2023年中考数学试题分类训练（01期）图形的旋转（共30题）原卷版+解析

专题20图形的旋转（30题）

一、单选题

1.（2023・江苏无锡•统考中考真题）如图，44BC中，ABAC^55°,将"LBC逆时针旋转&（0°＜々＜55。）,得

到VADE,DE交AC于F.当&=40。时，点。恰好落在上，此时1AFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

2.（2023・天津•统考中考真题）如图，把AABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点、B,C的对应点分

别是点。，E,且点E在BC的延长线上，连接3。，则下列结论一定正确的是（）

A.ZCAE=ZBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，AABC和AADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把

以A为中心顺时针旋转，点M为射线80、CE的交点.若AB=6,AD=1.以下结论：

①BD=CE；②BDLCE；

③当点E在54的延长线上时，MC=上诋；

④在旋转过程中，当线段MB最短时，AMBC的面积为

其中正确结论有（

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023・山东聊城•统考中考真题）如图，已知等腰直角AASC,ZACB=90°,AB=啦,点C是矩形ECG尸

与AABC的公共顶点，且CE=1,CG=3；点。是C3延长线上一点，且CD=2.连接3G,在矩形ECG尸

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段D尸对应的长度分别为机和小

则'的值为（

c.VioD.屈

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得

新五边形HB'CD'E'的顶点>落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，AO为-54C的平分线，且NB4C=50。，将四边形A8OC绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形四。6",且/。4<7=100。，则四边形ABOC旋转的角度是

7.（2023.湖南常德・统考中考真题）如图1,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是A8上一

点，且AD=2,过点。作OE〃5c交AC于E,将VADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中畀

CE

的值为

图1图2

0k

8.（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、C?分别是函数y=——（%<0）。=七（％>0,尤>0）的图像，边

xX

长为6的正AABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点8、C在X轴上（8在C的左侧），现将AABC绕原点。顺

时针旋转，当点B在曲线G上时，点A恰好在曲线Cz上，则上的值为.

9.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，线段AB=8,点C是线段43上的动点，将线段2。绕点3顺时针旋转

120。得到线段80,连接C£>,在AB的上方作RtADCE,使NDCE=9（y,NE=30。，点尸为QE的中点，连接

AF,当"最小时，ABCZ）的面积为.

10.（2023・江西•统考中考真题）如图，在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角a

（0。<&<360。）得至UAP,连接PC,PD.当APCD为直角三角形时，旋转角a的度数为.

11.（2023•上海・统考中考真题）如图，在AABC中，ZC=35°,将AASC绕着点A旋转阳0°<e<180。）,

旋转后的点8落在BC上，点3的对应点为连接4）,AD是—54C的角平分线，则夕=.

c

12.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在RtA4BC中，ZR4C=90°,AB=3cm,^B=6Q°.将“IBC

绕点A逆时针旋转，得到△AB'C,若点8的对应点笈恰好落在线段3c上，则点C的运动路径长是

cm（结果用含乃的式子表示）.

13.（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，在RtAABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=1,将AABC绕点A逆

4D

时针方向旋转90。，得到△ABC.连接BE,交AC于点则=的值为.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰及IBC,ZA=120。，AB^2.现将AABC以点8为旋转中

心旋转45。，得到△A'BC',延长C'H交直线3C于点D则AD的长度为.

15.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）一副三角板A3C和。所中，

ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=\2.将它们叠合在一起，边BC与所重合，C。与相

交于点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将ADEF绕点C（歹）按顺时针方向旋转（如图2）,

边EF与48相交于点X,连结£羽，在旋转0。到60。的过程中，线段扫过的面积是.

三、解答题

16.（2023.北京.统考中考真题）在AABC中、ZB=ZC=a（O°<a<45°）,于点。是线段MC

上的动点（不与点C重合），将线段DM绕点。顺时针旋转2夕得到线段DE.

（1）如图1,当点E在线段AC上时，求证：。是MC的中点；

（2汝口图2,若在线段上存在点尸（不与点8,M重合）满足£>尸=。。，连接AE,EF,直接写出1AEF

的大小，并证明.

