2023北京初三二模数学试题汇编：几何综合（第27题）

2023北京初三二模数学汇编

几何综合（第27题）

一、解答题

1.（2023•北京东城•统考二模）如图，在菱形ABCD中，ABAD=60°,E是A3边上一点（不与4B

重合），点厂与点/关于直线OE对称，连接OR.作射线CE,交直线OE于点P,设NADP=tz.

（1）用含1的代数式表示NDCP；

（2）连接AP,AF.求证：AAPF是等边三角形；

（3）过点3作5GLDP于点G,过点G作CD的平行线，交CP于点，.补全图形，猜想线段与

之间的数量关系，并加以证明.

2.（2023•北京西城・统考二模）如图，在AABC中，边钻绕点8顺时针旋转a（0°<a<180°）得到线

段应），边AC绕点C逆时针旋转180°—。得到线段C£,连接。E,点尸是的中点.

（1）以点尸为对称中心，作点C关于点尸的对称点G,连接3G,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=OG；

②求证：/DGB=ZACB；

（2）若a=60。，且FH工BC于H,直接写出用等式表示的FH与的数量关系.

3.（2023•北京海淀•统考二模）如图，在AABC中，边A3绕点8顺时针旋转a（0°<a<180°）得到线

段BD,边AC绕点C逆时针旋转180。一a得到线段连接。E,点尸是DE的中点.

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B

B

（1）以点尸为对称中心，作点C关于点尸的对称点G,连接3G,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=DG；

②求证：/DGB=ZACB；

（2）若a=60。，且FH_LBC于H,直接写出用等式表示的FH与的数量关系.

4.（2023・北京朝阳•统考二模）在AABC中，AC=BC,/ACB=90。，点。在边上（不与点8,C

重合），将线段AD绕点/顺时针旋转90。，得到线段AE,连接DE.

（1）根据题意补全图形，并证明：ZEAC=ZADC；

（2）过点C作AB的平行线，交DE于点、F,用等式表示线段所与。尸之间的数量关系，并证明.

5.（2023•北京房山•统考二模）如图，NBAC=90。，AB=AC,点D是BA延长线上一点，连接DC,点E

和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点R连接EC,ED,DP。

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（1）依题意补全图形，并求/DEC的度数；

（2）用等式表示线段EC,ED和C尸之间的数量关系，并证明。

6.（2023•北京丰台•统考二模）如图，在等边△48C中，点D,E分别在CB,AC的延长线上，且3O=CE,

EB的延长线交AD于点F.

（1）求N/EE的度数；

（2）延长EV至点G,使EG=4F,连接CG交4D于点〃.依题意补全图形，猜想线段C"

与G”的数量关系，并证明.

7.（2023・北京门头沟•统考二模）如图，在AABC中，/AC3=90。，点。在延长线上，且DC=AC,

将AABC延方向平移，使点。移动到点O,点A移动到点E,点B移动到点得到△£口）,连接

CE,过点E作EGLCE于G.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：CG=FG；

（3）连接BG,用等式表示线段BG,EF的数量关系，并证明.

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8.(2023•北京顺义•统考二模)已知：ZABC=i2Q°,D,£分别是射线848c上的点，连接。E,以点

。为旋转中心，将线段DE绕着点。逆时针旋转60°,得到线段。尸，连接ERBF.

(1)如图1,当■时，求证：BF=2BD；

(2)当2ON8E时，依题意补全图2,用等式表示线段8DBF,5E之间的数量关系，并证明.

图1图2

9.(2023•北京燕山•统考二模)△48C中，ZACB=90°,NC=8C,点。为边的中点，点£在线段CD

上，连接/E,将线段绕点/逆时针旋转90°得到线段/尸，连接CH

(1)如图1,当点E与点。重合时，求证：CF=AE；

(2)当点E在线段C£＞上(与点C,。不重合)时，依题意补全图2；用等式表示线段CF,ED,之间

的数量关系，并证明.

