向量代数与空间解析几何练习题

第4章向量代数与空间解析几何练习题

习题4.1

一、选择题

1.将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是

()

(A)直线；(B)线段；(C)圆：(D)球.

2.下列叙述中不是两个向量。与Z?平行的充要条件的是()

(A)。与人的内积等于零；(B)4与/7的外积等于零；

(C)对任意向量c有混合积(abc)=O；(D)。与〃的坐标对应成比例.

3.设向量。的坐标为』，则下列叙述中错误的是()

31

(A)向量”的终点坐标为(x,y,z)；(B)若。为原点，且04=。，则点A的坐标为

(C)向量。的模长为；(D)向量(_r/2,y/2,z/2)与。平行.

123

4.行列式231的值为()

312

(A)0；(B)1；(C)18；(D)-18.

5.对任意向量。与〃，下列表达式中错误的是()

(A)|a|—|—a|；(B)\a\+\b\>\a+b\；(C)\a\-\b\>\ab\；(D)|a|*|Z7|>|axb\.

二、填空题

1.设在平行四边形ABCD中，边BC和CD的中点分别为M和N,且而=〃，K=q,

则而=,CD=.

2.己知AA8C三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8：0,0),C(0,8,6),则边上的中

线长为.

3.空间中一动点移动时与点4(2,0,0)和点仅8,(),())的距离相等，则该点的轨迹方程是

4.设力尸=2i+3/+5k,则/将一个质点从40,1,3)移到8(36,1)所做的功为

5.已知A(3,5,2),8(1,7,4),C(2,8,0),则而•而^二：

=,AA4C的面积为.

三、计算题与证明题

1.已知|a|二l,|Z?|二4,|c|=5,并且。+〃+。=().计算ax/?+/?xc+cx。.

2.已知|。"=3,\axb\=4,求|。|・|加.

3.设力尸=-2i+3/+5Z作用在点A(3,6,l),求力尸对点3(,1,7,-2)的力矩的大小.

4.已知向量入与々(,1,5,-2)共线，且满足万•1=3,求向量”的坐标.

5.用向量方法证明，若一个四边形的对角线互相平分，则该四边形为平行四边形.

6.已知点A(3,8,7),8(-1,2,-3)求线段AB的中垂面的方程.

7.向量。，b,c,具有相同的模，且两两所成的角相等，若。，力的坐标分别为

(1,1,0)和(0,1J),求向量。的坐标.

8.已知点A(3,6,l),仅2,-4,1),C(0,-2,3),£>(-2,0-3),

(1)求以AB,AC,为邻边组成的平行六面体的体积.

(2)求三棱锥A-3c。的体积.

(3)求ABC/)的面积.

(4)求点A到平面8c。的距离.

习题4.2

一、选择题

5.通过Z轴和点A(913,22)的平面的方程是.

三、计算题与证明题

1.求经过点43,2,1)和5(-1,2-3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.

2.求到两平面a:3x-y+2z-6=0和/£+上+：=1距离相等的点的轨迹方程.

3.已知原点到平面a的距离为120,且a在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求a的方

程.

4.若点A(2,0「l)在平面。上的投影为8(-2,5,1),求平面。的方程.

5.已知两平面7y-6z-24=0与平面分：2入一3，〃、+1收-19=0相互垂直，求〃?

的值.

6.已知四点A(0,0,0),B(,2-5,3),C(O,1-2),0(2,0,7),求三棱锥。-A3C中ABC面

上的高.

7.已知点A在z轴上巨到平面。：4x—2)，—7z+14=0的距离为7,求点A的坐标.

8.已知点.A在z轴上且到点8(0,—2,1)与到平面二:6工—2丁+32=9的距离相等，求点4

的坐标.

习题43

一、选择题

2x-3y7+5z=0平行的是(

1.下列直线中与直线《)

x-2y+3z=-\

(A)二上=二2x+y+z-8=0

(B)

-111x+2y-z-27=0

(o旦二一x+y-5=0

(D)

2-13x+z-12=0

2.下列平面中与直线上土2=三垂直的是(

)

3-1-2

(A)x-5y+4z-12=0；(B)2.v-y-z-6=0；

(C)3x-y-2z+\1=0；(D)3x+>,+2z-17=0.

