2023年中考数学试题分类训练：第1期 三角形及全等三角形（共30题）原卷版+解析

专题15三角形及全等三角形（30题）

一、单选题

1.（2023.吉林长春•统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径4?的卡钳，卡钳交叉点。为A4,、

班’的中点，只要量出A0的长度，就可以道该零件内径的长度.依据的数学基本事实是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短

2.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，AB//CD,且NA=40。，"=24。，则/E等于（）

3.（2023•云南•统考中考真题）如图，43两点被池塘隔开，AB、C三点不共线.设AC、3c的中点分别

为M、N.若MN=3米，则AB=（）

A.4米B.6米C.8米D.10米

4.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，AABC中，A8=AC,NA=4O。，则/AC。的度数为（）

A.70°B.100°C.110°D.140°

5.（2023・湖南•统考中考真题）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,5cm

C.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm56cm

6.（2023・山西・统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光

心。的光线相交于点尸，点尸为焦点.若4=155。,/2=30。，则/3的度数为（）

C.55°D.60°

7.（2023・福建・统考中考真题）阅读以下作图步骤:

①在。4和上分别截取。COD,使OC=OD；

②分别以C,O为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NA03内交于点M；

2

③作射线。连接CM,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

B.Z1=Z3MCM=DM

C.Z1=Z2_1.OD=DMD./2=/3且OD=ZW

8.（2023•浙江台州•统考中考真题）如图，锐角三角形ABC中，AB=AC,点。，E分别在边A3,AC上,

连接BE,CD.下列命题中，假河博是（）.

A

D.

BC

A.若CD=BE,贝！|Nr>C3=N£BCB.若NDCB=NEBC,则。。=郎

C.若BD=CE,则NDCB=NEBCD.若NDCB=/EBC,则BD=CE

9.(2023•河北•统考中考真题)在AASC和AA'3'C'中，ZB=ZB,=3O°,AB=A'B'=6,AC=A:C'=A.已知

ZC=M°,则"=()

A.30°B.n°C.〃。或180°—"°D.30°或150°

二、填空题

10.（2023•江苏连云港•统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是.（只

填一个即可）

11.（2023•浙江金华•统考中考真题）如图，把两根钢条OA03的一个端点连在一起，点C,£）分别是OAOB

的中点.若CD=4cm,则该工件内槽宽A3的长为cm.

/

/

彳

12.（2023・新疆・统考中考真题）如图，在AASC中，若AB=AC,AD=BD,^CAD=24°,则/C=

13.（2023・安徽•统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的

计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个

2

1（4D_4「2

结论:如图，AO是锐角AASC的高，则彳BC+———当AB=7,BC=6,AC=5时，CD=

21nC

A

14.（2023・浙江・统考中考真题）如图，在AABC中，AC的垂直平分线交BC于点。，交AC于点E,

NB=ZADB.若AB=4,则。C的长是.

15.（2023・湖北随州•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为AC上一点,

若50是NA3C的角平分线，贝i」AZ）=.

16.（2023・湖北十堰•统考中考真题）一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点E在BC上，若NEAB=35。,

贝ljNDFC=°.

17.（2023•浙江杭州•统考中考真题）如图，点。,E分别在"1BC的边相,AC上，且OE〃台C,点厂在线段

BC的延长线上.若/ADE=28。，ZACF=118°,则/A=.

18.（2023・湖北荆州•统考中考真题）如图，8为RtA4BC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8,

CD=5,贝IJr)E=

19.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以

小于AC长为半径作弧，分别交ACA5于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于1叱的长为半径

作弧，在，BAC内两弧交于点0；③作射线AO,交8C于点。.若点。到AB的距离为1,则8的长为

3

2。.⑵23・广东深圳•统考中考真题）如图，在疑。中，加AC,32="点D为为上一动点，连接

s

AD,将沿AO翻折得到VADE,DE交AC于点G,GE<ZX7,且AG:CG=3:1,则十■鲤蟀=______

3三角形ADG

三、解答题

21.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在44BC中，48=ACAD为“BC的角平分线.以点A圆心,

AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E,尸，连接。

⑴求证：NADE^IADF；

⑵若ABAC=80°,求NBDE的度数.

22.（2023・江西・统考中考真题）（1）计算：W+tan45。-3°

（2）如图，AB=AD,AC平分求证：△ABC丝△ADC.

