2026版步步高大一轮数学江苏基础第二章§2.10函数的图象（含答案或解析）

§2.10函数的图象课标要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数图象的步骤：、、.

2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝.

②y＝f(x)y＝.

③y＝f(x)y＝.

④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝.

(3)翻折变换①y＝f(x)y＝.

②y＝f(x)y＝.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数.()(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到.()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.()2.函数y＝21－x的大致图象为()3.函数f(x)＝−x4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝.

谨记三个图象变换的注意点(1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位长度，即将x变成x－1(2)“上加下减”只针对函数值f(x).(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.题型一作函数的图象例1作出下列各函数的图象：(1)y＝2x(2)y＝|x2－4x－5|；(3)y＝12思维升华函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.跟踪训练1作出下列各函数的图象：(1)y＝x2－2|x|－3；(2)y＝|log2(x＋1)|.题型二函数图象的识别例2(1)(2024·雅安模拟)函数f(x)＝ex＋e−x(2)已知某函数图象如图所示，则该函数的解析式可能为()A.f(x)＝ln|x|－1B.f(x)＝ln|x|＋1C.f(x)＝1x＋ln|xD.f(x)＝1x－ln|x思维升华识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.跟踪训练2(1)函数f(x)＝3−x(2)(2024·西安模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝cos2x·(ex－e－x)B.f(x)＝sin2x·lnxC.f(x)＝eD.f(x)＝1x·ln题型三函数图象的应用例3(1)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝a,a≤b,b,a>b,若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数FA.函数F(x)是偶函数B.方程F(x)＝0有三个解C.函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增D.函数F(x)有4个单调区间(2)已知函数f(x)＝sinπx,0≤x≤1,log2024x,x>1,若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.跟踪训练3(1)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A.(－2，0)∪(2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)D.(－2，－2)∪(0，2)∪(2，＋∞)(2)已知f(x)＝x2＋2x＋3,x≤0,1＋lnx,x>0,若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f

答案精析落实主干知识1.列表描点连线2.(1)f(x)＋kf(x＋h)f(x－h)f(x)－k(2)①－f(x)②f(－x)③－f(－x)④logax(a>0，且a≠1)(3)①|f(x)|②f(|x|)自主诊断1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.A3.D[要使函数f(x)有意义，即x2＋1≠1，所以x≠0，故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为f(－x)＝xln(x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项当x>0时，－x<0，ln(x2＋1)>ln1＝0，所以f(x)<0，排除选项A.]4.e－x＋1解析由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象.探究核心题型例1解(1)原函数解析式可化为y＝2＋1x−1，故函数图象可由函数y＝1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移(2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.(3)y＝12x−1|－1，其图象可看作由函数y＝12而y＝12x＝12x,x≥0,2x,x<0,其图象可由y跟踪训练1解(1)y＝x2－2|x|－3＝x其图象如图所示.(2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示.例2(1)B[由题意，f(x)＝ex＋e−x4·sinπ则f(－x)＝e−x＋ex4·sin(－πx)＝－ex＋e−所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A，C不满足；当2<x<3时，ex＋e−x4>0，sinπx>0，则f(x)＝ex＋e−x4·(2)D[对于A，f(1)＝ln1－11＝－1，显然不满足图象，故A对于B，f(－1)＝ln|－1|＋1|−1|＝1对于C，f(－e)＝－1e＋1>0，显然不满足，故C错误，故选D.跟踪训练2(1)A[因为f(x)＝3−x2ln(x2＋1)，定义域为(－∞，0)∪f(－x)＝3−(−x)2ln(−所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误；因为f(x)≥0恒成立，且当x＝±3时，f(x)＝0，故B，C错误.](2)B[对于A，函数f(x)＝cos2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合图象，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝ex＋对于D，当x>0时，f(x)＝1x·lnx2x2＋1＝1x[lnx2－ln(例3(1)ABD[根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图.由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确.](2)(2，2025)解析函数f(x)＝sinπx,不妨令a<b<c，可知a＋b＝1，而1<c<2024，所以2<a＋b＋c<2025.跟踪训练3(1)C[根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，则x2−2>0解得x<－2或2<x<2或－2<x<0，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2).](2)(2，3]解析作出函数f(x)的图象，如图，因为存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，所以f(－1)<m≤f(0)，即2<m≤3.

