2023北京初三（上）期末数学试题汇编：解直角三角形章节综合

2023北京初三（上）期末数学汇编

解直角三角形章节综合

一、单选题

1.（2023秋・北京海淀•九年级北京市H^一学校校考期末）在RCABC中，ZC=90°,AB=A,BC=3,

则sinA的值是（）

A.1B1C.3D.£

4455

2.（2023秋・北京密云・九年级统考期末）已知NA为锐角，cosA=5，则—A的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上，则

sin8的值是（）

B

-1D-?

4.（2023秋・北京通州・九年级统考期末）如图,某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与

AC的夹角为。，则高BC是（）

12D.旦米

A.12sina米B.12cosc米C.-----米

sinacosa

5.（2023秋・北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末）在RtABC中，ZC=90°,AB=5,

3c=4,则tanA的值为（）

3「4-3

AA.-B.-C.—D.-

5543

二、填空题

6.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）在ABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,则sinA的值为—.

2

7.（2023秋・北京平谷•九年级统考期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90,如果cosA=1,AB=6,那么

AC的长为—.

B

C

8（2。23秋.北京西城九年级北京市第六十六中学校考期末）如果那么锐角A的度数为

9.（2023秋.北京西城.九年级北京市第六十六中学校考期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面

结构示意图.托板固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板C。可绕点。转

动.如图2,若量得支撑板长CD=8C7〃，ZCD£=60°,则点C到底座的距离为（结果保

留根号）.

10.（2023秋・北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”

巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段A反已知坡的长为

30m,坡角约为37。，则坡的铅直高度A8约为______m.（参考数据：sin37°«0.60,

cos37°~0.80,tan37°®0.75.）

二、解答题

11.（2港3秋・北京密云・九年级统考期末）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉

卫星发射中心成功发射.运载火箭从发射点。处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的

仰角为30。，在地面雷达站2处测得点A的仰角为45。.已知AC=20km,。、B、C三点在同一条直线

上，求8、C两个雷达站之间的距离（结果精确到0.01km,参考数据百名1.732）.

12.（2023秋・北京密云・九年级统考期末）计算：2cos30。-1£11160。+5也45。8$45。.

13.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）ABC中，45°,tanC=^,AD1BC,垂足为，

AB=&，求AC长.

14.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是边48的中点,

3

BELCD,垂足为点E.已知AC=6,cosA=-.

C-----------------------------T?

（1）求线段CD的长；

（2）求cos/OBE的值.

15.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）计算：卜石|+-V27+2cos30°.

16.（2023秋・北京平谷•九年级统考期末）某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度.方法如

下：如图，线段AB表示旗杆，已知A,C,。三点在一条直线上，首先用L5米高的测角仪在点C处测得

旗杆顶端8的仰角为65,在点。处测得旗杆顶端B的仰角为45,其中，线段CE和。尸均表示测角仪，

然后测量出的距离为5.5米，连接斯并延长交A8于点G.根据这些数据，请计算旗杆A3的长约为多

少米.(sin65°x0,9,cos65°x0.4,tan65°~2.1

B、

ACD

17.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）如图，在中，ZACB=9Q,AD平分/BAC交边

一4

于点。，。史_1_45于点E,若BD=5,cosB=y,求AC的长.

2

18.（2023秋・北京海淀•九年级北京市H^一学校校考期末）如图，在ABC中，ZB=45°ftanC=-,

AC=2A/13,求3c的长.

19.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）在平行四边形A5CD中，E为A5上一点,

连接CE,尸为C片上一点，5.ZDFE=ZA.

⑵若BC=4,CE=345,tan/CL甲=《，求线段BE的长.

3

20.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在AABC中，ZC=90°,sinA=-,

。为AC上一点，ZBDC=45°,CD=6.求AD的长.

iB

ADC

21.（2023秋・北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末）计算：A/8-（^-A/2）°-2COS45°+|-4|-

22.（2023秋・北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末）从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云

南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外

一波“观象热潮”.象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群.如图，4B,C分别表示峨山县、象

群位置和独象位置.经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北

偏东30。方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

24.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）计算：4COS450+（-1）°->/8+|2-72|

参考答案

1.B

【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出sinA的值即可.

