二项式定理（分层作业）-高二数学（人教A版2019选修第三册）

6.3.1二项式定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022秋·山西朔州·高二校考阶段练习）若的展开式共有12项，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根据二项式定理可知，求出答案.【详解】由二项式定理知展开式共有项，所以，即．故选：A．2．（2022·高二课时练习）展开式中的第三项为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可.【详解】由题设，展开式通项为，第三项有，则.故选：D3．（2022秋·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案.【详解】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意.故选：A4．（2021·高二课时练习）化简（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将代数式进行变形，结合二项式定理可得结果.【详解】.故选：B.5．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）展开式中的常数项是（

）A．160 B．140 C．160 D．140【答案】A【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为确定常数项的项数，代入通项公式可得常数项.【详解】展开式通项为，令，所以，所以常数项为，故选：A.6．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当展开式的项只含有1个字母时，有3项，当展开式的项只含有2个字母时，有项,当展开式的项含有3个字母时，有项,所以的展开式共有45项；故选：A.7．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【分析】根据条件结合的展开式即得.【详解】.故选：D.二、多选题8．（2022秋·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）在二项式的展开式中，有（）A．含x的项 B．含的项C．含x4的项 D．含的项【答案】ABC【分析】利用二项展开式的通项，结合所给的选项即可得出答案．【详解】二项式的展开式的通项为，当时，，知A正确；当时，，知B正确；当时，，知C正确；当时，，知D错误．故选：ABC．9．（2022秋·浙江宁波·高二统考期末）若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】A选项，根据等式右边的系数为1求出；B选项，求出中的系数为，中的系数为，求出；CD选项，赋值法求解各项系数和与，从而判断CD选项【详解】因为等式右边的系数为1，所以，A正确；中的系数为，中的系数为，所以，B错误；中，令得：，所以，令得：，所以，C错误；中，令得：，即，而，所以，，D正确.故选：AD三、填空题10．（2022秋·广东东莞·高二校联考期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.【答案】【分析】根据二项式的性质计算可得；【详解】解：二项式展开式中一共有项，所以，解得；故答案为：11．（2022·高二课时练习）用二项式定理展开______．【答案】【分析】利用二项式定理展开即可.【详解】．故答案为：12．（2022秋·全国·高二期末）若展开式中第5项为常数项，则________；【答案】7【分析】根据二项展开式的通项公式可得.【详解】为常数项，所以.故答案为：7.13．（2022秋·广东韶关·高二统考期末）的展开式中常数项为____________（用数字作答）．【答案】15【分析】利用二项展开式的通项公式直接求得.【详解】展开式的通项公式为.要求常数项，只需r=2，则有.故答案为：15.14．（2021·全国·高二专题练习）的展开式中，的系数为______.【答案】【分析】本题首先可以写出二顶式的展开式的通项，然后令，即可得出结果.【详解】二顶式的展开式的通项，令，即，，的系数为，故答案为：.15．（2023·高二单元测试）在的二项展开式中，的系数为______．【答案】##2.5【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可得的系数.【详解】因为展开式的通项为令，可得的系数为.故答案为：.16．（2023·高二课时练习）在的二项展开式中，第9项为______．【答案】【分析】求出二项展开式的通项公式，再求第9项.【详解】的二项展开式通项公式为：，所以第9项为：，故答案为：.17．（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）的展开式中，的系数等于_______.【答案】【分析】只可能出现在后三项中，直接利用二项展开式的通项进行求解即可.【详解】依题意，这一部分才会出现，它们展开式含有的项为：.故答案为：18．（2022秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第___________项.【答案】【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，然后设第项系数最大，列出不等式组，求出，从而得到答案.【详解】展开式的通项公式为，假设第项系数最大，则有，解得：，因为，所以，则，即系数最大的是第1868项.故答案为：186819．（2020秋·河南信阳·高二统考期中）已知，则的值为_______．【答案】243【分析】根据题意，利用赋值法，令即可得到答案【详解】解：因为，所以令，则，所以，故答案为：243四、解答题20．（2022·高二课时练习）化简：．【答案】【分析】根据式子结构，逆用二项式定理即可求解.【详解】∵，，，∴原式．21．（2023·高二课时练习）已知的二项展开式中项的系数为20，求的最小值．【答案】2【分析】由二项展开式的通项，结合已知条件可得，再利用基本不等式即可得解.【详解】的二项展开式的通项为．令，则，于是，得，所以，（当且仅当时等号成立），即的最小值为2．【能力提升】一、单选题1．（2022秋·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）设为奇数，那么除以13的余数是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【分析】用二项式定理将原式化为，进而化为，再用二项式定理展开，即可得到答案.【详解】因为为奇数，则上式=.所以除以13的余数是10.故选：C.2．（2022春·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.【详解】若，由二项式定理得，则，因为能被5整除，所以a除以5余，又因为，选项中2026除以5余1．故选：D．3．（2022秋·北京大兴·高二统考期末）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案.【详解】由，所以.故选：B4．（2021春·江西抚州·高二金溪一中校考阶段练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.【详解】根据题意，得，因为且，当时，，即为有理式；当时，，即为有理式；当时，，即为有理式；当时，，即为无理式；所以展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式，先对6个无理式进行排列，共有种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.故选：C.5．（2022·高二课时练习）化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式，化简．故选：D.6．（2021·高二课时练习）的展开式中常数项是（

