2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练19利用导数研究不等式恒(能)成立问题

课时规范练19利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.(15分)(2024·四川广安模拟)已知函数f(x)=lnx-2ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.2.(15分)(2025·广东广州开学考试)已知函数f(x)=ax-lnx-12(1)当a=-32时,求f(x(2)当x≥1时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.3.(15分)(2025·湖南衡阳开学考试)已知函数f(x)=2alnx-12x2-x(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,不等式f(x)≤ex-12x2+x-xa对∀x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围4.(15分)(2024·江苏无锡模拟)已知函数f(x)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.(1)求函数f(x)的极值点;(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.答案：1.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x-2a=1-2axx.当a≤0时,f'(x)=1-2axx>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,令f'(x)=1-2axx=0,解得x=12a,当x∈(0,12a)时,f'(x)>0;当x∈(12a,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(0,12a)内单调递增,在(12a,+∞)上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若f(x)≤0恒成立,则lnx-2ax≤0恒成立,又x>0,所以2a≥lnxx恒成立.令g(x)=lnxx,只需2a≥g(x)max.又g'(x)=1-lnxx2,令g'(x)=0,得x=e.当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,所以2a≥1e,解得2.解(1)f(x)=-32x-lnx-12x,定义域为(0,+∞),f'(x)=-32−1x+12x2=-3x2-2x+12x2=(-3x+1)(x+1)2x2,令f'(x)>0,得0<x<13,令f'(x)<0,得x>13,故f(x)在(0,13)(2)当x≥1时,不等式ax-lnx-12x≥0恒成立,令g(x)=ax-lnx-12x,x≥1,则g(1)≥0,故a-当a≥12时,g(x)=ax-lnx-12x≥12x-lnx-12x,令t(x)=12x-lnx-12x,则t'(x)=12−1x+12x2=x2-2x+12x2=(x-1)22x2≥0,故t(x)=12x-lnx-12x在[1,+∞)内单调递增3.解(1)当a=1时,f(x)=2lnx-12x2-x(x>0),所以f'(x)=2x-x-1=-x2-x+2x=-(x+2)(x-1)x,因为x>0,所以当x>1时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(2)因为f(x)=2alnx-12x2-x,所以f(x)≤ex-12x2+x-xa可化为2alnx+xa≤ex+2x,所以2lnxa+elnxa≤ex+2x.构造函数g(t)=et+2t(t>0),显然此函数单调递增,所以由2lnxa+elnxa≤ex+2x恒成立可得lnxa≤x对∀x∈[1,+∞)恒成立,当x=1时,此不等式为0≤1恒成立,当x>1时,可得a≤xlnx恒成立,构造函数h(x)=当x>e时,h'(x)>0,h(x)在(e,+∞)内单调递增;当1<x<e时,h'(x)<0,h(x)在(1,e)内单调递减,所以h(x)min=h(e)=e,所以a≤e.综上,实数a的取值范围为(0,e].4.解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1-xx,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),所以x=1是f(x)的极大值点,f(x(2)(方法一)设h(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+m,x∈(0,+∞),则h'(x)=1x+1-(x+1)ex=(x+1)(1x-ex),令t(x)=1x-ex,x∈(0,+∞),则t'(x)=-1x2-ex<0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)=1x-ex在又t(12)=2-e>0,t(1)=1-e<0,所以存在x0∈(12,1),使得t(x0)=1x0−ex0=0,即1x0=ex0,则ln1因此,当0<x<x0时,t(x)>0,即h'(x)>0,则h(x)单调递增;当x>x0时,t(x)<0,即h'(x)<0,则h(x)单调递减,故h(x)max=h(x0)=lnx0+x0-x0ex0+m=0-1+m≤0,解得m≤1,所以当m∈(-∞,1]时,f(x)≤g(x)(方法二)令m(x)=ex-x-1,m'(x)=ex-1,当x<0时,m'(x)<0;当x>0时,m'(x)>0,所以m(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(0)=0,即ex≥x+1.因为xex=ex+lnx,所以xex=ex+lnx≥x+lnx+1,当x+lnx=0时,等号成立,即xex-x-lnx≥1,当x+lnx=0时,等号成立,所以y=xex-x-lnx的最小值为1.若f(x)≤g(x)恒成立,则xex-x-lnx≥m恒成立,所以当m≤1时,