2024-2025学年北京市七年级数学上学期期末专项训练：一元一次方程章节综合（解答题）含答案

2024-2025学年北京市七年级上学期期末数学专项真题训练:

元一次方程章节综合（解答题）

一、解答题

1.（2025北京丰台初一上期末）点P和点A,点3均是数轴上的点，给出如下定义：设点P到点A

的距离为4,点尸到点B的距离为出，若4+虑=左口「%|，则称点P为线段N8的“无倍关联点

A

-5-4-3-2-10123456

___________________1111111A

-10-505101520

备用图

⑴如图，点A所表示的数为-2.

①若线段48=6,点8在点A右侧，点P2,巴表示的数分别为-5,1,6,则点（填“8”,

或“A”）为线段48的“2倍关联点”;

②若原点。为线段的“3倍关联点”，直接写出点B所表示的数；

（2）已知点尸为线段48的“左倍关联点”，若点尸从数轴上-5对应的点出发，以每秒1个单位长度的

速度向右运动，同时点A从数轴上-10对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点8

从数轴上20对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点P运动的时间为心直接

写出当/取何值时k的值最小以及此时的左值.

2.（2025北京丰台初一上期末）由若干个边长为1的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶

点都在格点上，那称这种多边形叫做格点多边形.将格点多边形的面积记为S,边上的格点个数

记为x,内部的格点个数记为y.例如，图1中的格点多边形ABCDE边上的格点个数x=9,内

部的格点个数＞=14.奥地利数学家皮克证明了S,x,y三者之间有确定的数量关系这一结论被

称为“皮克定理”.

①②③④⑤

图1图2

图3图4

(1)由图2得到如下表格:

格点多边

多边形的面积S边上的格点个数X内部的格点个数y

形

①241

②462

③443

765

⑤11.5311

根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的：S,g无，y三者之间的数量关系;

(2)利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积；

(3)在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形：

①格点多边形的面积S为5；

②格点多边形内部的格点个数十为4.

3.(2025北京丰台初一上期末)列方程解决问题：

为响应国家节水政策，北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将5人(含)

以下居民家庭全年用水量划分为三档，2024年阶梯水价收费标准如下：

阶梯户年用水量(单位：立方米)水价(单位：元/立方米)

第一阶梯0—180（含）5

第二阶梯181—260（含）7

第三阶梯260以上9

按照以上阶梯水价标准，回答下列问题：

(1)若小明家2024年用水量为200立方米，则该家庭全年缴费金额为元;

(2)若小华家2024年全年缴费金额为1838元，小华家2024年用水量是多少立方米？

4.(2025北京丰台初一上期末)解方程：与1==+1.

62

5.(2025北京朝阳初一上期末)某数学小组用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验，

过程如下：

(i)如图1,在木杆中间栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆支点，记为点O；

(ii)如图2①，在木杆两端各悬挂一个小物体，木杆左右平衡，支点与木杆右端挂小物体处的

距离为线段CM的长，与木杆左端挂小物体处的距离为线段的长；

(iii)如图2②，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左端挂的小物体下加挂一个小物体，

然后把两个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为

线段的长；

(iv)如图2③，木杆右端仍然只悬挂一个小物体，在木杆左边挂的两个小物体下再加挂一个小

物体，然后把三个小物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的

距离为线段的长；

(v)继续实验，木杆右端始终只悬挂一个小物体，在木杆左边悬挂n个小物体，然后把n个小

物体一起向右移动，直至木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂小物体处的距离为线段的长.

