学易2025届数学高二下期末达标测试试题含解析

学易2025届数学高二下期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的前n项和为，满足，，若，则m的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．92．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）A． B．C． D．3．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．2564．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品()A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台5．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则为（）A． B． C． D．6．函数的图像可能是（）A． B．C． D．7．一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（）A． B． C． D．8．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．9．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.510．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A． B．C． D．11．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．12．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的焦距为，则其离心率为__________．14．已知是夹角为的两个单位向量，，则___．15．已知为第二象限角，，则____________.16．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.18．（12分）设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.19．（12分）的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.20．（12分）如图直线经过圆上的点，OA=OB，CA=CB，圆交直线于点、，其中在线段上，连接、.（1）证明：直线是圆的切线；（2）若，圆的半径为，求线段的长.21．（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值.22．（10分）已知、为椭圆的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通项公式，再利用裂项相消法求出sm，最后根据已知，解出m即可．【详解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故选：C．本题考查前n项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属于中等难度．2、C【解析】

当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选．遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.3、C【解析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题4、B【解析】

根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【详解】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。5、B【解析】

平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.【详解】设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根据的球的体积公式有，，故选：B.本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.6、A【解析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选：A．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．7、C【解析】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：，∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：.本题选择C选项.8、A【解析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9、C【解析】分析：函数有极值点，则有解，可得的取值范围，再根据随机变量服从正态分布，可得曲线关于直线对称，从而可得结论.详解：函数有极值点，有解，，，随机变量服从正态分布，若，.故选：C.点睛：本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查运算求解的能力，属于中档题.10、D【解析】

函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.11、C【解析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.12、C【解析】共6种情况二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：已知双曲线的焦距为，故c=，然后根据焦点位置的不同由建立等式关系即可得出m，再求离心率即可.详解：由题可知：当m<2时，焦点在x轴上，，此时或者当m>3时，焦点在y轴，，此时，故综合得离心率为点睛：考查双曲线基本性质和标准方程，属于基础题.14、【解析】

先计算得到，再计算，然后计算.【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.15、【解析】

根据同角三角函数平方关系和的范围可求得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】为第二象限角，，，由得：，.故答案为：.本题考查根据同角三角函数平方关系和商数关系求解三角函数值的问题，属于基础题.16、【解析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【详解】根据题意，，所以，故.本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率．【详解】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以，即．恰好得到分的概率是．此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．18、(1);(2).【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞1，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞1．详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.（2）解：由得：由得：设，，则，∴又到的距离为，∴即，解得：.符合，故.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19、（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.20、（1）详见解析；（2）5.【解析】试题分析：（1）若要证明AB为圆O的切线，则应连接OC，证明OC⊥AB，根据题中条件，OA=OB得三角形OAB为等腰三角形，再由CA=CB，即C为AB中点，因此OC⊥AB，又C在圆O上，所以AB为圆O的切线。本问考查圆的切线的证明，一是证明垂直，二是说明点在圆上，就可以证明是圆的切线了。（2）直线是圆的切线，.又，可以证明，可以得出对应线段成比例，，又根据，故.设，则，又，故，即.从而可以求出x的值，即BD的长，OA=OB=OD+DB,就可以求出OB的长度。试题解析：（1）连结.又是圆的半径，是圆的切线.（2）直线是圆的切线，.又，，则有，又，故.设，则，又，故，即.解得，即..考点：1.圆的相关证明；2.三角形相似21、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角的大小；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出的最大值；【详解】（I）由正弦定理得：，因为，所以，所以由余弦定理得：，又在中，，所以.（II）方法1：由（I）及，得，即，因为，（当且仅当时等号成立）所以.则（当且仅当时等号成立）故的最大值为2.方法2：由正弦定理得，，则，因为，所以，故的最大值为2（当时）.本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及辅助角公式，考查了数学运算能