17.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,N分别是斜

（1）将ACDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点N距离的最大值和最小值;

（2）将ACDE绕顶点C逆时针旋转120。（如图2）,求的长.

18.（2023・四川达州•统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,44BC的顶点均在小正方形

的格点上.

(1)将AABC向下平移3个单位长度得到△△与G,画出由G;

(2)将AASC绕点C顺时针旋转90度得到△人&。2,画出5

(3)在(2)的运动过程中请计算出AABC扫过的面积.

19.(2023.辽宁・统考中考真题)在RtAASC中，ZACB=90°,C4=CB,点。为A3的中点，点D在直线AB

上(不与点重合)，连接8,线段8绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,过点B作直线/LBC,

过点E作所，/,垂足为点下，直线斯交直线OC于点G.

(1)如图，当点。与点。重合时，请直接写出线段AO与线段E尸的数量关系；

(2)如图，当点。在线段上时，求证：CG+BD=y/2BC;

S,

(3)连接OE,ACDE的面积记为号，»BC的面积记为邑，当EF:3c=1:3时，请直接写出”的值.

20.(2023•四川乐山・统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活

动

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板绕点A逆时针旋转。到达△A3'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC,BC=B'C'；ABAC=AB'AC,ZABC=ZABC',ZACB^ZAC'B'（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图

形旋转的关键；故数学就是一门哲学.

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：；

（2）如图，小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板ABC绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板

A'8'C'的位置.

①请在图中作出点。；

②如果班'=6cm,则在旋转过程中，点8经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另

一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是

多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题.

B

21.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）在平行四边形A3CD中（顶点4瓦。,£＞按逆时针方向排列）,

（1）如图1,求AB边上的高的长.

⑵尸是边AB上的一动点，点CD同时绕点P按逆时针方向旋转90。得点C,D'.

①如图2,当点C'落在射线C4上时，求3尸的长.

②当△AC'。'是直角三角形时，求3尸的长.

22.(2023・四川南充・统考中考真题)如图，正方形A3CD中，点M在边BC上，点E是/的中点，连接ED,

EC.

(1)求证：ED=EC；

⑵将BE绕点E逆时针旋转，使点3的对应点夕落在AC上，连接当点M在边BC上运动时(点M不

与B,C重合)，判断AQWB，的形状，并说明理由.

(3)在(2)的条件下，已知AB=1,当/£>£a=45。时，求2M的长.

23.(2023•江苏扬州•统考中考真题)【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两块三角板

分别记作AADB和AA'D'C,ZADB=ZA!D'C=90°,ZB=ZC=30°,设AB=2.

【操作探究】

如图1,先将和AA力C的边AD、AD重合，再将"'O'C绕着点A按飒时针方向旋转，旋转角为

(2)当。=90。时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积;

(3)如图2,取BC的中点E将△A力C绕着点A旋转一周，点E的运动路径长为

24.（2023・湖南•统考中考真题）（1）［问题探究］

如图1,在正方形ABCD中，对角线AC、加＞相交于点。.在线段AO上任取一点尸（端点除外），连接PZXPB.

②将线段。尸绕点P逆时针旋转，使点。落在阴的延长线上的点。处.当点P在线段AO上的位置发生变

化时，NDPQ的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究AQ与。尸的数量关系，并说明理由.

（2）［迁移探究］

如图2,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且NABC=60。，其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系，

并说明理由.

25.（2023・湖北随州・统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点）

当URC的三个内角均小于120。时，

如图1,将△钎（7绕，点C顺时针旋转60。得到AAPC,连接尸P,

PA+PB+PC=PA:+PB+PP'>A'B,

由②可知,当&P,P',A在同一条直线上时，PA+P3+PC取最小值，如图2,最小值为43,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③：

已知当有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/B4c2120。，

则该三角形的“费马点”为⑷点.