依据实验过程和实验数据，解答问题:

上述实验相关数据的记录如下表：

支点与右端挂小物支点与左边挂小物

左边挂小物体

次数右端挂小物体数体处的距离(单位：体处的距离(单位：

数

cm)cm)

11301OBX=30

21302OB2=15

31303OB3=IO

.......

n130nOBn

4fAA争A

~ogo个

IIgso1

0①②T③

图1图2

⑴。叫=_cm；

（2）小组成员发现，即使改变支点位置，木杆右端悬挂小物体的数量，当木杆左右平衡时，左右悬

挂小物体的数量与支点到左右悬挂小物体处的距离之间的等量关系不变.设木杆长为/cm,支点

在靠近木杆右端的三等分点处，在木杆右端挂3个小物体，支点左边挂m个小物体，并使左右平

衡，支点到木杆左边挂小物体处的距离为xcm,把m,1作为己知数，可以列出关于x的一元一次

方程为;

（3）生活中还有很多问题都符合这个实验所发现的等量关系，例如将相同体积的水倒入两个底面积

不同的圆柱形容器（厚度忽略不计）时，两个容器的水面高度与两个容器底面积之间的关系.现

有1号，2号两个圆柱形容器，记1号底面积为Sicn?,水面高度为4cm,2号底面积为52cm。

水面高度为%cm,已知S]:$2=4:5.

①当这两个容器中水的体积相同时，九：为的值为；

②这两个容器中都有720cm-的水，将1号中的部分水倒入2号中，当两个容器的水面高度相同时，

求1号倒入2号中的水的体积.

6.（2025北京朝阳初一上期末）数轴上有两个点A,B,它们表示的数分别是-6,8.P,Q,M

是数轴上三个动点，沿数轴向某一方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每

秒1个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度.

⑴点P,Q分别从点A,B同时出发，都向正方向运动.

①运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为（用含t的代数式表示）；

②当P,Q两点相距3个单位长度时，直接写出此时t的值.

⑵点P,Q,M同时开始运动，点P从点A出发向正方向运动，点Q从点B出发向负方向运动.点

M从原点O出发先向负方向运动，与点P重合后立刻向正方向运动，与点Q重合后立刻向负方向

运动，再次与点P重合后立刻向正方向运动，，当点P,M,Q重合时，运动停止.在运动

过程中，这三个点的速度保持不变，点P,Q的运动方向保持不变.

①当运动停止时，直接写出点P表示的数；

②在整个过程中，点M运动的路程为个单位长度.

7.（2025北京朝阳初一上期末）列方程解答下面的问题.

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一.《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；

二人共车，九人步.问人与车各几何？”

译文：“今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？”

Oy1丫一5

8.（2025北京朝阳初一上期末）解方程：合一-2=三.

9.（2025北京海淀初一上期末）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a,b,a+b

与I。一4两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”.

⑴2,3,5“好数组”，1,2,3,5“好数组”（填“是"或‘不是”）；

（2）若2,4,8,x是“好数组”，求出x的所有可能值;

(3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”.

10.(2025北京海淀初一上期末)如果关于x的一元一次方程的解为=。是整数，则称该方程为“整

。”方程；如果不是整数，则称为“分方程.例如方程2》-1=3是“整2”方程，方程3x+3=2是，分

-1”方程.按此定义解答下列问题：

(1)方程3x-2=—6—5x是方程；

(2)已知左为整数，试判断关于％的方程左(x+5)=3x-2是否可能是“整3”方程，并说明理由；

(3)若关于尤的方程mx+〃=px+g(优wp)是，分”方程，则关于x的方程仆-1加=/-是

_______方程.

11.(2025北京海淀初一上期末)长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康.周六早上

小健和小乐相约去奥森跑步.小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻

手表显示信息分别如图1和图2所示.小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森

远1.2公里，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，

最终小乐与小健在同一时刻到达奥森.求小健步行的平均速度和平均步长.

图1图2

12.(2025北京海淀初一上期末)解下列方程：

(l)3x-3=x+l；

x+11

(2)——=——%.

♦32

13.(2025北京海淀初一上期末)对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a,b,a+b

与|。一4两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”.

