2023北京初三二模数学试题汇编：解直角三角形及其应用

2023北京初三二模数学汇编

解直角三角形及其应用

一、单选题

1.（2023•北京石景山•统考二模）如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,G4=CB=10.点P是CB边上一

动点（不与C,8重合），过点尸作尸。，圆交于点Q.设CP=x,8。的长为y,V8PQ的面积为S,

则》与x,S与x满足的函数关系分别为（）

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二、解答题

2.（2023•北京顺义•统考二模）如图，PA,PB分别与O相切于A,8两点，AC是。的直径.

4

（2）连接PO交C。于点。，若AC=6,cosZBAC=-,求尸。的长.

3.（2023•北京平谷•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于OAB,其中3（2,0）,给出如下

定义：将。4边绕点。逆时针旋转60。得到线段0C,连接BC,3C与△OAB的过点A的高线交于点尸，

将点尸关于直线丁=履+。（人工。）对称得到点Q,我们称。为Q4B的留缘点.

y

5-

4-

3-

2-

1-

iiii]_____

-5-4-3-2-1O-12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

—6-

-7-

(1)若左=1,Z?=0,请在图中画出Q4B的留缘点。，并求出点。的坐标；

(2)已知"(TO),N(-3,5),若线段MN上存在Q4B的留缘点，求6的取值范围.

4.(2023•北京东城•统考二模)已知线段PQ是：G的弦，点K在直线PQ上.对于弦PQ和点K,给出如下

定义：若将弦PQ绕点K逆时针旋转矶0°＜。＜180。)得到线段尸Q,恰好也是「G的弦，则称弦PQ关于点

K中心映射，点K叫做映射中心，a叫做映射角度.

(1)如图1,点G是等边ABC的中心，作＜:，G交AB于点P,Q.在A,B,C三点中，弦PQ关于点

中心族射；

3

(2)如图2,在平面直角坐标系xOv中，直线＞=-^X+3与左轴交于点E,与丁轴交于点/，/OE尸的角平

分线交丁轴于点£＞.若(。与线段所相交所得的弦关于点E中心映射，直接写出。的半径厂的取值范

围；

(3)在平面直角坐标系中，。的半径为2,线段是。的弦.对于每一条弦MN,都有相应的点

H,使得弦MN关于点H中心映射，且映射角度为60。.设点H到点。的距离为d,直接写出d的取值范

围.

5.(2023•北京东城・统考二模)如图，O的直径A3与弦相交于点E,且CE=OE,点/在A8的延长

线上，&OC,DF,ZF=ZC.

⑴求证：DF是.。的切线；

Q）若OE=2BE,BF=2,求。半径的长.

6.（2023•北京东城•统考二模）如图，在ABC中，AB^AC,点。为8c中点，过点A,C分别作BC,AO

的平行线，相交于点E.

（1）求证：四边形APCE为矩形;

4

⑵连接2瓦。后，^tanZCBE=-,CD=3,求AB的长.

7.（2023•北京西城•统考二模）如图，在ABC中，边4B绕点8顺时针旋转。（0°<«<180°）得到线段

BD,边AC绕点C逆时针旋转180。-［得到线段CE,连接DE,点尸是DE的中点.

备用图

⑴以点尸为对称中心，作点C关于点尸的对称点G,连接BG,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=DG；

②求证：ZDGB=ZACB；

（2）若夕=60。，且FHLBC于H,直接写出用等式表示的与BC的数量关系.

8.（2023•北京海淀•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于Q4B和点尸（不与点0重合）给出如下定

义：若边（M,08上分别存在点点N,使得点。与点P关于直线对称，则称点P为，。出的“翻

折点

⑴已知A（3,0）,B（0,3A/3）.

①若点M与点A重合，点N与点8重合，直接写出OAB的“翻折点”的坐标;

②P是线段A3上一动点，当P是Q4B的“翻折点”时，求AP长的取值范围；

3

(2)直线>=-工尤+6仅>0)与无轴，y轴分别交于A,5两点，若存在以直线A3为对称轴，且斜边长为2

的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为,的“翻折点”，直接写出6的取值范围.