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参考答案

1.(1)

解：：点厂与点/关于直线OE对称，

/.DA=DF,PA=PFZFDP=ZADP=a,

ZAPD=NFPD

:菱形ABC。中，ZBAD=6Q°,

：.AD=AB=CD,ZADC=120°,

.-.ZCDF=120°-2«

DF=AD=CD,

：.ZDCP=1(1800-ZCDF)=30°+a,

(2)证明：ZDFC=ZDPF+NFDP

：.ZDPF=ZDFC-ZFDP

,/DF=DC

：.ZDFC=/DCF=30°+a

ZDPF=30°+a—a=30。

ZAPF=2ZDPA=60°

•/PA=PF,ZAPF=6Q°

△APR是等边三角形；

(3)解：CH=PH,证明如下：

连接PB,BD,

,/△APR是等边三角形，

AD=AB,ZDAB=6Q°,

：.△ABD是等边三角形，

/.ZPAF+ZFAB=ZDAB+ZFAB

：.ZPAB=ZFAD,

在△APB和△AED中，

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AP=AF,

<ZPAB=ZFAD,

AB^AD,

：.AAPB^AAFD.,

PB=FD—BD>

BG±DP

.•.点G为PD中点

・；CD//GH,

：.CH=PH

2.(1)

①依题意补全图形如图所示：

证明：：AC绕点逆时针旋转180°-a得到线段CE

/.AC=CE,

;点尸是DE的中点，

/.DF=EF,

•••点C与点G关于点F对称，

二CF=GF,

又,：NDFG=NEFC,

：•QFG=^EFC,

：.DG=CE,

AC=DG；

②证明：：边AB绕点B顺时针旋转a(<0°a<180°)得到线段BD,

BD=BA，

设ZACB=x,ZABC=y,则ABAC=180°-(x+y).

...在四边形BDEC中，

ZBDE+ZCED=360°-ZBDC-NBCE=180°—(x+y)

VADFG—EFC,

：.ZGDF=NCEF；

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ZBDG=ZBDE+ZGDF=180°—(x+y)

ZBDG=ABAC.

：.ABDG=^.BAC,

ZDGB=ZACB；

J3

(2)FH=—BC

4

3.(1)①依题意补全图形.

1分

®VAB=AC,ZBAC=2a,

180°—2a

/B=NC=

2

EF±AE,

：.ZAEF^90°.

*.*/EAF=CL,

ZAFE=9Q°-a.

：.ZB=ZAFE..................................................3分

(2)线段C/与。方的数量关系为。尸=OE................................................4分

证明：延长所至点G,使EG=EF,连接/G,BG.

9：AEA_EF,

・・・/£垂直平分GF.

：.AG=AF,

；・NGAE=NEAF=a.

：.ZGAF=ZGAE+ZEAF=2a.

・・•/BAC=2a,

：./GAF=ABAC.

:./GAB=/FAC.

9：AB=AC,AG=AF,

••・△AGB名AAFC(SAS).

：.GB=FC,

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•••£为中点，

：.BE=DE.

,：ZGEB=ZDEF,

:.丛GBE94FDE(SAS).

：.GB=DF.

：.DF=CF...............................................................................................7分

4.(1)

补全的图形如图所示：

证明：•：ZACB=90°,

：.ZCAD+ZADC=90°,

由旋转的性质可知ZEAD=90°,即ZCAD+ZEAC=90°,

ZEAC=ZADC；

(2)EF=DF；

证明：如图，作于点"，与直线b交于点N,

由旋转的性质可知AE=AD,

由(1)可知ZEAM=ZADC,

AEAM=AADC(AAS),

AM=CD,EM=AC,

'：AC=BC,

ZC4B=45°,

•••CN//AB,

：.NNCM=NCAB=45°,

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MN=MC,

：.EN=AM,

：.EN=CD,

•/NEMC=ZACB

：.EN//CD,

：.NENF=NDCF,NNEF=NCDF,

.".△EWF=ADCF(ASA),

...EF=DF.

5.(1)补全图形分

连接CB,

•••ZBAC=90°，AB=AC

•­•ZABC=450000000000000000000000000Z，27J分

・・・点E和点B关于直线DC对称

.'.EC=BC,ED=BD

VDC=DC

AAEDC=ABDC(SSS)

••NDEC—NDBC—45。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3

(2)ED+CF—72EC。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4

•.•点E、B关于直线CD对称

；.EB1CD,设垂足为H

则NCHF=90°=ZBAC

VzHFC=ZAFB

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E

・・.N1=N2

VAC=AB,ZDAC=zFAB=90°

AADAC=AFAB(ASA)

••Oooooooooooooooooooooooo5

：.ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CFo………6分

VAC=—BC=—EC

22

Z.ED=2x—EC-CF=V2EC-CF

2

即ED+CF=&EC。。…。。。…。……。。…。…。。o7分

(其他证法酌情给分)

27.6.(1)解：:等边/\ABC,

：.AB=BC,ZACB=ZABC=60°.