3.直线小=二3=,一士/x—2y—3z+2

与直线乙：-----=~~=----的-位置关系是()

316

(A)重合:(B)平行;(C)推交;(D)异面.

4.与平面a:%-5、+-10=0垂直且经过点A(l,-2-l)的直线的方程是()

x-5y+z-10=0x-5y+z-10=0

(A)(B)

2x+3y-z+3=0-2x+1Oy-2z+20=0

,、工-1y+2z+1x-1_y+2_z+1

(C)----=-——=----;(D)

1-51-51

,士八、,x-1y+2z+1

5.与直线/：——=/一=——平行且经过点42,5,2)的直线是()

111

/、x+2y+5z+2z-2

(A)----=2—=-----

111~T

(C)£±2=7±5=£12(D)二二士

173173

二、填空题

直线/:2=2二

1.=三与平面。：工一丁+2-11=0的夹角是

40•

2.经过P(3,2,-l)且平行于z轴的直线方程是

3.已知AABC三顶点的坐标分别为A(2,0,-2,8(2,-2,6),(C)(0,8,6),则平行于3C

的中位线的直线方程为

X—y4-3z-10=0

4.经过直线〈，与点A(2,0,-l)的平面的方程是.

2xIyzI17=0

5.经过原点o(o,o,o)口与直线—=2=三上2和二二—=—都垂直的直线的方程是

11—11—10

三、计算题与证明题

1.求经过点P(l-2,0)且与直线二1=2二］=El和2=上=四都平行的平面的方程.

1101-10

r—1y—37

2.求通过点P(l,0,-2),而与平面3x-y+2z-l=0平行且与直线一二金一二一相交的直线

4—2i

的方程.

x-3y4-4z-4人，十骨

3.求通过点A((),(),()))与直线-----==-----的平面的方程,

21

4.求点尸(1,-1,0)到直线三匚=上=出的距离.

1—10

c3x—y4-2z—6=0

5.4取何值时直线，与z轴相交?

x+4y-2z—15=0

x+2z=()

6.平面x+y+z+l=O上的直线/通过直线《与此平面的交点且与4垂宜,

y+z+1=0

求/的方程.

7.求过点(-3,25)且与两平面x-4z=3和3x-y+z=1平行直线方程.

8.一平面经过直线(即直线在平面上)I：--=^1=-,且垂直于平面

314

x+y-z+15=0,求该平面的方程.

习题4.4

一、选择题

1.下列曲面中不是关于原点中心对称的是()

222222

VrZvxz

(A)椭球面：-=4-+—+—=1：(B)单叶双曲面：J+f--7=1;

a-b~c-crb-c-

2

V/z2v2x2

(C)双叶双曲面：r——7——7=1;(D)椭圆抛物面：+—=2pz.

a2b2c2a2b2

4元2+3丫2+2_25

2.母线平行于z轴，准线为曲线4)_的柱面的方程是()

z=3

(A)4x2+3y2=16：(B)4x2+3y2+z2=25；

(C)4x+3y=4；(D)4x2+3y2=z2.

3.将坐标平面x。)，上的曲线2/一3)/=36绕)，轴旋转得到的旋转面的方程是(

222

(A)2.r-3/+2z=36;(B)2A:-3/+3z=36；

(C)2x2-3/-3z2=36；(D)2.r+3y2+3z2=36.

222

4.曲线二+二一二二1与平面y=4相交，得到的图形是()

34-5~

(A)一个椭圆.；(B)一条双曲线；

(C)两条相交直线；(D)一条抛物线.

5.下列曲面中与一条直线相交，最多只有两个交点的图形是()

(A)椭球面；(B)单叶双曲面；(C)柱面；(D)锥面.

二、填空题

1.经过原点与(4,0,0)s(I,3,0),(0,0,~4)的球面的方程为

2.坐标平面xoz上的曲线X?+Z?-1Oz+9=0绕坐标轴z轴旅转一周得到的曲面的方程是

[x2+4y2=z

3.母线平行于z轴，准线为1)的柱面的方程是______________________.