2.10函数的图象课标要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y=f(x)y=-f(x).②y=f(x)y=f(-x).③y=f(x)y=-f(-x).④y=ax(a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1).(3)翻折变换①y=f(x)y=|f(x)|.②y=f(x)y=f(|x|).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=|f(x)|为偶函数.(×)(2)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到.(√)(3)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(×)(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(×)2.函数y=21-x的大致图象为()答案A3.函数f(x)=−xln(x2答案D解析要使函数f(x)有意义，即x2+1≠1，所以x≠0，故f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=xln(x2+1)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项当x>0时，-x<0，ln(x2+1)>ln1=0，所以f(x)<0，排除选项A.4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案e-x+1解析由题意可知f(x)=e-x，把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象.谨记三个图象变换的注意点(1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度，即将x变成x-1(2)“上加下减”只针对函数值f(x).(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.题型一作函数的图象例1作出下列各函数的图象：(1)y=2x(2)y=|x2-4x-5|；(3)y=12x解(1)原函数解析式可化为y=2+1x−1，故函数图象可由函数y=1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移(2)y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.(3)y=12x−1|-1，其图象可看作由函数y=12而y=12x=12x，x≥0，2x，则y=12x−1思维升华函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.跟踪训练1作出下列各函数的图象：(1)y=x2-2|x|-3；(2)y=|log2(x+1)|.解(1)y=x2-2|x|-3=x2−2(2)y=|log2(x+1)|，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示.题型二函数图象的识别例2(1)(2024·雅安模拟)函数f(x)=ex+e−x4·sinπx答案B解析由题意，f(x)=ex+e−x4·sinπ则f(-x)=e−x+ex4·sin(-πx)=-ex+e−所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A，C不满足；当2<x<3时，ex+e−x4>0，sinπx>0，则f(x)=ex+e−x4(2)已知某函数图象如图所示，则该函数的解析式可能为()A.f(x)=ln|x|-1B.f(x)=ln|x|+1C.f(x)=1x+ln|xD.f(x)=1x-ln|x答案D解析对于A，f(1)=ln1-11=-1，显然不满足图象，故A对于B，f(-1)=ln|-1|+1|−1|=1对于C，f(-e)=-1e+1>0，显然不满足，故C错误，故选D思维升华识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.跟踪训练2(1)函数f(x)=3−x2ln(x答案A解析因为f(x)=3−x2ln(x2+1)，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，f(-x)=3−(−x所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误；因为f(x)≥0恒成立，且当x=±3时，f(x)=0，故B，C错误.(2)(2024·西安模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A.f(x)=cos2x·(ex-e-x)B.f(x)=sin2x·lnxC.f(x)=eD.f(x)=1x·ln答案B解析对于A，函数f(x)=cos2x·(ex-e-x)的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合图象，排除；对于C，当x>0时，f(x)=ex+对于D，当x>0时，f(x)=1x·lnx2x2+1=1x[lnx2-ln(x2题型三函数图象的应用例3(1)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}=a，a≤b，b，a>b，若f(x)=2-x2，g(x)=x2，下列关于函数F(x)=min{f(A.函数F(x)是偶函数B.方程F(x)=0有三个解C.函数F(x)在区间[-1，1]上单调递增D.函数F(x)有4个单调区间答案ABD解析根据函数f(x)=2-x2与g(x)=x2，画出函数F(x)=min{f(x)，g(x)}的图象，如图.由图象可知，函数F(x)=min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(-∞，-1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确.(2)已知函数f(x)=sinπx，0≤x≤1，log2024x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=答案(2，2025)解析函数f(x)=sinπx不妨令a<b<c，可知a+b=1，而1<c<2024，所以2<a+b+c<2025.