：.ZABD=ZBCE=nO°.

,:CE=BD,

.'.△ABD%4BCE........1分

ZD=ZE.

ZDBF=ZCBE,

：.ZD+ZDBF=ZE+ZCBE.

^ZAFE=ZACB=60°..............2分

(2)正确补全图形；

3分

CH=GH；4分

证明：在E尸上截取%连接/M,CM.

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VZAFE=60°,

△4FM是等边三角形.

AZE4M=ZAFM=6Q°,AM=AF=MF.

'：^ABC是等边三角形，

：./BAC=60；AB=AC.

：.ZBAC-ZMAB=ZE4M-ZMAB.

即ZCAM=ZBAF.

:.△ACMQ△ABF....5分

AZAMC=ZAFE=60°.

：.ZCMF=ZAMC+ZAMB=120°.

：.ZCMF+ZAFE=180°.

：.CM//HF....6分

.GHGF

,•CH-MF•

'：FM=AF,AF=GF,：.FM=GF.

：.CH=GH....7分

7.(1)

解：如图1

AE

(2)证明：

•.•将AABC延AC方向平移，使点C移动到点D,点A移动到点E,点B移动到点F,得到AEFD

AABC=AEED

AC=ED,ZACB=ZEDF.

1•,DC=AC,ZACB=9Qa

：.DC=ED,ZEDF=90°

：.ZDCE=/DEC,ZDCE+/DEC=90°

•••ZDCE=ZDEC=45。

•••EGLCEG

/.ZDCE=NGFC=45°

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CG=FG.

（3）猜想£F=a8G-

理由：如图，连接AG

•；AABC'EFD

：.BC=FD,AB=EF

：.BC+CF=FD+CF

：.BF=DC

又：DC=AC

：.BF=AC

ZDCE=ZGFC=45°,ZDCE+ZGCA=90°

ZGFC=ZGG4=45°

又•.•由(1)得：CG=FG

:AACGJBFG

AG^BG,ZAGC=NBGF；

：.ZAGC-ZBGC=ZBGF-ZBGC,

即ZAGB=ZCGF

•：EG，CE于G

ZAGB=ZCGF=90°

:.AB=sj2BG>

：.EF=4IBG-

8.(1)证明：绕着点。逆时针旋转60。得到。巴

：.DE=DF,ZEDF=60°.

尸是等边三角形..................................1分

：.FE=FD,ZDFE=60°.

,:BD=BE,ZABC=12O°,BF=BF,

:.NBDE=30°,ABDF"ABEF.

：.NBDF=9Q°,ZBFD=ZBFE=30°.

：.BF=2BD....................................................................................3分

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(2)依题意补全图2,如图.

数量关系为：BF=BD+BE................................................................................4分

证明：在。/上截取DG,使DG=BE,连接尸G.

,:DE绕着点D逆时针旋转60。得到DF,

：.DE=DF,/EDF=60。.

尸是等边三角形.

：.FE=FD,/DFE=60。.

'：ZABC=nO°,

：.ZBDF+ZBEF=180°.

'：/BDF+/GDF=180。,

：.ZGDF=ZBEF.

在AGDF和△BE斤中

DG=BE

<NGDF=/BEF

DF=EF

△GDF"ABEF(SAS)...................................................................5分

：.GF=BF,ZGFD=ZBFE.

：.ZGFB=ZDFE=60°.

...△GF8是等边三角形.

：.BG=BF................................................................................6分

,:BG=BD+DG,

：.BF=BD+BE.7分

9.(1)证明：VZACB=90°,NC=3C,点。为中点，

AD=CD,

•••将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,

：.AF=AE,ZE4E=90°.

;点£与点。重合，----------不、

：.AF±AD,AF=AD,/\

J.AF//CD,且4F=CD,/\

四边形ADCF为平行四边形，/____________\

：.CF=AD,AD(E)B

即CF=AE.......................................................................3分

(2)依题意补全图形，如图.......................................................................4分

线段CF,ED,4D之间的数量关系：CF=ED+AD.................