9.(2023•北京昌平・统考二模)如图，是CO直径，C是iO上一点，过点A作直线上4,使

ZPAC=ZABC.

⑴求证：是二。的切线；

4

(2)点。是弧BC中点，连接。。并延长，分别交BCPA于点E],若BC=8,cosZPAC=-,求线段。厂

的长.

参考答案

1.A

【分析】先求出Z4=/B=45。，再求出族=107,然后解Rt5PQ得到尸。=10-x,5。=0(10—%),

进而得至ljy=—后+10&，5=|(10-x)2,由此即可得到答案.

【详解】解：・・・在RtA4C3中，ZACB=9Q°,CA=CB=10,

AZA=ZB=45°,

9：CP=x,

：.BP=BC-CP=10-xf

・.・PQLCB,

：.AQPB=90°,

在Rt一BP。中，PQ=BPtanB=10-x,3Q=-^-=0(lO—x),

cosB

/.j=A/2(10-x)=-A/2.X+1072,S=^BPPQ=^(10-x)2,

y与尤，s与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，

故选A.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=-6■龙+100,

1

S=：(10-x)92是解题的关键.

2.(1)证明见解析

⑵2

【分析】(1)根据切线长定理和切线的性质可得F4=PB，Z1=Z2=1ZAPB,NR4O=90。，根据等腰三

角形三线合一性质可得尸ELAB,可得N3+/BAC=90。，Nl+/3=90。，得到NA4c=N1,从而得证；

3An

(2)根据余弦，正弦的定义及勾股定理可得sinNl==,从而有尸0=一PD=PO-DO,代入计算

5sinZ1

即可得出答案.

【详解】(1)证明：如图，连接尸O,交A5于点E.

;9、PB为。的切线，

:,PA=PB,Z.1=Z2=-ZAPB,ZPAO=90°,

2

APE1AB,Z3+Z£AC=90°,

・•・NPEA=90。,

J/U3=90。,

JZBAC=Z1,

ZBAC=-ZAPB.

・•・ZABC=90°,

AsinZBAC=—=^-=-J

AC65

sinZ1=—

5

VZPAO=90°,AC=6,

：.DO=AO=-AC=3

2f

J0=磊4=5

5

PD=PO—DO=5—3=2,

PD的长为2.

切线的性质，等腰三角形三线合一性质，直径所对的圆周角是直角，解直

角三角形，勾股定理.正确的添加辅助线是解题的关键.

3.(1),1)

234735+496

(2)6V-------或H6Nt------------

6222

【分析】（1）先根据题意画出图形，然后再说明四边形C054是菱形，即NP54=；ABO=N30。；再确定

点尸的坐标，最后根据关于y=x确定点。的坐标即可；

（2）设直线>="+6小/0）与y轴交于点K（0,b）,由题意可得的所有留缘点在以K为圆心K尸为

半径的圆上，然后分b<0和％>0两种情况，分别画出图像，根据勾股定理、两点间距离公式和圆的性质

列方程求解即可解答.

【详解】（1）解：如图：当％=1,6=0时，点。即为的留缘点，连接AC,

•.•3（2,0）,A（1,V3）,

AOB=2,OA=可=2,AB=J（2-l）2+（0->/3）2=2.

Q4B是等边三角形，

JZAOB=ZABO=60°,

・・・将Q4边绕点。逆时针旋转60。得到线段OC,

：.OC=OA=2,ZAOC=60°,

**•OAC是等边三角形，

:.AC=OC=2f

・•・四边形COE4是菱形，

ZPBA=-ABO=Z30°,

2

*：HB=OB-OH=1,

JPH=tanZOBAHB=—,

3

.•・小用，

IJJ

*.*k=lfb=0,

・••点尸与点。关于直线>=尤对称，

（2）解:设直线y=H+b（%wO）与u轴交于点K（0,b）,

则由题意，如图：。钻的所有留缘点在以K为圆心KP为半径的圆上,

23百

6

6

解得bY

.•4735+496

222

综上，b的取值范围为6V-丝叵或62空士?直

6222

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、圆的性质、菱形的判定与性质等知识点，正

确画出各类图形是解答本题的关键.