(1)2,3,5“好数组”，1,2,3,5“好数组”；(填“是”或“不是”)

(2)若2,4,8,x是“好数组”，求出x的所有可能值；

(3)若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组此间为选作题，

共3分，可计入总分，但全卷不超过100分)

14.(2025北京海淀初一上期末)如果关于x的一元一次方程的解x是整数，则称该方程为“整

a”方程；如果不是整数，则称为“分方程.例如方程2x-l=3是“整2”方程，方程3x+3=2是，分

-；”方程.按此定义解答下列问题：

⑴方程3x-2=-6-5x是方程；

(2)已知人为整数，试判断关于x的方程《(x+5)=3x-2是否可能是“整3”方程，并说明理由;

⑶若关于x的方程加x+〃=px+q(加是“分^方程，则关于x的方程"X-；加=qx-；p是

_______方程.

15.(2025北京海淀初一上期末)解下列方程：

(l)3x-3=x+1；

/、x+11

(2)------=—x.

''32

16.(2025北京通州初一上期末)对于数轴上A,B,。三点，给出如下定义：若其中一个点与

其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍长点”.例如，数轴上

点A,B,C所表示的有理数分别为0,2,3,此时点5是点A,。的“倍长点”.

ABC

―।------1——i——।——i——i——।------

-2-1012345

⑴数轴上点尸表示的有理数为-1,点。表示的有理数为3,下列各数-2,0,4,7所对应的

点分别为D,E,F,M,N,其中是点P,。的“倍长点”的是____;

(2)数轴上点A表示的有理数为。，点B表示的有理数为。+5,点T是数轴上的一个动点，对应的

有理数用1表示.若且点A,B,T中有一个点恰好是其他两个点的“倍长点”，则满足条件

的t的值有个；

(3)在(2)中，若。为整数，则满足条件的整数t的值是(用含有。的代数式表示).

17.(2025北京通州初一上期末)七年级一班和二班两个班的同学到某公园开展社会大课堂活动,

公园门票每人40元，超过40人可以购买团体票.每班的学生人数都超过40人.公园购票处张贴

着团体优惠购票的方案表格如下.

团体票购票价格一览表

人数优惠方

40人以上

案

方案一八折优惠(80%)

5人免票，其他人九折

方案二

优惠

(1)一班有55名学生，他该选择哪个方案更省钱，说明理由；

(2)二班无论选择哪种方案付的钱是一样多，求二班有多少人.

18.(2025北京通州初一上期末)解方程：

(1)3x+1)=4；

19.（2025北京燕山初一上期末）对于数轴上的点P进行如下操作：将点P表示的数乘以3,再加

上腔所得数对应的点为。，则称点。为点P的“上位移点”.例如，如图，若点尸表示的数为1,

1x3+2=5,则数5对应的点。为点尸的“2位移点”.

Illi11111P11111Q111A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

（1）数轴上，点A,B,C的“-2位移点”分别为H,B',C.

①若点A表示的数为2,且AB=3,则点H表示的数为，点夕表示的数为；

②若点C'与点C重合，求点C表示的数；

（2）数轴上，点M表示的数为3,原点。与点M的“左位移点”分别为O',M'.当线段与线段

重叠部分的长度为2时，直接写出左的值.

20.（2025北京燕山初一上期末）为了加力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需

要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京

市居民购买电视、冰箱、洗衣机等8大类家电，给予以旧换新补贴.购置一级能效（水效）家电,

按照新购电器售价的20%给予补贴；购置二级能效（水效）家电，按照新购电器售价的15%给予

补贴.每位消费者每类产品可补贴1件，每件补贴金额不超过2000元.活动期间，小刘购买了一

台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴1460元，已知电视机的售价比

冰箱售价的2倍还多400元.求电视机和冰箱的售价各是多少元？

22.（2025北京燕山初一上期末）解方程：

（1）6x+7=5；

（2）5X3_X+1=1_

22.（2025北京昌平初一上期末）对于数轴上三个不同的点A,B,C,给出如下定义：在线段

AB,BC,C4中，若其中有两条线段相等，则称A,B,C三点是“均衡点”.

⑴点A表示的数是-2,点B表示的数是1,点C表示的数是3,

①A,B,C三点（填“是”或“不是”）“均衡点”；

②点M表示的数是m,且B,C,M三点是“均衡点"，则机=；

⑵点D表示的数是x,点E表示的数是n,线段E尸=a（a为正整数），线段。£=6,若D,E,F

三点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程《%+》=劭的解为整数，求n的最小值.