【详解】解：在RtAABC中，ZC=90°,AB=4,BC=3,

...BC3

••sinA==—.

AB4

故选：B.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边

比斜边，正切为对边比邻边.

2.C

【分析】根据特殊角的三角函数值解答.

【详解】解：：/人为锐角，且cosA=《，

2

ZA=60°.

故选C.

【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键.

3.C

【分析】过点A作AD13C于点D,根据勾股定理求出48的长度，再根据正弦的定义即可求解.

【详解】解：如图：过点A作于点，

在RtZVIB。中'AB=，姐+处=打+42=5,

・•.sin哈四二,

AB5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出

的长度.

4.A

【分析】在R0ACB中,利用正弦定义，sm陶器，代入可直即可求解.

【详解】解：在放zkACB中，ZACB=90°,

.._BC_

••since—,

AB

BC-since,AB=12since（米）,

故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键.

5.D

【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.

【详解】解：由勾股定理可得：ACNAB—BC。=旧-4。=3,

,BC4

•.tanAA==—,

AC3

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键.

，12

6.——

13

【分析】根据勾股定理可以求出AB=13,根据三角函数的定义即可求得sinA的值.

【详解】解：:母△ABC中，ZACB^90°,AC=5,BC=12,

根据勾股定理AB=VAC2+BC2=13，

...BCn

・・smA=----=—,

AB13

12

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了勾股定理以及正弦函数的定义：直角三角形，锐角的对边与斜边的比，难度适

中.

7.4

Ar7

【分析】根据cosA=,=z，再代入数据解答即可.

AB3

【详解】解：在Rt^ABC中

2

VZC=90°,cosA=-,

3

AC

・.・co4sA==2—,

AB3

又•・・A5=6,

.AC2

••—―，

63

AC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此

题的关键.

8.30

【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案

【详解】解：：cosA=且，

2

，锐角A的度数为30°,

故答案为：30.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。的三角函数值是解题的关键.

9.4^/3

【分析】过点C作利用正弦函数即可求解.

【详解】如图，过点C作点C到底座的距离为CM

•：CD=8cm,ZCDE=6Q°,

反

：.CAf=8si”60°=8x^±=473

2

故答案为：4^3.

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形求解.

10.18

【分析】由也3。,？®37靶―?，结合初37?病再解方程即可.

【详解】解：由题意得：AB^30,?ABH37靶AHB=90?,

AH

\sin37?

AB

\AW=30?0.6018m,

故答案为：18

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的

关键.

11.7.32km

【分析】在RtAOC中，求出AO=10km,OC=10A/3,在RtAOC中，由/AOC=90。，NABO=45。，求

得3O=AO=10km,进一步即可得到3、C两个雷达站之间的距离.

【详解】解：在RtAOC中，^AOC=90°,AC=20km,ZC=30°,

/.AO=-AC=10km,OC=AC・cosC=20x亚=10石

22

在RtAOC中，ZAOC=90°,ZABO=45°,

BO=A(9=10km,

ABC=(9C-50=10A/3-10-10X1.732-10=7.32(km),

即8、C两个雷达站之间的距离为7.32km.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键.

12.1

2

【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可.

【详解】解：2cos300-tan600+sin45°cos45°

°退/?.后垃

=2x----+——x——

222

=6+—

2

_J_

-2,

【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键.

13.小

【分析】先求出A£>=3D=1,由tanC=g,得到券=；,则CD=2,由勾股定理即可得到AC长.

【详解】VAD1BC,垂足是点。，AB=R,

AD2+BD2^AB2^2^

,/ZB=45。，

Nfi4D=NB=45。，

***AD=BD,

AD2=BD2=1，

•**AD=BD=1,

VtanC=-,

2

•・•四=」一,

CD2

CD=2,

AC=4AD。+CD。=Vl2+22=也■

【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数等，准确计算是关键.

14.(1)CD=5；

24

(2)cosZDBE=—.

【分析】(1)根据三角函数求出A8的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出8的长

即可；

(2)先运用勾股定理求出3C,再由于。为AB上的中点可得OC=D3=5,推出/OCB=/ABC,利用

正弦函数求出BE,据此即可解答.