4.(1)A

(2)5|>r>-4

（3）0<J<4

【分析】（1）根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦PQ是否仍在〔G上.确定只有点A符合题意.

（2）讨论］。与线段所相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解.

（3）考虑到对称性与不失一般，将H点设在x轴上，方便得出d的取值范围.

【详解】（1）根据中心映射的定义，若将弦P2绕点K逆时针旋转a（0°</<180。）得到线段PQ,恰好也

是，:，G的弦，则称弦PQ关于点K中心映射，点K叫做映射中心.由于ASC是等边三角形，因此直线尸。

绕A点逆时针旋转口=60。（0。<。<180。），可使弦PQ落在弦P'Q'上.但直线PQ绕8点、C点逆时针旋转a

（0。<。<180。）后，弦PQ无法与G再相交成弦.

故只有点A符合映射中心的条件，如下图.

（2）如下图，/。所的角平分线交y轴于点。，过D作OGLEF,垂足为G.

则。与线段石尸相交所得的弦关于点E中心映射，此时。的半径厂的取值范围是QF2CDG.

在.OE产中，EF平分NOEF,过。作x轴的平行线，与EF交于H,

则NHDE=NDEO,又ZHED=ZDEO,

所以NHDE=ZHED,则HD=HE.

由DH//OE得,△FDH30E,所以彩卷今噜

DFFEDFFE

n即n一=—,

DOEOOF-DFOE

在直角三角形OEF中，EF=y]OE2+OF2=742+32=5-

告三，解得。尸=（

;DG±EF,

在直角,OEF与直角,G£>b相似.

.DGOE^=-

••京=而'即g5.

4

因止匕，DG=~.

3

54

所以，。的半径厂的取值范围是。尸泊〉*.即

(3)考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦MN绕点X逆时针旋转a=60。

(0。<上<180。)得到线段MN,恰好也是，。的弦，且政V与交于无轴，见下图.

作OBJ_M2V与。交于点尸，再过/作跖V的平行线，EF是O的切线.则满足条件的弦即V最大为直

径，最小应大于0,

所以，OH=d.当。与H重合时，d=Q,此时弦MN为直径；当H与E重合时，d=OH=OE,此时弦

长度为0.

故d的取值范围是：0<d<OE.

由已知条件知ZMHM'=60。，NOHM=；NMHM，=30°.

又因EF〃肱V,故NOEF=NOHM=30°.

在直角。所中，OF=g()E,则OE=2O尸=2x2=4.

故d的取值范围是：0Wd<4.

【点睛】本题考察了图形旋转、角平分线性质、含30。角的直角三角形等相关知识点，深入细致审题是解

本题的关键.

5.⑴见详解

(2)4

【分析】(1)连接O。，由题意易得/D£F=90。，则有/尸+/£»尸=90。，然后可得/尸=N8C,则可

得NOZ)尸=90。，进而问题可求证；

OF2

(2)由题意可设OE=2x,5E=x,则OD=O3=3x,则有cos/EOO=而=耳，OF=3x+2,然后可列

方程进行求解.

【详解】(1)证明：连接0。，如图所示:

：・ZDEF=90。,

：.ZF+Z£Z)F=90°,

,:OC=OD,

:./OCD=/ODC,

•；/F=/C,

:.ZF=ZODC,

：.ZODC+Z.EDF=90°,即ZODF=90°,

TOD是。的半径，

・・・。方是。的切线；

(2)解：由题意可设。£=2羽5石=无，则8=03=3%,

0E2

cosZ.E0D=----=—,OF=3x+2,

OD3

・••在RtAOL不中，cosZFOD=-=^^=-f

OF3x+23

4

解得：x=§,

OD=4,

即，。的半径为4.

【点睛】本题主要考查切线的判定、垂径定理及三角函数，熟练掌握切线的判定及三角函数是解题的关

键.

6.(1)见详解

⑵万

【分析】(1)先根据平行四边形的判定，证明四边形ADCE是平行四边形，再根据矩形的判定，证明

ZADC=90。即可；

(2)根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果.