思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.跟踪训练3(1)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，+∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A.(-2，0)∪(2，2)B.(-∞，-2)∪(2，+∞)C.(-∞，-2)∪(-2，0)∪(2，2)D.(-2，-2)∪(0，2)∪(2，+∞)答案C解析根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(-∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2-2)f(x)>0，则x2−2>0，解得x<-2或2<x<2或-2<x<0，故不等式的解集为(-∞，-2)∪(-2，0)∪(2，2).(2)已知f(x)=x2+2x+3，x≤0，1+lnx，x>0，若存在x1<x2<x3使得f(x1)=f(x2答案(2，3]解析作出函数f(x)的图象，如图，因为存在x1<x2<x3使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=m，所以f(-1)<m≤f(0)，即2<m≤3.课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2025·南昌模拟)函数f(x)=x2x−2答案A解析f(-x)=|−x2−x−2x=-f(x)，且函数定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，所以当x>0时，2x-2-x>0，所以f(x)>0，排除B，经检验A选项符合题意.2.(2025·日照模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=exB.f(x)=eC.f(x)=exD.f(x)=x答案A解析由图象可知，当x→+∞时，f(x)<0.对B，当x→+∞时，因为ex-e-x>0，4|x|-3>0，所以f(x)>0，故B不满足题意；对C，方法一当x→+∞时，因为ex+e-x>0，4|x|-8>0，所以f(x)>0，故C不满足题意；方法二由图象知，f(0)=0，而f(0)=e0+e−04|0对D，当x→+∞时，因为x>0，|x|-1>0，所以f(x)>0，故D不满足题意.3.已知函数f(x)=2x，x≤1，log12答案C解析方法一画出f(x)的大致图象如图所示.要得到y=f(2-x)的图象，只需将y=f(x)的图象沿y轴对称，再向右平移2个单位长度即可.方法二设g(x)=f(2-x)，则g(1)=f(1)=2，从而排除A，B，D.4.已知函数f(x)=|2x−1|，x≤2，3x−1，A.(1，3) B.(0，1) C.(0，3) D.[0，1]答案B解析方程f(x)=a有三个不同的实数根，即函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个交点.作出函数y=f(x)的图象如图所示，f(2)=3，由图可得，0<a<1.所以实数a的取值范围是(0，1).二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.设函数f(x)=lnx，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象与函数y=ln(-x)的图象关于x轴对称B.函数f(|x|)的图象关于y轴对称C.函数|f(x+1)|的图象在(0，+∞)上单调递增D.f13<|答案BCD解析函数f(x)=lnx的图象如图1所示，对于A，由函数图象变换可知，y=ln(-x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误；对于B，由函数图象变换可知，f(|x|)的图象如如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确；对于C，由函数图象变换可知，|f(x+1)|的图象如图4所示，函数图象在(0，+∞)上单调递增，故C正确；对于D，即f13=ln13=ln3，|f(4)|=|ln∵y=lnx在定义域上单调递增，∴ln3<ln4，则f13<|f(4)|，故D6.设函数f(x)=12x2+2x+2，x≤0，|lnx|，x>0，若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且A.0<a<2 B.x1+x2为定值C.x3+x4>2 D.1<x4≤e2答案BCD解析如图，作出函数f(x)的图象，由题意，直线y=a与f(x)的图象有4个交点，由图象可知0<a≤2，故A错误；且x1+x2=-4，-lnx3=lnx4，故B正确；所以ln(x3x4)=0，即x3x4=1，又x3>0，x4>0，且x3≠x4，则x3+x4>2x3x4=2当f(x4)=f(0)=2时，lnx4=2，x4=e2，又x4>1，所以1<x4≤e2，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，当x∈[-5，0]时，函数f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)>0的解集为.

答案(-2，0)∪(0，2)解析因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)在[-5，5]上的图象关于坐标原点对称，由f(x)在[-5，0]上的图象，知它在[-5，5]上的图象如图所示，则不等式xf(x)>0⇔x>0，f结合图象可得两不等式组的解集为(-2，0)∪(0，2).8.若把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在(0，+∞)上单调递增，则a的最大值为.

答案2解析把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象，则函数g(x)在(a-2，+∞)上单调递增，又因为所得图象对应的函数在(0，+∞)上单调递增，所以a-2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.四