[z=25

V-24-V2=4

4.顶点在原点且经过圆《)"的圆锥面的方程是.

z=1

5.经过Z轴，且与曲面f+(y_5)2+z2=4相切的平面的方程是.

三、计算题与证明题

1.一动点P到定点A(Y,O,。)的距离是它到3(2,0。)的距离的两倍，求该动点的轨迹方程.

2.已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy面和xOz面是它的两个对称面，且过点(6,1,2)与

(1,1/3,-1),求该椭圆抛物面的方程.

3.求顶点为。(0,0,0),轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点(3,2,1))的圆锥面的方程.

4.已知平面Q过z轴，且与球面/十十z’-6x-8y+10z十41=0相交得到一个半径为

2的圆，求该平面的方程.

Y-1

5.求以z轴为母线，直线4"为中心轴的圆柱面的方程.

[y=l

6.求以z轴为母线，经过点4,4,2,2）以及。（6,-3,7）的圆柱面的方程

7.根据2的不同取值，说明（9一口1+（4一心）,2+（]一幻22=1表示的各是什么图形.

222A_V=1

8.己知椭球面二+匕+二=1经过椭圆(5正'与点A(1,2,JX),试确定X,y,Z

xyz门

的值.

复习题四

一、选择题

1.将下列列向量的起点移到同一点，终点构成一个球面的是()

(A)平行于同一平面的单位向量；(B)平行于同一直线的单位向量；

(C)平行于同一平面的向量；(D)空间中的所有单位向量.

2.下列叙述中不是两个向量。与〃平行的充分条件的是()

(A)\a\-\b\=O；(B)。与Z?的内积等于零；

(C)对任意向量c有混合积(D)。与匕的坐标对应成比例.

147

3.行列式258的值为()

369

(A)0；(B；1；(C)3：(D)-3.

4.下列向量中与平面R-y+2z-U=0平行的是()

(A)C(l-1,2)；(B)C(-l,l-2)；(C)C(l,5,2)；(D)C(-l,5-2)

5.下列两平面垂直的是()

(A)x—)，一3z—6=0与2x—2y—6z+12=0：

(B)工一)，-32—6=0与工-8)，+2+1=0；

(C)x-y—3z-6=0与x-2y+z+l=()：

6.原点。(0,0,0)到平面x=2的距离是()

厂也

(A)2；(B)4；(C)2J2；(D)—.

7.下列平面中与直线四上2二二垂直的是()

3-1-2

(A)x-5y+4z-12=0；(B)2x-y-z-6=0；

XVZ

(C)-------=1；(D)3x+y4-2z-17=0.

263

8.直线(：［3x+5y_z+ll=0与直线4：2二二二三的位置关系是()

x+8—1lz-17=06—2—3

(A)重合；(B)平行；(C)相交；(D)异面.

9.下列曲面中不是关于原点中心对称的是()

222222

（A）长型型旋转椭球面：与+二+==1（。＞»；（B）单叶旋转双曲面：与+二一二二1；

a~b-b-a-a-b'

222

（C）双叶旋转双曲面：与■一二■——二1；（D）椭圆抛物面：x2+y2=z.

a~b~b~

x2v2z2

10.曲线右+白-菊=1与平面z=3相交,得到的图形是（）

（A）个椭圆；（B：•条双曲线；（C）两条相交直线；（D）•条抛物线.

二、填空题

1.设在平行四边形ABCD中，对角线AC交B力于点O,且就＞=〃，丽二夕，则

AB=,AD=.

2.已知AABC三顶点的坐标分别为A（0,0,2）,B（8,0,0）,C（0,8,6）,则边BC上高的

长为.

3.设力产=-2，+3./+&,则/将一个质点从4（一1,1,3）移到8（-3,0,1）所做的功为

4.平面x—2—3z+6与三坐标轴分别交于点A、B、C,则三棱锥O—48C的体积为

5.通过x轴且到点4,3,1,-4）的距离为2的平面的方程是.

6.经过