23.（2023・云南・统考中考真题）如图，C是8。的中点，AB=ED,AC=EC.求证:△A3c沿AEDC.

24.（2023・四川宜宾・统考中考真题）已知：如图，AB//DE,AB=DE,AF=DC.求证：ZB=ZE.

25.（2023•福建•统考中考真题）如图，OA=OC,OB=OD,ZAOD=NCOB.求证：AB=CD.

AOC

BD

26.（2023・全国・统考中考真题）如图，点（7在线段8。上,在^/15。和9£。中，4=/0,AB=DE,NB=NE.

求证：AC=DC.

27.（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O,AO=BO,AC〃DB.求证：AC=BD.

28.（2023•山东临沂•统考中考真题）如图，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

⑴写出AB与8。的数量关系

（2）延长到E,使CE=3C,延长。C到尸，使CF=OC,连接政.求证：EFLAB.

（3）在（2）的条件下，作/ACE的平分线，交A尸于点”，求证：AH=FH.

29.（2023•山东聊城・统考中考真题）如图，在四边形A8CO中，点E是边BC上一点，且BE=CD,

NB=ZAED=NC.

⑴求证：ZEAD=ZEDA；

（2）若NC=60。，DE=4时，求△AED的面积.

30.（2023•甘肃兰州・统考中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角.”

即：作一个己知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在。4和上

分别取点C和使得OC=OD,连接8,以8为边作等边三角形CDE,则OE就是/AO3的平分线.

请写出OE平分/AQ5的依据：

类比迁移：

(2)小明根据以上信息研究发现：ACDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3,在/A08的边0B上分别取OM=ON,移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过角尺顶点C的射线0C是/A03的平分线，请说明此做法

的理由；

拓展实践:

(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路和AC,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要

在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯E到岔路口A的距

离和休息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应

的示意图5中作出路灯E的位置.(保留作图痕迹，不写作法)

专题15三角形及全等三角形（30题）

一、单选题

1.（2023.吉林长春.统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径4?的卡钳，卡钳交叉点。为A4,、

班’的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度.依据的数学基本事实是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短

【答案】A

【分析】根据题意易证AAOB丝AA'CEGAS）,根据证明方法即可求解.

【详解】解：。为A4'、88'的中点，

OA=OA',OB=OB,

ZAOB=ZAOB'（对顶角相等），

.,.在AAOB与"'OE中，

OA=OA'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB

:./\AOB^A!OB,（SAS）,

：.AB=AB>

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键.

2.（2023・四川宜宾・统考中考真题）如图，AB//CD,且NA=40。，ZD=24°,则2E等于（）

A

C.24°D.16°

【答案】D

【分析】可求NACD=40。，再由NACO=NO+NE,即可求解.

【详解】解：•.•AB〃CD,

二ZACD=ZA=40°,

ZACD=ZD+ZE,

.-.24°+ZE=40°,

:.ZE=16°.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.

3.（2023•云南•统考中考真题）如图，43两点被池塘隔开，AB、C三点不共线.设AC、3c的中点分别

为M、N.若MN=3米，则AB=（）

A.4米B.6米C.8米D.10米

【答案】B

【分析】根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】解：AC.3C的中点分别为“、N,

是AABC的中位线，

AB=2MV=6（米），

故选：B.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解

题的关键.

4.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，AABC中，A8=AC,NA=40。，则NACD的度数为（）

A

A.70°B.100°C.110°D.140°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答.

【详解】解：,.・AB=AC，44=40。，

:.ZACD=ZA+ZB=11O°,

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键.

5.（2023・湖南•统考中考真题）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,5cm

C.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm,6cm

【答案】D

【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可.

【详解】A.lcm+2cm=3cm,不符合题意；

B.3cm+5cm=8cm,不符合题意；

C.4cm+5cm=9cm<10cm,不符合题意；

D.4cm+5cm=9cm>6cm,符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键.

6.（2023•山西•统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光

心。的光线相交于点P,点尸为焦点.若4=155。,/2=30。，则/3的度数为（）

D.60°

【答案】C

【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：9，

Zl+ZBFG>=180°,

AZBFO=180o-155°=25°,

ZPG>F=Z2=30°,

Z3=ZPOF+NBFO=30°+25°=55°；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键.