）A．252 B．220 C．220 D．252【答案】A【分析】化简二项式为，求得展开式的通项，令，求得，代入即可求解.【详解】由，可得二项式的展开式通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.二、填空题7．（2022·高二课时练习）计算：________．【答案】1【分析】将整理变形为二项式形式，即可求得答案.【详解】,故答案为：1三、双空题8．（2021·高二课时练习）已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：（1）n的值为________；（2）含x的整数次幂的项有________个．【答案】

10

6【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据第9项为常数项求出n的值；（2）要使2nk，即为整数，得出k的取值.【详解】二项展开式的通项Tk+1==．（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n－k=0，解得n=10．（2）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．故答案为：10；6.四、解答题9．（2022·高二课时练习）求证：当时，为偶数．【答案】证明见解析【分析】首先写出与的展开式，再对分奇、偶两种情况讨论，分别证明即可；【详解】证明：，，当为正奇数时，，而显然为正整数，所以为偶数；当为正偶数时，，而显然为正整数，所以为偶数．综上，当时，为偶数．10．（2022·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接利用二项式定理求解；（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.(1)解：．(2)解：．11．（2021·高二课时练习）化简：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）由二项式定理可化简；（2）由二项式定理可化简.(1)；(2).12．（2023·高二课时练习）（1）计算：；（2）计算：；（3）猜想的值，并证明你的结果．【答案】（1）4；（2）8；（3），证明见解析.【分析】对（1）（2）直接求解；猜想出，利用二项式定理，进行赋值即可证明.【详解】（1）；（2）；（3）猜想：.下面进行证明：由二项式定理得：令得：，即.13．（2023·高二课时练习）已知．求证：当为偶数时，能被64整除．【答案】证明见解析【分析】由题意得，因为为偶数，设可表示出，即，利用二项式定理展开，即可证明结论.【详解】证明：,因为为偶数，设，所以当时，（*）,当时，，显然能被64整除；当时，（*）式能被64整除,所以为偶数时，能被64整除．14．（2022·高二单元测试）（1）证明：；（2）计算：.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据组合数公式计算可得；（2）结合（1）中的结论及二项式定理计算可得.【详解】解：（1）.（2）.其中.15．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）在的展开式的二项式系数和为64．(1)求的值；(2)求展开式的常数项．【答案】(1)(2)240【分析】（1）根据二项式系数和为，即可求出的值；（2）利用二项式定理展开式令的指数为零，得出参数的值，即可得出所求的常数项.(1)在的展开式的二项式系数和为64，即，解得．(2)由（1）知，的展开通项为，令，解得，所以展开式的常数项为．16．（2023·高二课时练习）求的二项式展开式中的倒数第4项．【答案】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：的二项展开式中共有11项，倒数第4项为第8项，所以．17．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）在二项式的展开式中，______．给出下列条件：①所有偶数项的二项式系数之和为256；②前三项的二项式系数之和等于46．试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：(1)求展开式的常数项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项．【答案】(1)(2)【分析】（1）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，常数项即，可得k的值，即得常数项；（2）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系数绝对值最大的项【详解】（1）的二项展开式的通项为．选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．选②，前三项的二项式系数之和为，解得．由上知，展开式的通项为，常数项即当时，，∴常数项为．（2）由（1）得，的二项展开式的通项为，故第项的系数的绝对值为：．由题设，令，解得，∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．18．（2022秋·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期末）已知的展开式中，第4项为．(1)求正整数n的值；(2)求的展开式中的系数．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）由二项式定理求得第4项，由已知第4项的系数与指数列方程组可得；（2）写出展开式通项公式，确定所在项数，从而得结论．(1)的展开式中，第4项为，可得，解得，故正整数n的值为5．(2