（2）如图4,在AABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知点P为AABC的“费

马点”，求+的值；

A

（3）如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且己知AC=4km,BC=26km,ZACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,JEa元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果

用含。的式子表示）

26.(2023・四川•统考中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接8C,

以BC为边在8C上方作RLABDC,且NDBC=30°.

⑴若/3DC=90。，以A8为边在AB上方作RtZXBAE,且NA£B=90。，ZEBA=30°,连接DE,用等式表

示线段AC与DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE工AB,AB=4,AC=2,求BC的长；

(3)如图3,若/3CD=90。，AB=4,AC=2,当AD的值最大时，求止匕时tan/CB4的值.

27.(2023•湖北黄冈•统考中考真题)【问题呈现】

△。钻和其2)£都是直角三角形，ZACB=NDCE=90°,CB=rnCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,

班的位置关系.

图1图2备用图

(1)如图1,当m=1时，直接写出AD,BE的位置关系:

(2)如图2,当加中1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

(3)当加=6,A8=4",DE=4时，将ACDE绕点C旋转，使ARE三点恰好在同一直线上，求8E的长.

28.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三

角尺放在正方形43a＞中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两

边CM,CN始终与正方形的边A。，AB所在直线分别相交于点N,连接MN,可得ACW.

【探究一】如图②，把VCDM绕点C逆时针旋转90。得到ACB”，同时得到点H在直线AB上.求证:

ZCNM=ZCNH；

【探究二】在图②中，连接5。，分别交CM,CN于点E,F.求证：ACEFSMNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线50与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连

接AC交于点0,求竺的值.

29.（2023・湖南•统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：

在正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形出犷G,将正方形8EFG绕点B顺时针

图①图②图③

特例感知:

(1)当BG在BC上时，连接。尸，AC相交于点P,小红发现点尸恰为。尸的中点，如图①.针对小红发现

的结论，请给出证明；

(2)小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是OF中点P,如图②，根据小红发现的结论，

请判断VAPE的形状，并说明理由；

规律探究：

(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转a,连接。尸，点尸是。尸中点，连接AP,EP,AE,NAPE

的形状是否发生改变？请说明理由.

30.(2023・贵州・统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究,

在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,ZC=90°,过点8作射线班»145,垂足为B,点尸在CB上.

如图②，若点尸在线段CB上，画出射线上4,并将射线PA绕点尸逆时针旋转90。与8。交于点E,根据题意

在图中画出图形，图中NPBE的度数为______度;

⑵【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段9与PE的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若点尸在射线CB上移动，将射线PA绕点尸逆时针旋转90°与交于点E,探究线段班，台P班之

间的数量关系，并说明理由.

专题20图形的旋转（30题）

一、单选题

1.（2023・江苏无锡・统考中考真题）如图，1SC中，ZB4C=55°,将逆时针旋转研0°<£<55。）,得

到VADE,DE交AC于F.当（/=40。时，点。恰好落在BC上，此时N⑷花等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根据旋转可得ZB=/4DB=/4DE,再结合旋转角。=40。即可求解.

【详解】解：由旋转性质可得：/BAC=/DAE=55。,AB=AD,

"：a=40°,

AZDAF=15°,/B=ZADB=ZADE=70。,

：.ZAFE^ZDAF+ZADE^S50,

故选：B.

【点睛】本题考查了几何一旋转问题，掌握旋转的性质是关键.

2.（2023•天津・统考中考真题）如图，把"RC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点2,C的对应点分

别是点。，E,且点E在2c的延长线上，连接8。，则下列结论一定正确的是（）

A

B'E

D

A.NCAE=NBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得=AC^AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意，

ZABC=ZADE

•.彳刊CE=ABC+7BAC

.,.行1CE=ADE+7BAC,故C选项不符合题意，

彳员CS=AED

■：彳员C3=CAE+?CEA

•.彳CEA+?BED

WAE=BED,故A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

3.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，AABC和AADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把AADE

以A为中心顺时针旋转，点〃为射线3D、CE的交点.若AB=6AD=1.以下结论：

①BD=CE；②BD1.CE；

③当点E在54的延长线上时，=

2

④在旋转过程中，当线段MB最短时，AMBC的面积为

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明丝即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明/。。06/瓦乂得出

MC叵口，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在0A的下方与0A相切时，MB的值最

小，可得四边形AEMD是正方形，在R^MBC中MC=dBC?—MB?=0+1，然后根据三角形的面积公式

即可判断④.

