天津市宁河区芦台第一中学2024-2025学年高二下数学期末预测试题含解析

天津市宁河区芦台第一中学2024-2025学年高二下数学期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给定下列两种说法：①已知，命题“若，则”的否命题是“若，则”，②“，使”的否定是“，使”，则（）A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确2．已知函数，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．3．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）种（Ｂ）种（Ｃ）种（Ｄ）种4．定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i5．已知复数，若，则实数的值为()A． B．6 C． D．6．6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（）A．5 B．6 C．9 D．127．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．8．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C．有的把握说变量有关系D．有的把握说变量没有关系9．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．10．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为()A． B． C． D．11．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．半径为2的球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的化简结果为____________14．关于x的方程的解为_________.15．有3个兴趣小组，甲､乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．16．设集合，则集合中满足条件“”的元素个数为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于两点，直线交直线于点，求证：直线平分线段.18．（12分）[选修4-4：坐标系及参数方程]已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.19．（12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1)求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.20．（12分）已知分别为椭圆的左右焦点，上顶点为，且的周长为，且长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）已知，若直线与椭圆交于两点，求.21．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，.（1）求证：四棱锥为阳马；并判断四面体是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（要求写出结论）.（2）若，当阳马体积最大时，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函数.（1）若函数的最小值为2，求实数的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假.【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故①正确；②中，特称命题的否定是全称命题，所以②正确，综上知，①和②都正确.故选：D本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.2、C【解析】

根据构造方程组可求得，得到解析式，根据求得结果.【详解】由得：，解得：由得：，解得：本题正确选项：本题考查根据函数值的取值范围求解参数范围的问题，关键是能够通过函数值的等量关系求得函数解析式，从而根据函数值的范围构造出不等关系.3、C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法故选C；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；4、D【解析】分析：直接利用新定义，化简求解即可.详解：由＝ad－bc，则满足＝－2，可得：，，则.故选D.点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力.5、D【解析】

根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案．【详解】，∵，∴，则．故答案选D．本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数．6、C【解析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为种；第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为种；故不同的安排种数是种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.7、A【解析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8、A【解析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．详解：∵观测值，

而在观测值表中对应于3.841的是0.05，

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系．

故选：A．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9、C【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】z=，故选：C.本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、D【解析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．11、B【解析】

因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，，，即函数在上有一个零点答案选B零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数12、D【解析】

根据球的表面积公式，可直接得出结果.【详解】因为球的半径为，所以该球的表面积为.故选：D本题主要考查球的表面积，熟记公式即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解析】

由指数幂的运算与对数运算法则，即可求出结果.【详解】因为.故答案为18本题主要考查指数幂运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.14、0或2或4【解析】

因为，所以：或，解方程可得．【详解】解：因为，所以：或，解得：，，，（舍）故答案为：0或2或4本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．15、【解析】试题分析：由题意可知：.考点：随机事件的概率.16、58024【解析】

依题意得的取值是1到10的整数，满足的个数等于总数减去和的个数.【详解】集合中共有个元素，其中的只有1个元素，的有个元素，故满足条件“”的元素个数为56049－1－1024＝58024.本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见证明【解析】

（1）利用，得到，然后代入点即可求解（2）设直线，以斜率为核心参数，与椭圆联立方程，把两点全部用参数表示，得出的中点坐标为，然后再求出直线的方程，代入的中点即可证明成立【详解】（1）由得，所以由点在椭圆上得解得，所求椭圆方程为（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程得，消去得因为过焦点，所以恒成立，设，，则，所以的中点坐标为直线方程为，，可得，所以直线方程为，满足直线方程，即平分线段综上所述，直线平分线段（2）解法二：因为直线与有交点，所以直线的斜率不能为0，可设直线方程为，联立方程得，消去得因为过焦点，所以恒成立，设，，，所以的中点坐标为直线方程为，，由题可得，所以直线方程为，满足直线方程，即平分线段综上所述，直线平分线段本题考查求椭圆标准方程，以及证明直线过定点问题，属于中档题18、（1），（2）【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.【试题解析】（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为根据题意得，因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为联立得……8分又，所以19、(1)(2)（3）【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，由条件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到的分布列与期望.试题解析：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，则（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为的可能取值为0，1，2，3.，，所以的分布列为，20、（1）（2）【解析】

（1）根据已知求出a,b，即得椭圆的标准方程；（2）由，得，得到韦达定理，再把韦达定理代入数量积化简即得解.【详解】解：（1）由题可知，，，得又，解得故椭圆的方程为，（2）由，得，设，则，，∵，，∴将，代入，得.本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.21、（1）证明见解析；是，，，，；（2）.【解析】

（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，推导出，，从而BC⊥平面，由此能证明四棱锥为阳马，四面体是否为鳖臑;（2）阳马B﹣A1ACC1的体积：阳马的体积