重庆市巴南区2025届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

重庆市巴南区2025届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）A． B． C． D．2．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数3．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）4．已知命题：“，有成立”，则命题为（）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立5．已知是两个非空集合，定义集合，则结果是()A． B． C． D．6．某家具厂的原材料费支出x（单位：万元）与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则为（）x24568y2535605575A． B． C． D．57．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1829．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种10．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（）．A． B． C． D．11．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种 B．35种 C．120种 D．140种12．已知函数满足，函数.若函数与的图象共有个交点，记作，则的值为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分…，以此类推，平面上个三角形最多把平面分成____________个部分.14．球的半径为，球的一个截面与球心的距离为，则截面的半径为______．15．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．16．设向量，，若与垂直，则的值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在各项均为正数的数列中，且.(1)当时，求的值；(2)求证:当时，.18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.（1）证明：对任意，总有∥平面；（2）当的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值．19．（12分）已知F是椭圆的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于，，两点.（1）若，求弦的长；（2）O为坐标原点，，满足，求直线l的方程.20．（12分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．21．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）已知曲线y=x3+x－2在点P0处的切线平行于直线4x－y－1=0，且点P0在第三象限,⑴求P0的坐标;⑵若直线,且l也过切点P0,求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【详解】∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．2、C【解析】分析：直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.3、B【解析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。4、B【解析】

特称命题的否定是全称命题。【详解】特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.本题考查特称命题的否定命题，属于基础题。5、C【解析】

根据定义集合分析元素特征即可得解.【详解】因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,6、C【解析】

由给定的表格可知，，代入，可得．【详解】解：由给定的表格可知，，代入，可得．故选：．本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．7、C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.8、C【解析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【详解】因为{an}为等差数列,所以,所以,所以.故选C.本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.9、C【解析】

将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：C52女1男时：C共有420种不同的安排方法故答案选C本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.10、B【解析】

结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．故选B．本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．11、A【解析】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．详解：分3步来计算，

①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；

②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；

故选A．点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．12、A【解析】分析：根据题意求解，的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案详解：函数满足，即函数关于点对称函数即函数关于点对称函数与的图象共有个交点即在两边各有个交点，则共有组，故，故选点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设面上个三角形最多把平面分成个部分，归纳出，利用累加法的到答案.【详解】设面上个三角形最多把平面分成个部分.归纳：利用累加法：故答案为：本题考查了归纳推理，累加法，综合性强，意在考查学生归纳推理和解决问题的能力.14、【解析】

利用勾股定理，计算出截面的半径.【详解】设球心为，截面圆心为，依题意，，故，即截面的半径为.故答案为：本小题主要考查球的截面半径的计算，属于基础题.15、.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．16、【解析】与垂直三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)证明见解析.【解析】

（1）推导出，解得，从而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式即可得到结果．【详解】(1)∵，∴，∴，解得，同理解得即；(2)要证时，，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式得，所以原不等式成立．本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）见解析；（2）【解析】

作∥，交于点，作∥，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得∥,再根据直线与平面平行的判断定理可证.(2)根据题意计算得,再配方可得取最小值时分别为的中点,再取为,连接，，,可得是二面角的平面角,再计算可得.【详解】（1）证明：如图，作∥，交于点，作∥，交于点，连接.由题意得∥，且，则四边形为平行四边形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四边形为平行四边形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故当时，的长度有最小值．分别取，的中点、，连接，，．易知，，故是二面角的平面角在中，．所以.本题考查了直线与平面平行的判定定理,以及二面角,属中档题.19、(1);(2)【解析】

（1）根据直线和椭圆的位置关系,以及弦长公式即可求出;（2）根据向量的数量积和三角形的面积公式,弦长公式以及点到直线的距离,即可求出.【详解】(1)F是椭圆的右焦点,即,则,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为代入椭圆方程中,可得,解得..(2).当直线的斜率存在时，设直线的方程为,代入椭圆方程中,可得,点到直线的距离为,解得.直线的方程为;当直线的斜率不存在时,则直线方程为,此时，,不满足题意.综上，直线的方程为.本题考查考查了弦长公式,点到直线的距离公式,三角形面积公式在解决直线和椭圆关系中的应用,考查学生的计算求解能力,难度一般.20、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出，将已知等式代入即可求出的值；（2）由可求出的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.试题解析：（1）由，得，根据余弦定理得；（2）由，得，∴，，∴．22、（1）（2）【解