上海市青浦高中2024-2025学年高二下数学期末综合测试模拟试题含解析

上海市青浦高中2024-2025学年高二下数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．2．随机变量，且，则（）A．64 B．128 C．256 D．323．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．34．设,，，则（）A． B． C． D．5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种6．已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（）A． B． C． D．7．已知函数且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，满足和均为偶函数，且，设，则A． B． C． D．9．已知，则（）附：若，则，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.022810．若y=fx在-∞,+∞可导，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．11．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A． B． C．1 D．212．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________．14．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______.15．如图，两条距离为4的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于，和，，且抛物线的准线与圆相切，则的最大值为______.16．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，，已知函数.（I）当时，求的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意，函数至少有三个零点，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数，将的图象向右平移两个单位长度，得到函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围；（3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围．19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．20．（12分）已知函数，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）求函数的单调区间.21．（12分）已知矩阵，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.22．（10分）实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.2、A【解析】

根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.3、C【解析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．4、A【解析】

先研究函数单调性，再比较大小.【详解】,令，则因此当时，即在上单调递减，因为，所以，选A.本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.5、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．6、C【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C7、A【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为，所以,为偶函数，因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.8、C【解析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案详解：由题意可得：故，周期为故选点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。9、D【解析】

由随机变量，所以正态分布曲线关于对称，再利用原则，结合图象得到.【详解】因为，所以，所以，即，所以.选D．本题主要考查正态分布曲线及原则，考查正态分布曲线图象的对称性.10、D【解析】

根据导数的定义进行求解即可．【详解】∵lim△x→0∴23即23则f'故选D．本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．11、B【解析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小故答案选B本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.12、B【解析】

由于有两个零点，则图象与有两个交点，作出图象，讨论临界位置.【详解】作出图象与图象如图：当过点时，，将向下平移都能满足有两个交点，将向上平移此时仅有一个交点，不满足，又因为点取不到，所以.分段函数的零点个数，可以用数形结合的思想来分析，将函数零点的问题转变为函数图象交点的个数问题会更加方便我们解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】该同学通过测试的概率为，故答案为.14、【解析】

首先根据好评率求获得好评的电影部数，再求总的电影部数，最后求比值.【详解】获得好评的电影部数：共有部电影，所以没有获得好评的电影概率为：.故答案为：本题考查用统计的知识解决实际问题，意在考查分析数据，应用数据的能力，属于基础题型.15、【解析】

先设直线的方程为，再利用直线与圆锥曲线的位置关系将用表示，再利用导数求函数的最值即可得解.【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得或7，又，∴.设直线的方程为，则直线的方程为，则.设，，令，得；令，得.即函数在为增函数，在为减函数，故，从而的最大值为，故答案为：.本题考查了利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.16、【解析】

由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案．【详解】如图，由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1．故答案为．本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（I）将代入函数的解析式，并将函数的解析式表示为分段函数的性质，再结合二次函数的性质得出函数的单调递增区间；（Ⅱ）将函数的解析式去绝对值，表示为分段函数的形式，并判断出该函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点，得出关于与的不等式关系，利用不等式的性质求出的取值范围．【详解】（Ⅰ）当时，，所以的单调增区间为.（Ⅱ）因为，且，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.①若，则在和上无零点，由的单调性及零点的存在性定理可知，至多有两个零点；故，即对任意恒成立，可知.②当时，若或成立，则由的单调性及零点的存在性定理可知至多有两个零点，故，即成立，注意到，故，即对任意成立，可知，综上可知，.因为，所以.设，其顶点在，（即线段）上运动.若，显然存在字图与抛物线只有两个交点的情况，不符合题意，故，如图画出草图.显然当点自点向点运动时，两个图象总有，两个交点，故只需要字形图象右支与抛物线有交点即可，即有两个正根，满足，即对任意都成立，即，又，所以.本题考查了绝对值函数单调区间的求解和函数的零点问题，利用单调性和零点存在定理是解决函数零点问题的常用方法，考查分类讨论思想和转化思想，属于难题．18、（1）（2）（3）【解析】【试题分析】（1）借助平移的知识可直接求得函数解析式；（2）先换元将问题进行等价转化为有且只有一个根，再构造二次函数运用函数方程思想建立不等式组分析求解；（3）先依据题设条件求出函数的解析式，再运用不等式恒成立求出函数的最小值：解：（1）（2）设,则，原方程可化为于是只须在上有且仅有一个实根，法1：设，对称轴t=,则①，或②由①得，即，由②得无解,，则．法2：由，得，，，设，则，，记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须，即，从而有（3）设的图像上一点，点关于的对称点为，由点在的图像上，所以，于是即..由，化简得，设,即恒成立.解法1：设，对称轴则③或④由③得，由④得或，即或综上，.解法2：注意到，分离参数得对任意恒成立设，，即可证在上单调递增19、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.20、（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.【解析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.【详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，，令，或.列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值，极小值；（Ⅱ）由题意得，（1）当时，令，解得；，解得.（2）当时，①当时，即时，令，解得或；令，解得；②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当时，即当时，令，解得或；令，解得.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21、(1)当时，解得,当时，解得;(2)见解析.【解析】分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线