7.（2023・福建・统考中考真题）阅读以下作图步骤：

①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=8；

②分别以C,。为圆心，以大于1c。的长为半径作弧，两弧在NA03内交于点M；

2

③作射线。连接CM,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

'A

B.Zl=Z3S.CM^DM

C.Z1=Z2J.OD=DMD./2=N3且OD=ZW

【答案】A

【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM,再结合斯=。以可得ACOM四△DOM(SSS),由全等三

角形的性质可得Nl=N2即可解答.

【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM,

'：DM=DM,

：.ACOM^DOM(SSS).

AZ1=Z2.

；.A选项符合题意；

不能确定。C=CM,则Nl=N3不一定成立，故B选项不符合题意；

不能确定8=。暇，故C选项不符合题意，

OZ5/7CM不一定成立，则/2=/3不一定成立，故D选项不符合题意.

故选A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是

解答本题的关键.

8.(2023•浙江台州•统考中考真题)如图，锐角三角形ABC中，AB=AC,点。，E分别在边AB,AC上，

连接BE,CD.下列命题中，假何题是().

A.若CD=BE,贝!]〃CB=N£BCB.若NDCB=ZEBC,则CDEE

C.若BD=CE,贝!|NOCB=N£BCD.若NDCB=NEBC,则3D=CE

【答案】A

【分析】由AB=AC,可得NABC=/ACB,再由。。=跖，BC=CB,由SSA无法证明与ACBE全

等，从而无法得到NDC3=/EBC；证明VABE@MCD可得CD=BE；证明VASE@VACD,可得

ZACD=ZABE,即可证明；证明△■D3C=AECB(AS4),即可得出结论.

【详解】解：=

:./ABC=ZACB,

■:若CD=BE,

又BC=CB,

：."CD与ACBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，

因此无法得出NDCB=Z.EBC,故A是假命题，

;若NDCB=NEBC,

：.ZACD=ZABE,

在AABE■和AACD中，

ZACD=NABE

<AB=AC,

ZA=ZA

/.^ABE^ACD(ASA),

：.CD=BE,故B是真命题；

若BD=CE,则=

在AABE和AACD中，

AB=AC

<NA=NA,

AE=AD

：.^ABE^ACD(SAS),

：.ZACD=ZABE,

'：ZABC=ZACB,

：.ZDCB=ZEBC,故C是真命题；

若ZDCB=ZEBC,则在ADBC和.ECB中，

ZABC=ZACB

<BC=BC

ZDCB=ZEBC

:.ADBC与ECB（ASA）,

:.BD=CE,故D是真命题；

故选：A.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫

真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理.

9.（2023・河北・统考中考真题）在AABC和AAEC'中，ZB=NB'=30。,AB=AB'=6,AC=AC=4.已知

ZC=n0,则NC'=（）

A.30°B.n°C.“。或180°—〃°D.30°或150°

【答案】C

【分析】过A作于点过H作ADUB'C'于点次，求得M>=A;D'=3,分两种情况讨论，利

用全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：过A作于点过A，作A'D_L3'C'于点。

VZB=ZB,=30°,AB=AB'=6,

：.AD=AD'=3,

当3、C在点。的两侧，B'、C'在点次的两侧时，如图，

/.R3ACD空R3AC77（HL）,

ZC'=ZC=n°;

当8、C在点。的两侧，B'、C'在点M的同侧时，如图,

:AD=AO'=3,AC=A'C'=4,

：.RtAACZ）^RtAA,C,D,（HL）,

：.ZA'C'D'=ZC=n°,即ZA'C'3'=180°—ZA'C'D'=180°—“°；

综上，/C'的值为w。或180。-77。.

故选：C.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键.

二、填空题

10.（2023•江苏连云港•统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是.（只

填一个即可）

【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）

【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得

5-3<x<5+3,再解即可.

【详解】解：设第三边长为x,由题意得：

5—3Vx<5+3,

则2cx<8,

故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和.

11.（2023•浙江金华・统考中考真题）如图，把两根钢条03的一个端点连在一起，点C,。分别是。4OB

的中点.若CD=4cm,则该工件内槽宽AB的长为cm.

【答案】8

【分析】利用三角形中位线定理即可求解.

【详解】解：；点C,D分别是Q4,03的中点,

・・・CD=-AB,

2

AB=2CD=8（cm）,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键.

12.（2023・新疆・统考中考真题）如图，在AABC中，若AB=AC,AD=BD,/C4D=24。，则NC=

【答案】52

【分析】根据等边对等角得出==再有三角形内角和定理及等量代换求解即可.

