浙江省重点中学2025届高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

浙江省重点中学2025届高二数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆和圆相切，则等于()A．6 B．7 C．8 D．92．已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知某随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．4．若函数f(x)=x-2+A．-3≤a<32 B．-3≤a<1 C．a≥5．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上三种情况都可能6．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．7．已知函数，且，则=（）A． B．2 C．1 D．08．已知随机变量服从二项分布，则（）．A． B． C． D．9．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A．48 B．72 C．90 D．9610．已知非空集合，全集，集合,集合则（）A． B． C． D．11．已知函数的最小正周期为4π，则（

）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增12．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6，则____．14．已知，若在(0,2)上有两个不同的,则k的取值范围是_____.15．已知向量满足，，，若对每一确定的，最大值和最小值分别为，则对任意，的最小值是_____.16．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(1)当时,讨论的单调性；(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.18．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.19．（12分）已知，且是第三象限角，求，.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的方程为.已知，两点的坐标分别为，.（1）求曲线的参数方程；（2）若点在曲线位于第一象限的图象上运动，求四边形的面积的最大值.21．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.22．（10分）为了调查患胃病是否与生活规律有关，在某地对名岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共人，患胃病者生活规律的共人，未患胃病者生活不规律的共人，未患胃病者生活规律的共人.（1）根据以上数据列出列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？”附：，其中.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果.【详解】圆的圆心，半径为5；圆的圆心，半径为r.若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.2、A【解析】

由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题在上递减，当时，，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.3、A【解析】

直接利用正态分布曲线的对称性求解．【详解】，且，．．故选：A．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4、A【解析】

将问题转化为曲线gx=x-2+2x-1与直线y=ax没有交点，并将函数y=gx表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线【详解】因为函数f(x)=x-所以方程x-2即函数g(x)=x-2+如图所示，则h(x)的斜率a应满足-3≤a<32，故选：本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意：（1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题；（2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。5、B【解析】

由于为三角形内角，故，所以，即为钝角，三角形为钝角三角形，故选B.6、A【解析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．7、D【解析】

求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．【详解】因为，所以，解得，故选D．本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．8、D【解析】表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，则．选．9、D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．10、B【解析】分析：根据题意画出图形，找出与的并集，交集，判断与的关系即可详解：全集，集合,集合，，故选点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。11、C【解析】分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数的最小正周期为4π，，，，由对称中心横坐标方程：，可得，A不正确；由对称轴方程：，可得，B不正确；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，C正确；令，可得：，函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，D不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．12、B【解析】

先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3.【解析】

利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．【详解】曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6则解得a=【点晴】注意用积分求面积的区别，图形在x轴下方时，所求积分为负值，图形在x轴上方时所求积分为正值14、【解析】分析：先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决详解：不妨设在是单调函数，故在上至多一个解若则，故不符合题意，由可得，由可得，故答案为点睛：本题主要考查的知识点是函数零点问题，求参量的取值范围，在解答含有绝对值的题目时要先去绝对值，分类讨论，然后再分析问题，注意函数单调性与奇偶性和零点之间的关系，适当注意函数的图像，本题有一定难度15、【解析】

分别令、、，根据已知条件判断出A、B、C三点的位置关系，及的几何意义，进而得到答案.【详解】因为，所以令（为坐标原点），则点必在单位圆上因为，所以令，则点必在线段的中垂线上令，因为，所以点在以线段为直径的圆上所以可得就是圆的直径显然，当点在线段的中点时，取最小值故答案为：本题考查的是平面向量的运算及圆中的最值问题，属于较难题，解题的关键是找出每个式子的几何意义.16、.【解析】

设切点为，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点可得切线方程，进而由定积分求面积即可.【详解】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，，令，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。详解：(1)定义域因为所以令(i)当时,所以当时,,此时,函数单调递增;当时,,此时,函数单调递增(ii)当时,由,即,解得①当时,，恒成立,此时,函数在上单调递减;②当时,时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；时,,此时,函数单调递减；③当时,由于时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；综上所述:当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减(2)因为,由于(I)知,,当时,,函数单调递减:当时,,函数单调递增,所以在上的最小值为由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①当时,因为,此时与矛盾②当时,因为,同样与矛盾③当时,因为，解不等式可得综上,的取值范围是．点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解，即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高。18、（1），l的极坐标方程为；（2）【解析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.19、【解析】

由，结合是第三象限角，解方程组即可得结果.【详解】由可得由且是第三象限角，本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换20、（1）（为参数）；（2）【解析】

（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线的参数方程；（2）根据曲线的参数方程设曲线上的点，结合点在第一象限得出，将四边形的面积转化为和的面积之和，并利用角的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数基本性质求出最大值。【详解】（1）曲线的方程为，可化参数方程为(为参数).（2）设曲线上的点，因为在第一象限，所以.连接,则=.当时，四边形面积的最大值为.本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。21、（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）由已知，有所以事件发生的概率为.（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望考点：古典概型、互