【详解】解：・・・△ABC和石是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,

.・.BA=CA,DA=EA,ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^ACAE，

：.ZABD=ZACE,BD=CE,故①正确;

设NABD=NACE=e,

・•・ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=NDBC+NBCM=NDBC+NBCA+ZACE=45。一c+45。+2=90°,

：.BD±CE,故②正确；

当点£在84的延长线上时，如图所示

VZDCM=ZECA,ZDMC=ZEAC=90°,

/DCMs/ECA

,MCCD

**AC-EC

**AB=A/3,AD=1.

・・CD=AC—AD=A/3—1，CE=VAE2+AC2=2

.MC6T

・・丁M

=±史，故③正确；

2

④如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆,

,?/BMC=90°,

...当CE在04的下方与04相切时，MB的值最小，ZADM=ZDAE=ZAEM=90°

.,•四边形AEMD是矩形，

又A£=AD,

四边形AEMD是正方形，

/.MD=AE^l,

BD=EC=YIAC2-AE2=V2，

在RtAMBC中，MC=^BC2-MB2

P3取得最小值时，MC=y/AB2+AC2-MB2=J3+3-(>/2-=垃+1

••-5BMC=|MBXMC=1(V2-1)(V2+1)=1

故④正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形

的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.(2023•山东聊城•统考中考真题)如图，已知等腰直角AABC,ZACB=90°,AB=0，点C是矩形ECG/

与AABC的公共顶点，且CE=1,CG=3；点。是CB延长线上一点，且CD=2.连接BG,DF,在矩形ECGF

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DR对应的长度分别为根和"，

则%的值为()

n

F,

A.2B.3C.A/WD.V13

【答案】D

【分析】根据锐角三角函数可求得AC=3C=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且8,C,

G三点共线，求得3G=4,DG=5,根据勾股定理求得£＞尸=后，即根=后，当线段BG达到最短时,

此时点G在点C的上方，且B,C,G三点共线，则8G=2,OG=1,根据勾股定理求得。尸=拒，即〃=&,

即可求得竺=而.

n

【详解】•••"IBC为等腰直角三角形，AB=V2--1•AC=BC=AB-sin45°=V2x^l=l,

2

当线段3G达到最长时，此时点G在点C的下方，且B,C,G三点共线，如图：

D

则3G=3C+CG=4,DG=DB+BG=5,

在RtADGF中，DF=YJDG2+GF2=A/F+F=726，

即加=A/26，

当线段3G达到最短时，此时点G在点。的上方，且5,C,G三点共线，如图:

贝|J8G=CG—3C=2,DG=BG—DB=l,

在RtADGB中，DF=^JDG2+GF2=A/12+12=A/2,

即"=>/2，

故叽擘=回,

nv2

故选：D.

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键.

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得

新五边形A'3'CDE的顶点"落在直线BC上，则正五边MCZ组旋转的度数至少为

【答案】72

【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到NDCF的度数，进而得出旋转的角度.

【详解】解：：五边形ABCDE是正五边形，

'F

：.NDCF=360°+5=72°,

，新五边形的顶点DC落在直线BC上，则旋转的最小角度是72。，

故答案为：72.

【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用.

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，A0为—54C的平分线，且N8AC=50。，将四边形AB0C绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形四且NQ4C'=100。，则四边形A30C旋转的角度是.

【答案】75。

【分析】根据角平分线的性质可得N54O=NQ4C=25。，根据旋转的性质可得ZBAC=ZBrAC=50°,

AB'AO=AO'AC=25°,求得NQ4O=75。，即可求得旋转的角度.