【详解】解：：AB=AC,AD=BD,

：.NB=NC,NB=NBAD,

；.NB=NC=NBAD,

•/4+ZC+/R4c=180°,

：.ZB+ZC+/BAD+ZCAD=180°,即3/C+24°=180°,

解得：，C=52。，

故答案为：52.

【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键.

13.（2023.安徽•统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的

计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个

22

结论：如图，AD是锐角的高，则3D=gBC+AB-ACy

BC-J.当AB=7,BC=6,AC=5时，CD=

A

【答案】1

【分析】根据公式求得BD,根据即可求解.

【详解】解：：AB=7,BC=6,AC=5,

BD=1BC+

：.CD=BC-BD=6—5=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键.

14.（2023・浙江•统考中考真题）如图，在AABC中，AC的垂直平分线交8C于点。，交AC于点E,

NB=ZADB.若AB=4,则。C的长是.

【答案】4

【分析】由=可得AD=AB=4,由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC,从而可得。C=AB=4.

【详解】解：=

AD=AB=4,

•/DE是AC的垂直平分线，

:.AD=DC,

：.DC=AB=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的

关键.

15.（2023・湖北随州・统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为AC上一点，

若瓦）是ZABC的角平分线，则AD=

【答案】3

【分析】首先证明8=刀尸，BC=BP=6,设CD=PD=x,在RGADP中，利用勾股定理构建方程即可

解决问题.

【详解】解：如图，过点。作AB的垂线，垂足为P,

AB=VAC2+SC2=V82+62=10>

1/2。是/ABC的角平分线，

Z.CBD=ZPBD,

VZC=ZBPD=90°,BD=BD,

△B£>C^ABDP(AAS),

:.BC=BP=6,CD=PD,

^CD=PD=x,

在RtAAD尸中，VPA=AB-BP=4,AD=8-x,

：.x2+42=(8-x)2,

x=3,

AD=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

16.（2023・湖北十堰•统考中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上,点尸在上，若NE4B=35。,

则NDFC=___________________

【答案】100°

【分析】根据直角三角板的性质，得到NDFE=45。，ZE=ZB=90。，结合/I=N2得到ZEAB=ZBFE=35°,

利用平角的定义计算即可.

【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到/DFE=45。，ZE=ZB=90°,

/1=N2,

NEAB=/BFE=35°,

NDFC=180°-35°-45°=100°.

故答案为：100。.

【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角

形的性质是解题的关键.

17.（2023•浙江杭州•统考中考真题）如图，点。E分别在AABC的边AB,AC上，且5c，点/在线段

BC的延长线上.若NADE=28。，/ACF=118°,则NA=.

【分析】首先根据平行线的性质得到/B=NADE=28。，然后根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】VDE//BC,NA£）E=28。，

二/8=ZAT)E=28°,

:ZACF=118°,

ZA=ZACF-ZB=118°-28°=90°.

故答案为：90°.

【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

18.（2023•湖北荆州・统考中考真题）如图，为Rt^ABC斜边上的中线，E为AC的中点.若AC=8,

CD=5,贝!]£>£1=.

【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出A3,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位线定理即可求解.

【详解】解：：在Rt/VlBC中，8为Rt/XABC斜边上的中线，CD=5,

：.AB=2CD=10,

BC=VAB2-AC2=V102-82=6，

为AC的中点，

/.DE=-BC=3

2

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半是解题的关键.

19.（2023.湖南•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以

小于AC长为半径作弧，分别交于点N；②分别以N为圆心，以大于的长为半径

作弧，在/BAC内两弧交于点。；③作射线AO,交BC于点。.若点。到AB的距离为1,则8的长为

【答案】1

【分析】根据作图可得AD为-CM的角平分线，根据角平分线的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作于点E,依题意£>E=1,

根据作图可知AD为—CM的角平分线，

DCLAC,DELAB

：.CD=DE=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键.

