2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）第2节利用导数研究函数的单调性

第2节利用导数研究函数的单调性高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026强基础•固本增分研考点•精准突破目录索引0102课标解读1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题.强基础•固本增分知识梳理函数的单调性与其导数的关系

条件导数的符号函数的单调性函数f(x)在区间(a,b)内可导f'(x)>0

不等式中不带“=”f(x)在(a,b)内

f'(x)<0

不等式中不带“=”f(x)在(a,b)内

单调递增单调递减微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?提示

充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.[教材知识深化]利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.自主诊断一、基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减.(

)(2)若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增.(

)(3)一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大.(

)(4)若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0.(

)×√××2.(人教A版选择性必修第二册复习参考题5第3题改编)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(

)D解析

由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以在(0,+∞)内f'(x)≤0,在(-∞,0)内f'(x)≥0,观察四个图象可知选D.3.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sinx-x在(0,π)内的单调递减区间是

.

(0,π)解析

由于f(x)=sin

x-x,所以f'(x)=cos

x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).二、连线高考4.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C

5.(2024·新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(

)A.x=3是函数f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)ACD解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=3是函数f(x)的极小值点,∴A正确.当0<x<1时,0<x2<x<1,又由上可知当0<x<1时,f(x)单调递增,∴f(x2)<f(x),

∴B错误.当1<x<2时,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正确.当-1<x<0时,2<2-x<3.由f(x)在区间(-1,0)上单调递增,且在区间(2,3)上单调递减知,-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x),∴D正确.故选ACD.研考点•精准突破考点一利用导数研究不含参数函数的单调性例1(1)(2024·山西太原二模)函数f(x)=xex的单调递增区间是

.(-1,+∞)解析

因为f(x)=xex的定义域为R,则f'(x)=(x+1)ex,且ex>0,令f'(x)>0,则x+1>0,解得x>-1,所以函数f(x)=xex的单调递增区间是(-1,+∞).(2)(2024·福建福州期中)函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是

.

[对点训练1](1)(2024·广东清远期末)函数f(x)=ex-ex+2025的单调递减区间为

.

(-∞,1)解析

函数f(x)=ex-ex+2

025的定义域为R,求导得f'(x)=ex-e,由f'(x)<0,得ex<e,解得x<1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1).

(0,1)

考点二利用导数研究含参数函数的单调性例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)(aex-x).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.解

(1)因为f(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.

[对点训练2]已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,讨论函数f(x)的单调性.

考点三与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)

D

C

A

C

考向2

根据单调性求参数例4(2024·陕西西安模拟)若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(

)A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]B

3

变式探究2本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是

.

变式探究3本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是

.

规律方法根据函数单调性求参数的值或取值范围的类型及解法已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解已知函数f(x)