【详解】•••A0为/BAC的平分线，ZBAC=50°,

ZBAO=ZOAC=25°,

,/将四边形AB0C绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'0'C,

：.ABAC=AB'AC=50°,ZB'AO=ZO'AC=25°,

NQ4O'=ZOAC-ZO'AC'=100°-25°=75°,

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

7.（2023•湖南常德・统考中考真题）如图1,在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一

点，且AD=2,过点。作DE〃BC交AC于E,将VADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中竺

CE

的值为.

【分析】首先根据勾股定理得到ac=JAB?+3灰=10,然后证明出△"“△他。，得到第=芳，进

ADAC

4nAR

而得到F=然后证明出利用相似三角形的性质求解即可.

AEAC

【详解】：在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=8,BC=6,

•'­AC7AB2+BC2=10

DE//BC

：.ZADE=ZABC=90°,ZAED=ZACB

：.AADEAABC

.ADAE

**AC

.ADAB

**AE-AC

,:ZBAC=NDAE

：.ZBAC-^-ZCAD=ZDAE+ACAD

：.ZBAD=ZCAE

**.^ABD5AAeE

.BDAB_S4

**CD-AC-io-5,

4

故答案为：—.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

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8.（2023•江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、g分别是函数＞=——。＜0）,»=上（左＞0,无＞0）的图像，边

xx

长为6的正AASC的顶点A在y轴正半轴上，顶点8、C在X轴上（8在C的左侧），现将AASC绕原点。顺

时针旋转，当点8在曲线G上时，点A恰好在曲线c?上，则左的值为.

【答案】6

【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点A在y轴上，点B、C在X轴上时，根据AASC为等

OB]

边三角形且A013C,可得质=耳，过点A、8分别作x轴垂线构造相似，贝以根据相似

三角形的性质得出S0°E=3,进而根据反比例函数%的几何意义，即可求解.

【详解】当点A在＞轴上，点3、C在x轴上时，连接AO,

•••AASC为等边三角形且A013C,则ZBAO=30°,

tanZS4C＞=tan30°=—=—,

OA3

如图所示，过点A,2分别作尤轴的垂线，交x轴分别于点E,尸，

AOLBO,ZBFO=ZAEO=ZAOB=90。,

■.NBOF=90°-ZAOE=ZEAO,

：.ABFOsOEA,

,S.。]。町11

S.AOEIOAJ3'

-s-l-2l-1

一，BF0—2~1,

一^AAOE~3,

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，％的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相

似三角形是解题关键.

9.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，线段AB=8,点C是线段A3上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转

120。得到线段80,连接8,在A3的上方作RtADCE,使NOCE=90。,NE=30。，点尸为DE的中点，连接

AF,当AF最小时，ASCD的面积为.

【答案】6

【分析】连接CHBF,BF,交于点P,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分CP,

/ABP=60。为定角，可得点尸在射线8尸上运动，当AFJ.B尸时，”最小，由含30度角直角三角形的性

质即可求解.

【详解】解：连接CEBF,BF,切交于点P,如图，

•••ZDCE=90°，点下为OE1的中点，

FC=FD,

**'NE=30。，

ZFDC=60°,

△PCD是等边三角形，

ZDFC=ZFCD=60°；

,/线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD,

BC=BD,

FC=FD,

月垂直平分CT,ZABF=60°,

点尸在射线2厂上运动，

.,.当A尸时，AF最小，

止匕时ZFAB=90°-ZABF=30°,

：.BF=-AB=4；

2

,/ZBFC=-ZDFC=30°,

2

ZFCB=ZBFC+ZABF=90°,

BC=-BF=2,

2

,/PB=-BC=1,

2

由勾股定理得PC=4BC--PB1=也，

/.CD=2PC=273,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平

分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点尸的运动路径是关键与难点.

10.（2023•江西・统考中考真题）如图，在YABCZ）中，ZB=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角a

（0。<&<360。）得至UAP,连接尸C,PD.当APCD为直角三角形时，旋转角a的度数为.