3

20.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,tanB=—，点D为BC上一动点，连接

4

s

AD,将沿AO翻折得到VADE,DE■交AC于点G,GEcZXJ,且AG:CG=3:1,则=______

3三角形ADG

49

【答案】王

【分析】即于点M,ANLDE于点、N,则AM=4V,过点G作GP_LBC于点P,设A〃=12a,

根据tanB=4^=!■得出BM=16a,AB=^AM2+BM2=20a>CG=5a,AG=15a,再利用

BM4

「P3__________

tanC=tanB=—=-,求得GP=3",CP=4“，利用勾股定理求得GNUJAG?-AV?=9a，

EN=4^^^=16a，故EG=EN-GN=1a,

【详解】由折叠的性质可知，04是NBDE的角平分线，AB=AE,用HL证明△ADA/g/WW,从而得

到=设DM=DN=x,贝!]£>G=x+9a,DP=\2a-x,利用勾股定理得到DP?+GP?=OG?即

1975

(12a-x)02+(36/)92=(x+9a9)-,化简得彳=了。，从而得出£>G=]a,利用三角形的面积公式得到：

S三角彩AGE.]EGANEGh7a=49

S三角形ADG-DGANDG—a75

27

作人"，班>于点M,AN_LOE于点N,则AM=4V,

过点G作GPL3c于点P,

A

.♦加的=』,

BM4

设AM=12a,则BW=16a,AB=\lAM2+BM2=20a，

XVAB=AC,AMLBD,

：.CM=AM=12a.AB=AC=20a.ZB=ZC,

：AG:CG=3:1,BPCG=-AC,

4

工CG=5a,AG=15af

Gp3

在RtZXPCG中，CG=5a,tanC=tanB=—=-,

CP4

设GP=3m,则CP=4m,CG=、GP?+CP?=5m

：.m=a

GP=3a,CP=4。，

VAG=15a,AM=AN=12afANIDE,

GN=yjAG2-AN2=9a，

VAB=AE=20a,AN=12a,ANIDE

EN=^AE2-AN2=16a>

，EG=EN-GN=ya,

VAD=AD,AM=AN,AM±BD,ANIDE,

：.AADM^AADAf(HL),

DM=DN,

设DM=DN=x,贝iJPG=£）N+GN=x+9a,DP=CM-CP-DM=16a-4a-x=12a-xf

在RtZkPDG中,DP2+GP2=DG?,即（12〃一%）2+（3aJ=（%+9a）2,

12

化简得：x若a，

.75

・・DG=x+9〃——Q

7

...S三角形AGE£EG-ANEG：7a：49

S三角形ADG-DGANDG—a75

27

49

故答案是：—■

【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等

知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键.

三、解答题

21.（2023•江苏苏州•统考中考真题）如图，在AABC中，43=4<7,4。为“出（？的角平分线.以点A圆心,

AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点及尸，连接。E,D尸.

⑴求证：NADE^IADF；

⑵若ABAC=80°,求NBDE的度数.

【答案】（1）见解析

（2）NBDE=20。

【分析】（1）根据角平分线的定义得出Za4O=NC4£）,由作图可得他=AF,即可证明VADEWATR;

（2）根据角平分线的定义得出ZEW=4O。，由作图得出=则根据三角形内角和定理以及等腰三角

形的性质得出NADE=70。，AD1BC,进而即可求解.

【详解】（1）证明：为AABC的角平分线，

ZBAD=ZCAD,

由作图可得AE=AF，

在VADE和△ADB中,

AE=AF

<NBAD=ZCAD,

AD=AD

NADE^IADF(SAS)；

（2）'：ZBAC=80°,AD为AABC的角平分线，

ZEAD=4QP

由作图可得AE=AD，

，ZADE=10°,

,：AB=AC,AD为44BC的角平分线，

ADIBC,

：.ZBDE=20°

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等

腰三角形的性质与判定是解题的关键.

22.（2023・江西・统考中考真题）（1）计算：^/8+tan450-3°

（2）如图，AB=AD,AC平分—54。.求证：△ABC丝△ADC.

【答案】（1）2

（2）见解析

【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数嘉，再计算加减法即可；

（2）先由角平分线的定义得到/&LC=/ZMC,再利用SAS证明AABC丝△ADC即可.

【详解】解：（1）原式=2+1-1

=2；

（2）：AC平分工54。,

ABACADAC,

在AASC和△ADC中，

AB=AD

<ABAC=ADAC,

AC=AC

：.AABC^AADC（SAS）.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幕，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定

义等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

23.（2023・云南・统考中考真题）如图，C是8。的中点，AB=ED,AC=EC.求证：△ABC四△EDC.

【分析】根据C是8。的中点，得到3C=CD,再利用SSS证明两个三角形全等.

【详解】证明：:C是的中点，

:.BC=CD,

在AASC和△EDC中，

BC=CD

<AB=ED,

AC=EC

:.AAB8AEDC（SSS）

【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键.