3

【详解】(1)解：・・・AC=6,cosA=-,

.463

..cosA=----=—,

AB5

・・・AB=109

•・•二ABC为直角三角形，。是边A5的中点，

CD=5；

(2)解：VAB=10,AC=6,

______3

・•・i3C=V102-62=8，sinZABC=cosZA=-,

•・•为直角三角形，。是边A3的中点，

:.DC=DB=5,

:./DCB=ZABC,

3

・・・sin/DCB=sinZABC=-,

、：BELCD,

：.ZBEC=90°,

RF

：.sinZDCB=——

CB

24

BE=—

5

RF24

cosZDBE=——

BD25

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题.

15.5-石

【分析】先将绝对值、负整数幕、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可.

【详解】解：原式=退+5-3—+2x立

2

=6+5-3用g

=5—A/3.

【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角

三角函数值，绝对值的定义，负整数幕的运算法则，以及二次根式的化简方法.

16.12米

【分析】设5G=x,根据锐角三角函数，将G厂和GE用x表示出来，最后根据GF-GE=£F,列出方程

求解即可.

【详解】解：：CD=5.5米，

EF=CD=5.5^z,

设BG=x,

・.・ZBFG=45。,/BEG=65°,

・「I?BGBGx

•・Crr=-------=x,CJE=----------=----------,

tan45°tan65°tan65°

'：GF-GE=EF,

/.x-------——=5.5,

tan65°

解得：尤=5.5x⑦11650-1。$

tan650-1

,/AG=1.5米，

AB=BG+AG。12米，

答：旗杆AB的长约为12米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.

17.6

4

【分析】先根据9=5,COSB=M求出BE的长度，即可根据勾股定理求出。E,再根据角平分线的性质

4

可得CD=£)E,即可求出3c的长度，最后根据cosB=w，求出48的长度，即可根据勾股定理求出AC的

长度.

4

【详解】解：BD=5,cosB=~,

4

.•.在RtAROE中,BE=BDcosB=5x-=4,

在中，根据勾股定理可得：DE^Bb2-BE?=后-4=3,

平分/&4C,ZACB=90,DE1AB,

：.CD=DE=3,

/.BC=BD+CD=5+3=8,

在RtAABC中，AB=-^-=10,

cosB

...在Rt^ABC中，根据勾股定理可得：AC=ylAB2-BC2=7102-82=6

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函

数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等.

18.10

【分析】过点A作ADL8C,结合三角函数值，分别求出C。的长度，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，过点A作ADLBC,如图：

A

：.AABD,△AC。都是直角三角形,

设AD=2x,CD=3x,

AC=J(2XC+(3X)2=2A/13，

解得：x=2(负值已舍去)，

**.AD=4,CD—6,

VZB=45°,

JBD=AD=4,

：.BC=4+6=10；

【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确的求出瓦入C。的

长度.

19.(1)证明见解析

(2)BE=V13

【分析】(1)由平行四边形的性质有AB〃CD,AD//BC,可得/DFE=/A,ZDFC=ZB,故

ADCFs^CEB.

(2)过点E作切，CB交CB延长线于点H,由题意可设EH=x,CH=2x,由勾股定理即可得由=3,

CH=6,再由勾股定理即可求得

【详解】(1)证明：在平行四边形ABC。中，AB//CD,AD//BC

：.ZDCE=ZBEC,ZA+ZB=180°

/DFE+/DFC=180。

又,:ZDFE=ZA

：.ZDFC=ZB

：.ZCDF=ZECB

.'.tanZCDF=tanZ£CB=^-

过点E作EHLCB交CB延长线于点H

、q

在RtRCEH中

FHi

—=tanZ£CB=-

CH2

.,.设EH=x,CH=2x

•*-CE=y/EH2+CH2=yf5x

•"£'=&=3石

；.x=3,则有EH=3,CH=6

'：BC=4

.*.88=6-4=2

在RtXEBH中有BE=SJEH2+EH2

贝UBE="+22=79+4=屈

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作

辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键.

20.AD=2

【分析】先判定ABOC是等腰直角三角形，求得BC,解直角三角形ABC,求得AB,AC的长，计算即

可.

【详解】在△BDC中，ZC=90°,

*.•ZSDC=45°,

.•.△BDC是等腰直角三角形，

CD=BC=6,

3

在放△A