【答案】90。或270。或180。

【分析】连接AC,根据已知条件可得/R4C=90。，进而分类讨论即可求解.

【详解】解：连接AC,取2C的中点E,连接AE,如图所示，

•.•在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,

：.BE=CE=-BC=AB,

2

**•AABE是等边二角形,

/.ZBAE=ZAEB=60°,AE=BE,

：.AE=EC

：.ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°,

2

・•・NBA。=90。

/.AC±CD,

如图所示，当点P在AC上时，此时NB4P=NB4C=90。，则旋转角。的度数为90。,

B、----'C

当P在B4的延长线上时，则旋转角。的度数为180。,如图所示,

■:PA=PB=CD,PB//CD,

・・•四边形PACD是平行四边形，

■:AC.LAB

・・・四边形PACD是矩形，

・・•ZPDC=90。

即△PDC是直角三角形，

—〜、P

B、一一，C

综上所述，旋转角a的度数为90。或270。或180。

故答案为：90。或270。或180。.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性

质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.（2023•上海•统考中考真题）如图，在融。中，ZC=35°,将AASC绕着点A旋转。（。°<2<180。），

旋转后的点B落在BC上，点8的对应点为。，连接AZ）,AD是一区4c的角平分线，则夕=.

【分析】如图，AB=AD,ZBAD=a,根据角平分线的定义可得==,根据三角形的外角

性质可得//位加=35。+&,即得/3=44。3=35。+a，然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD,ZBAD=a,

AD是ZBAC的角平分线，

，ZCAD=ZBAD=a,

；ZAD3=/C+NC4D=35°+a,AB^AD,

：.ZB=ZADB=350+a,

则在AABC中，VZ.C+ZCAB+ZB=180°,

：.35°+2a+35°+tz=180°,

解得：a=

故答案为：

KC

B

A

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟

练掌握相关图形的性质是解题的关键.

12.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在中，ZR4C=90°,AB=3cm,，5=60。.将AABC

绕点A逆时针旋转，得到△AB'C',若点8的对应点4恰好落在线段8C上，则点C的运动路径长是

___________cm（结果用含"的式子表示）.

BB'C

【答案】4

【分析】由于AC旋转到AC',故C的运动路径长是CC'的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

【详解】以A为圆心作圆弧CC',如图所示.

BB'C

在直角AABC中，/8=60。，则NC=3O。，

贝lJ3C=2AB=2x3=6(cm).

AC=飞BC?-AB?=V62-32=373(cm).

由旋转性质可知，AB=AB',又/'3=60。，

△ABB,是等边三角形.

ABAB'=6Q0.

由旋转性质知，NC4c=60。.

故弧CC'的长度为：国"x2x乃xAC=2x36=&;r(cm)；

故答案为：6兀

【点睛】本题考查了含30。角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确C点的运动轨迹.

13.（2023・内蒙古•统考中考真题）如图，在RtaABC中，NAC3=90。,AC=3,BC=1,将绕点A逆

时针方向旋转90。，得到△ABC'.连接88',交AC于点。，则=的值为.

【答案】5

【分析】过点。作于点R利用勾股定理求得=J16，根据旋转的性质可证AABQ、△OFB是

等腰直角三角形，可得AF=8产，再由号4%=3*3。乂池=；乂。尸又相，得人。=加。歹，证明

△AFD〜AACB,可得变=竺，即AF=3D产，再由AF=，求得DF二叵,从而求得4。=工，

BCAC42

CD=1,即可求解.

【详解】解：过点。作。产_LAB于点片

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

♦,AB=乎+F=A/10,

将AABC绕点A逆时针方向旋转90°得到AAB'C,

AB=AB'=>/lO,ZBAB'=90°,

.••△AB9是等腰直角三角形，

ZABB'=45。,

又：DFLAB,

：./FDB=45。,

△£>尸8是等腰直角三角形，

DF=BF,

S^g=；xBCxAD=gxDFxAB,即AO=y/lODF,

ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFAD,

^AFD~^ACB,

.DFAF

即AF=3O厂，

*BC-AC

又,:AF=M-DF,

/.DF=—,

4

/.AD=V10x^=*,CD=3--=-,

4222

5

四子5

CD1

2

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰“IBC,ZA=120°,AB=2.现将AABC以点8为旋转中

心旋转45。，得到△ABC,延长CW交直线8C于点D则AD的长度为.