24.（2023・四川宜宾・统考中考真题）已知：如图，AB//DE,AB=DE,AF=DC.求证：ZB=ZE.

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质得出然后证明AC=OF,证明△ABC四△OEF（SAS）,根据全等三

角形的性质即可得证.

【详解】证明：

/.ZA=ZD,

,:AF=DC,

：.AF+CF=DC+CF

即AC=DF

在AABC与ADE尸中

AC=DF

<ZA=ZD,

AB=DE

：.AABC^A£>EF（SAS）,

JZB=ZE.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

25.（2023・福建・统考中考真题）如图，OA=OC,OB=OD9ZAOD=ZCOB.求证：AB=CD.

【答案】见解析

【分析】根据已知条件得出NAO5=NCOD,进而证明如会△。短，根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】证明：・.・NAOD=NCO5,

ZAOD-ZBOD=ZCOB-/BOD,

即ZAOB=ZCOD.

在AAQB和中，

OA=OC,

<ZAOB=/COD,

OB=OD,

.△AOBRCOD

AB=CD.

【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，

掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

26.（2023•全国•统考中考真题）如图，点C在线段8。上，在AABC和SEC中，ZA=ND,AB=DE,ZB=ZE.

求证：AC^DC.

【答案】证明见解析

【分析】直接利用ASA证明再根据全等三角形的性质即可证明.

【详解】解：在和ADEC中，

Z=ZD

<AB=DE

NB=NE

：.^ABC丝AD£C（ASA）

AC^DC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

27.（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O,AO=BO,AC〃DB.求证：AC=BD.

【答案】见解析

【分析】要证明AC=BD,只要证明4AOC^ABOD,根据AC//DB可得/A=NB,ZC=ZD,又知AO=BO,

则可得到4AOC^ABOD,从而求得结论.

【详解】（方法一）

,.,AC//DB,

.,.ZA=ZB,ZC=ZD.

在^AOC与4BOD中

VZA=ZB,ZC=ZD,AO=BO,

.•.△AOC^ABOD.

，AC=BD.

（方法二）VAC//DB,

.\ZA=ZB.

在△AOC与ABOD中，

vIAO^BO,

ZAOC=ZBOD

.'.△AOC^ABOD.

/.AC=BD.

28.（2023・山东临沂・统考中考真题）如图，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

O)写出AB与BD的数量关系

(2)延长BC到E,使CE=3C,延长。C到尸，使CF=DC,连接政.求证：EF±AB.

(3)在(2)的条件下，作/ACE1的平分线，交Ab于点求证：AH=FH.

【答案】(1)(夜T)AB=Br>

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)勾股定理求得BC=0AB，结合已知条件即可求解；

(2)根据题意画出图形，证明△(?引汪久砂，得出/E=/D3C=45。，则跖〃3D,即可得证；

(3)延长BA,成交于点延长“交建于点G,根据角平分线以及平行线的性质证明EG=EC,进而

证明AAH8AFHG(AAS),即可得证.

【详解】(1)解：：ZA=9()o,A5=AC

BC=4IAB,

BC=AB+BD

-J1AB=AB+BD

即(亚_1)AB=5O；

(2)证明：如图所示,

A

D

：.ZA=90°,AB=AC

・・・NABCM5。,

*.*BD.LAB,

：.ZDBC=45°

•：CE=BC,Z1=Z2,CF=DC

：.ACBD^ACEF

：.ZE=ZDBC=45°

：.EF//BD

ABLEF

(3)证明：如图所示，延长BA,屈F交于点延长CH交于点G,

M

D

VEF±AB,AC-LAB,

：.ME//AC,

：.NCGE=ZACG

•・•C”是/ACE的角平分线,

・•・ZACG=ZECGf

：./CGE=/ECG

EG=EC

:ACBD^ACEF,

：.EF=BD,CE=CB,

：.EG=CB,

又：BC=AB+BD,

：.EG=AB+BD=AC+EF,

M

FG+EF=AC+EF,

，AC^EG,

又AC〃/G,则/HAG=/HFG,

在AAHCAFHG中，

ZHAG=ZHFG

<NAHG=ZFHG,

AC=FG

AAHC^AFHG(AAS),

；•AH=HF

【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定,

熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

29.(2023・山东聊城・统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，点E是边2C上一点，且