云南省昆明市嵩明一中2024-2025学年高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

云南省昆明市嵩明一中2024-2025学年高二数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，两条渐近线与圆相切，若双曲线的离心率为，则的值为（）A． B． C． D．2．已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩CA．{4,5} B．{3,4,5} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}3．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．-3 B．2 C．3 D．85．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球7．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．1508．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．9．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（）A．参与奖总费用最高 B．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C．购买奖品的费用的平均数为9.25元 D．购买奖品的费用的中位数为2元10．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． B． C．3 D．511．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．16212．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，两条距离为4的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于，和，，且抛物线的准线与圆相切，则的最大值为______.14．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____；15．在数列中,,通过计算的值,可猜想出这个数列的通项公式为16．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，且，，，O为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.18．（12分）已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.19．（12分）已知向量，，函数，在中，，，点在边上，且．（1）求的长；（2）求的面积．20．（12分）已知函数．（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）已知，求满足不等式的的取值范围．21．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；（2）求二面角A－DF－B的大小．22．（10分）在正项等比数列{}中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.【详解】渐近线方程为：，又因为双曲线的离心率为，，所以，故渐近线方程为，因为两条渐近线与圆相切，得：，解得；故选A。本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.2、C【解析】

通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得CUB=x|x<3，故本题主要考查集合的运算，难度很小.3、A【解析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4、C【解析】

配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。【详解】当且仅当即时取等号，即在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。5、D【解析】

根据定义求数列和，利用化简求解，利用特殊值否定结论.【详解】由题意得为以为长和宽矩形的面积，即；；又，故正确；因为，所以D错误,选D.本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题.6、C【解析】

由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．7、D【解析】分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．详解：将人分成满足题意的组有与两种，分成时，有种分法；分成时，有种分法,由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8、D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．9、D【解析】

先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.【详解】参与奖的百分比为：设人数为单位1一等奖费用：二等奖费用：三等奖费用：参与奖费用：购买奖品的费用的平均数为：参与奖的百分比为，故购买奖品的费用的中位数为2元故答案选D本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.10、A【解析】

因为抛物线的焦点是，所以双曲线的半焦距，，，所以一条渐近线方程为，即，，故选A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想11、B【解析】根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B。【点睛】从前10个数观察增长的规律。12、D【解析】

由题可知为古典概型，总的可能结果有种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.【详解】根据题意，选4名同学总的可能结果有种.选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：（1）一男三女，有种，（2）两男两女，有种.（3）三男一女，有种.共种结果.由古典概型概率计算公式，.故选D.本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先设直线的方程为，再利用直线与圆锥曲线的位置关系将用表示，再利用导数求函数的最值即可得解.【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得或7，又，∴.设直线的方程为，则直线的方程为，则.设，，令，得；令，得.即函数在为增函数，在为减函数，故，从而的最大值为，故答案为：.本题考查了利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.14、【解析】

求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，得出不等式组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，设，则满足，解得，经验证当适合题意，所以的取值范围是．本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解析】试题分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．由于在数列中,，则可知，故可知为,故答案为考点：数列的通项公式点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．16、【解析】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)连结,推导出,由此能证明平面.(2)利用等体积法求距离即可.【详解】(1)证明:连结,四棱锥的底面是菱形,且，,,O为AB的中点...平面.(2)在中,,则,,.故点B到平面的距离.本题考查线面垂直的判断定理,考查等体积法求点到面的距离,难度一般.18、（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解析】试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即.所以，所求实数的范围为.19、（1）3；（2）.【解析】

（1）首先化简得到，根据得到，再利用正弦定理即可求出的长度.（2）首先在中利用余弦定理求得，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）.因为，，，所以，.又因为，所以，在中，由正弦定理得：，解得：.（2）因为，所以.在中，由余弦定理得：.整理得：，解得或（舍去）.所以.本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.20、(1)最小值为-1,最大值为8;(2)【解析】

(1)根据二次函数在区间上的单调性可求得答案;(2)根据为增函数可将不等式化为,再解一元二次不等式可得到答案.【详解】(1)因为在上递减,在上递增,所以时,取得最小值,最小值为,时,取得最大值,最大值为.(2)因为为增函数,且,所以不等式可化为,所以,即,所以,所以或,所以不等式的解集为.本题考查了利用二次函数的单调性求最值,解一元二次不等式,利用指数函数的单调性解不等式,属于