重庆2025届高二下数学期末联考试题含解析

重庆2025届高二下数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．2．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法3．已知双曲线C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=04．已知复数z满足，则z的共轭复数（）A．i B． C． D．5．若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A． B． C． D．6．已知直线（t为参数）上两点对应的参数值分别是，则（）A． B．C． D．7．已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（）A． B． C． D．8．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为A． B．C． D．9．已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，有以下命题：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个11．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.29212．已知均为实数，若（为虚数单位），则（）A．0 B．1 C．2 D．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是_______________.14．集合，若，则实数的值为__________．15．若，分别是椭圆：短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于，的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则__________．16．已知向量，，．若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）把编号为1、2、3、4、5的小球，放入编号为1、2、3、4、5的盒子中.(1)恰有两球与盒子号码相同；(2)球、盒号码都不相同，问各有多少种不同的方法18．（12分）（题文）已知函数fx=m-x+4m>0（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c都是正实数，且1a+119．（12分）已知函数，为实数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当，且恒成立时，求的最大值.20．（12分）设函数.（1）求的单调区间；（2）求使对恒成立的的取值范围.21．（12分）如图，棱长为的正方形中，点分别是边上的点，且将沿折起，使得两点重合于，设与交于点，过点作于点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．（10分）在中，内角所对的边分别为且满足.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的值..

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据复数的计算方法，可得的值，进而可得，可得答案．【详解】解：根据复数的计算方法，可得，则，故选：．本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题．2、D【解析】试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.考点：抽样方法.3、C【解析】

根据双曲线的性质，即可求出。【详解】令x216双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，故选C。本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。4、A【解析】

由条件求出z，可得复数z的共轭复数．【详解】∵z（1+i）＝1﹣i，∴zi，∴z的共轭复数为i，故选A．本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5、D【解析】分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件．详解：框图首先给累加变量S赋值1，给循环变量k赋值1．判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；判断6≤6，输出S的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是k＞6？．故答案为:D.点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．6、C【解析】试题分析：依题意，，由直线参数方程几何意义得，选C．考点：直线参数方程几何意义7、B【解析】

由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【详解】由双曲线的离心率为，可得ca，即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），设λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即则1．故选：B．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8、C【解析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为．点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口．9、C【解析】

首先利用导数的几何意义及函数过原点，列方程组求出的解析式，则命题①得到判断；然后令，求出的极值点，进而求得的最值，则命题②③得出判断．【详解】∵函数的图象过原点，∴．又，且在处的切线斜率均为，∴，解得，∴．所以①正确．又由得，所以②不正确．可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极大值为，极小值为，又，∴，∴的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．综上可得①③正确．故选C．本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．10、D【解析】

试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．11、C【解析】

首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【详解】因为摸一次球，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故选C.本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12、C【解析】

将已知等式整理为，根据复数相等可求得结果.【详解】由题意得：，即：则：本题正确选项：本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-5【解析】作可行域,则直线z=x+3y过点A(1,-2)取最小值-5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14、【解析】

根据并集运算法则计算得到答案.【详解】集合，若则故答案为：本题考查了集合的并集运算，属于简单题.15、2【解析】

设点坐标为，则．由题意得，解得．答案：2点睛：求椭圆离心率或其范围的方法（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．16、.【解析】分析：先计算出，再利用向量平行的坐标表示求的值.详解：由题得，因为，所以（-1）×（-3）-4=0,所以=.故答案为.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)设=,=，则||.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)20；(2)44.【解析】

(1)由题意结合排列组合公式和乘法原理即可求得恰有两球与盒子号码相同的种数；(2)利用全错位排列的递推关系式可得球、盒号码都不相同的方法种数.【详解】(1)易知3个球、盒号码都不相同共有2种情况，则恰有两球与盒子号码相同的排列方法种数为：种；(2)利用全错位排列的递推关系式：可得：，即球、盒号码都不相同共有44种方法.本题主要考查排列组合公式的应用，全错位排列的递推关系式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、(Ⅰ)m=1(Ⅱ)见解析【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m,∴m=1（II）方法1:∵1∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(=3+(当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=3方法2:∵1∴由柯西不等式得3=a⋅整理得a+2b+3c≥9当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=319、(1)(2)【解析】分析：（1）当时，，利用导函数研究切线方程可得函数在点处的切线方程为.（2）原问题等价于恒成立，二次求导，由导函数研究的性质可知，满足，，，，则.据此讨论可得的最大值为.详解：（1）当时，，∴，所以函数在点处的切线方程为，即为.（2）恒成立，则恒成立，又，令，所以，所以在为单调递增函数.又因为，，所以使得，即，，，，所以.又因为，所以，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因为，，所以的最大值为.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20、（1）见解析；（2）【解析】

(1)求导后得,再对分三种情况讨论可得;(2)先由,解得,从而由(1)可得在上为增函数,再将恒成立转化为可解得.【详解】（1）因为，其中，所以.所以，时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；时，所以的单调递减区间为；时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题意得，即.由（1）知在内单调递增，要使对恒成立.只要解得.故的取值范围是.本题考查了利用导数求函数的单调区间,用导数研究不等式恒成立问题,属中档题.21、（1）见证明（2）【解析】

（1）由平面可得，结合可得平面，故，又得出平面；（2）建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面的法向量，则为直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，在的垂直平分线上，∴，∵，，，∴平面∴，又，，∴平面，∴，又，，∴底面．（2）解：如图过点作与平行直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，∴，，，设平面的法向量，则，即，取，记直线与平面所成角为，则，故直线与平面PDF所成角的正弦值为．本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22、(1);(2).【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，化简整理即可求得角B的值.