第26届imo试题及答案

第26届imo试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{4\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)2.函数\(y=2x+1\)，当\(x=3\)时，\(y\)的值是（）A.5B.6C.7D.83.直角三角形的两条直角边分别为\(3\)和\(4\)，则斜边是（）A.5B.6C.\(\sqrt{7}\)D.\(\sqrt{10}\)4.不等式\(2x-3\lt5\)的解集是（）A.\(x\lt4\)B.\(x\gt4\)C.\(x\lt1\)D.\(x\gt1\)5.数据\(2\)，\(3\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的众数是（）A.2B.3C.4D.56.一次函数\(y=-x+2\)的图象经过（）A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.二、三、四象限D.一、三、四象限7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}\)，则\(\alpha\)等于（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)8.一个多边形的内角和是\(720^{\circ}\)，这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形9.抛物线\(y=x^{2}\)的对称轴是（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(x=1\)D.\(y=1\)10.已知\(\odotO\)的半径为\(5\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(3\)，则点\(P\)与\(\odotO\)的位置关系是（）A.点\(P\)在圆内B.点\(P\)在圆上C.点\(P\)在圆外D.无法确定多项选择题（每题2分，共10题）1.以下属于无理数的是（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{4}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(0.101001\cdots\)2.下列运算正确的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\(a^{6}\diva^{2}=a^{3}\)D.\((ab)^{3}=a^{3}b^{3}\)3.以下是二元一次方程的是（）A.\(x+y=1\)B.\(x^{2}+y=2\)C.\(x+\frac{1}{y}=3\)D.\(2x-3y=5\)4.四边形\(ABCD\)中，能判定是平行四边形的条件有（）A.\(AB\parallelCD\)，\(AD\parallelBC\)B.\(AB=CD\)，\(AD=BC\)C.\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)D.\(\angleA=\angleC\)，\(\angleB=\angleD\)5.关于反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)，说法正确的是（）A.当\(k\gt0\)时，图象在一、三象限B.当\(k\lt0\)时，图象在二、四象限C.图象一定经过点\((1,k)\)D.图象是中心对称图形6.以下几何图形中，是轴对称图形的有（）A.线段B.角C.等腰三角形D.圆7.一元二次方程\(x^{2}-3x+2=0\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)8.已知\(\triangleABC\)与\(\triangleDEF\)相似，相似比为\(2:3\)，则下列说法正确的是（）A.周长比为\(2:3\)B.面积比为\(2:3\)C.对应角相等D.对应边成比例9.下列函数中，\(y\)随\(x\)的增大而增大的是（）A.\(y=3x\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=x^{2}(x\gt0)\)D.\(y=\frac{1}{x}(x\gt0)\)10.以下事件是必然事件的是（）A.太阳从东方升起B.打开电视正在播放广告C.任意画一个三角形，其内角和是\(180^{\circ}\)D.掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是\(6\)判断题（每题2分，共10题）1.\(0\)的相反数是\(0\)。（）2.单项式\(-\frac{2}{3}xy^{2}\)的系数是\(-\frac{2}{3}\)。（）3.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离。（）4.对角线互相垂直的四边形是菱形。（）5.若\(a\gtb\)，则\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）6.圆内接四边形的对角互补。（）7.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)中，自变量\(x\)的取值范围是\(x\geq1\)。（）8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。（）9.一组数据的方差越大，这组数据的波动越小。（）10.方程\(x^{2}+2x+3=0\)有两个不相等的实数根。（）简答题（每题5分，共4题）1.计算：\((-2)^{3}+(\pi-3)^{0}-|-5|\)答：先算乘方、零次幂和绝对值。\((-2)^{3}=-8\)，\((\pi-3)^{0}=1\)，\(\vert-5\vert=5\)，则原式\(=-8+1-5=-12\)。2.化简：\(\frac{x^{2}-1}{x}\div(1+\frac{1}{x})\)答：先对分子因式分解，\(x^{2}-1=(x+1)(x-1)\)，\(1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}\)，则原式\(=\frac{(x+1)(x-1)}{x}\div\frac{x+1}{x}=(x-1)\)。3.解不等式组\(\begin{cases}2x-1\gt3\\3x+1\leq10\end{cases}\)答：解\(2x-1\gt3\)得\(x\gt2\)；解\(3x+1\leq10\)得\(x\leq3\)。所以不等式组解集为\(2\ltx\leq3\)。4.已知一个圆锥的底面半径为\(3\)，母线长为\(5\)，求圆锥的侧面积。答：圆锥侧面积公式\(S=\pirl\)（\(r\)是底面半径，\(l\)是母线），则\(S=\pi\times3\times5=15\pi\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）中，\(k\)、\(b\)的正负对函数图象的影响。答：当\(k\gt0\)，\(b\gt0\)时，图象过一、二、三象限；\(k\gt0\)，\(b\lt0\)时，过一、三、四象限；\(k\lt0\)，\(b\gt0\)时，过一、二、四象限；\(k\lt0\)，\(b\lt0\)时，过二、三、四象限。2.探讨相似三角形在实际生活中的应用实例。答：如测量旗杆高度，利用相似三角形对应边成比例，在同一时刻，测量标杆长度和标杆影子长度，以及旗杆影子长度，就能算出旗杆高度。还有地图绘制、建筑物模型制作等方面也有应用。3.说说一元二次方程根的判别式的作用。答：一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等实数根；\(\Delta=0\)时，有两个相等实数根；\(\Delta\lt0\)时，无实数根，可据此判断根的情况。4.讨论在平面直角坐标系中，点的坐标与图形平移的关系。答：点\((x,y)\)向右平移\(m\)个单位得\((x+m,y)\)，向左平移\(m\)个单位得\((x-m,y)\)；向上平移\(n\)个单位得\((x,y+n)\)，向下平移\(n\)个单位得\((x,y-n)\)。图形平移则是图形上所有点按此规律平移。答案单项选择题1.B2.