且为14，∴，∴的最大值为49.∴面积的最大值为.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键.14．(1)45(2)①是定值，；②(3)的最大值为【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论；（