【答案】4+2也或4-2石

【分析】根据题意，先求得BC=26，当AABC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点3作3E_LA3交

于点E,当AABC以点B为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作D尸，3C'交BC'于点尸，分别画出图形，

根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作/1M_L5C于点

:等腰AASC,ZBAC=120°,AB^2.

：.ZABC=ZACB=30°,

AM=；AB=1,BM=CM=dAB2-AM?=6,

，BC=2指，

如图所示，当AABC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，过点8作交AO于点E,

,?ZBAC=120°,

NDAB=60°,ZAEB=30°,

在RMA3E中，4E=2A3=4,BE=Y/A!E2-AB2=273>

:等腰MSC,ZBAC=120°,AB^2.

：.ZABC=ZACB=30°,

U1BC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，

/.NASA'=45°,

Z.DBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

在AA'BD中，ND=180。一ZDA'B-ZA'BD=180°-60°-105°=15°,

ZD=ZEBD,

/.EB=ED=2A/3,

/.A'D=A'E+DE=4+7.yfi,

如图所示，当AABC以点3为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作止交5C'于点尸,

A

：.DF=BF

在RtADCR中，/C'=30。

，DF=—FC'

3

/.BC=BF+仆BF=273

/.DF=BF=3-6

/.DC=2DF=6-143

/.A'D=CD-A'C=6-2y/3-2=4-2y/3,

综上所述，A'D的长度为4-2后或4+2抬,

故答案为：4-2省或4+2石.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类

讨论是解题的关键.

15.（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）一副三角板A8C和O及中，

ZC=ZD=90°,48=30。，NE=45。，BC=EF=12.将它们叠合在一起，边BC与所重合，C。与相

交于点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将ADEF绕点CCF）按顺时针方向旋转（如图2）,

边石尸与A3相交于点“，连结在旋转0。至U60。的过程中，线段O”扫过的面积是.

【答案】6V6-6V2；12^-1873+18

【分析】如图1，过点G作GW，8c于X,根据含30。直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出

BH=^>GH,GH=CH,然后由BC=12可求出GH的长，进而可得线段CG的长；如图2,将△/）£尸绕点

C顺时针旋转60。得到ARE/,FE］与AB交于G-连接。Q,ADt,是即旋转0。至U60。的过程

中任意位置，作DN1CR于N,过点B作RD交DQ的延长线于M,首先证明AC。，是等边三角形，

点A在直线42上，然后可得线段DH扫过的面积是弓形22。的面积加上AROB的面积，求出DN和,

然后根据线段D”扫过的面积=S弓形卬由+5闻m=S扇形8。一S.cno+SqoB列式计算即可.

【详解】解：如图1,过点G作G"J_5C于氏

C(F)

H

At-----------R---------------

D

图1

VZABC=30°,ZDEF=ZDFE=45°,Z.GHB=ZGHC=90°,

:.BHfGH,GH=CH,

BC=BH+CH=y/3GH+GH=12,

•*.GH=6s/3-6,

：.CG=V2GH=V2X(6^-6)=6A/6-6A/2；

如图2,将AD砂绕点C顺时针旋转60。得到ARE/,鹤与A3交于G1,连接。Q,

由旋转的性质得：Z£1CB=Zr)CD1=60°,CD=CD\,

ACDQ是等边三角形，

ZABC=3O°,

ZCG.B=90°,

：.CG,=；8C,

*.*CE]=BC,

/.CG]=；CE]，即AB垂直平分CE,,

：AC2g是等腰直角三角形，

点2在直线A8上，

连接AR,片P是必印旋转0。至|60。的过程中任意位置，

则线段DH扫过的面积是弓形22。的面积加上的面积，

BC=E