【详解】(1)证明：由题意得AE〃CD,AO〃CE,

四边形ADCE是平行四边形，

AB=AC,点。为5c中点，

:.ADLBC,即NADC=90。，

四边形AOCE为矩形；

(2)解：：四边形ADCE为矩形，

:.ZBCE=ZADB=90°,

:点。为BC中点，

BC=2CD=6,BD=3,

CFCF4

在Rt3CE中，tanZCBE=—=—=-,

BC63

解得：CE=8,AD=CE=8,

在RtAD3中,AB=^AEr+BEr=^82+32=-773-

故A3的长为月.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，

熟练掌握定理与性质是解题的关键.

7.(1)①补全图形见解析，证明见解析；②见解析

Q)FH=BBC

4

【分析】(1)①依题意补全图形如图所示，先证明EFC,推出DG=CE,然后结合旋转的性质

可得结论；②根据对称的性质可证明BDG=BAC,可得结论；

(2)连接产，如图，根据等边三角形的性质结合(1)②的结论可得.3GC是等边三角形，可得

NBCF=60°,再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论.

【详解】(1)①依题意补全图形如图所示：

证明：：点尸是DE的中点，

DF=EF,

:点C关于点F的对称点为G,

：.CF=GF,

又：NDFG=NEFC,

：..DFG'EFC,

：.DG=CE,

由旋转的性质可得：AC=CE,

：.AC=DG；

B

②证明：丁点。关于点尸的对称点为G,

・•・BG=BC,

,.・BD=BA,DG=AC,

：.BDG=BAC,

：.ZDGB=ZACB；

(2)解：连接如图，由题意得NZ)B4=a=60。,

•：BDGtBAC,

：.ZDBG=NCBA,

：.ZGBC=ZDBA=6Q°f

・：BG=BC,

・•..BGC是等边三角形，

：.ZBCF=ZGBC=60°f

•・,点/是CG的中点，

BF_LCG,ZCBF=-ZCBG=30°,

2

:.CF=-BC,

2

•:FH1BC,43=60。，

・•・FH=CF-sin60°=—CF=-BC；

24

・•・FH与BC的数量关系是

4

【点睛】本题考查了对称变换、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角

形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.

8.⑴①尸||'彳；©6-V3<PA<3

（2）62匕立

2

【分析】（1）①根据已知条件得出/。班=30。，则/区40=60。，点M■与点A重合，点N与点8重合，则

OA=PA=3,ZOAP=120°,过点P作尸轴于点。，依题意Q4LAS,则PA=OA=3,NPOA=30°,进

而求得尸£>=|若，即可求解；

②根据心得与得出MN为线段0P的垂直平分线，当点N运动到点5时，NO=NP=36，点”运动至点

A时，AP=Q4=3即可求得以的范围；

（2）根据一次函数得出力），对于RtQ4B中，先固定N点，当M运动时始终由

NO=NP,进而得出以A为圆心，为半径的「A与以8为圆心，6为半径的8的两圆的公共部分，当

以直线48为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三

角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得8的值，结合图形即可求解.

【详解】（1）①：A（3,0）,B（0,3A/3）

OA=3,OB=3^/3,则AB=6

・.MM徐志考

AZOBA=30°,则ZS4O=60。

•点M与点A重合，点N与点B重合,

OA=PA=3,ZOAP=120°

过点P作PDLx轴于点O,

依题意则PA=Q4=3,NPOA=30。

."¥，3|

9

OD=OA+AD=-,

2

.•…OA5的“翻折点''的坐标为产

②：点。与点P关于MN对称，

，MN为线段0P的垂直平分线，

当点N运动到点3时，N0=NP=3也

/.AP=6-3s/3

当点M运动到点A时，AP=OA=3

/.6-V3<PA<3

y轴分别交于A,3两点,

4

令％=0,贝！Jy=M令y=。，角犁得x二§b,

.•.4弓女0),3(0,6)

对于RtQ4B中，先固定N点，当M运动时始终由NO=NP,

...在M运动时，尸点到轨迹为以N为圆心，NO为半径的一段圆弧上，临界点分母是M与点。与点A重

合时，

当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，

该图形为：以A为圆心，g