23.（2025北京昌平初一上期末）阅读材料：对于任意有理数a,b,规定一种特别的运算“㊉”：

a㊉b=a-6+a6.例如，205=2-5+2x5=7.

⑴求3㊉（-1）的值；

⑵若（-4）㊉x=6,求x的值；

（3）试探究这种特别的运算“㊉”是否具有交换律?

24.（2025北京昌平初一上期末）某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念

品.现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比

乙工厂多用5天完成.已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件.

（1）求这批纪念品共有多少件？

（2）该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品.在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支

付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是

1000元.求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和.

25.（2025北京昌平初一上期末）某公司销售A,B,C三种产品，在去年的销售中，高新产品C

的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响，今年A,B两种产品的销售金额

都将比去年减少20%,因而高新产品C是今年销售的重点.如果要使今年的总销售金额与去年持

平，求今年高新产品C的销售金额应比去年增加的百分比.

26.（2025北京昌平初一上期末）小明家打算靠墙修建一个长方形的养鸡场（靠墙一边作为长，

墙长14米），另三边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小明的妈

妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少平

方米？

27.（2025北京昌平初一上期末）列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿

服务活动.为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式.已知

参加志愿服务活动的教师和学生共30人;其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人,

问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？

答案

1.⑴①<；②点3所表示的数为-1或1或-4或4；

⑵当"5或"三25时，上的最小值1

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离公式，解题的关键是理解题中的新定义.

(1)①先求出点3表示的数为4,再根据“左倍关联点”的定义逐一判断即可；②设点8所表示的

数为x,进而得到4=2,4=国，根据4+〃2=3|4-蜀，列方程即可求解；

(2)经过t秒后，点P表示的数为-5+f,点A表示的数为-10+2乙点B表示的数为20-2乙则

4=|5-/&=伊-25],根据“左倍关联点”可推出k=曰/=卜7支工时，即可求解.

【详解】(1)解：①•・•点A所表示的数为-2,线段/B=6,点8在点A右侧，

.1点8表示的数为6-2=4,

点4表示的数为-5,

贝!j4=-2-5)=3,d2=4—(—5)=9,

4+4=3+9=12,1^—6?2|=|3—9|=6,

4+d2=2-d?|,

・••点4为线段AB的“2倍关联点”；

点鸟表示的数为1,

贝I」4=1-2)=3,d2=4—1=3,

dx+d2=3+3=6,1^—<72|=|3—3|=0,

4+d?w214-d?|,

故点P2不是线段AB的“2倍关联点”；

巴表示的数为6,

贝I」4=6-2)=8,d2=6—4=2,

4+d?=8+2=10,-=18-2|=6,

4+d?W2-d?|，

故点P.不是线段AB的“2倍关联点'

故不

②设点3所表示的数为工,

V原点。为线段AB的“3倍关联点”，点A所表示的数为-2,

4=0—(―2)—2,4二,-。|=,4+d2=3q-d2|

4+d2=2+国，〔4-&|=12-国|,

/.2+|x|=3|2-|x||,

解得：工=±1或不=±4,

・・•点5所表示的数为-1或1或-4或4；

（2）经过，秒后，点尸表示的数为-5+方，点A表示的数为-10+2%,点5表示的数为20-2才,

4=|—5+/-（-10+2%）|=|5-,d2—1—5+/-（20-2/）|=|3^—25|,

di+d?-kW]_6?21,

.571

,,|42|||5-z-|3/-25||）

;女21,

左的最小值为1,

当（5—。（3/-25）=0时，k=l,

解得：/=5或/=?25,

.•.当/=5或/=个25时，上的最小值1.

2.（\）S=-x+y-1

（2）11.5

（3）见解析，答案不唯一

【分析】本题考查了规律探究，代数式求值，解一元一次方程；

（1）根据表格数据得到规律，即可求解；

（2）根据“皮克定理”进行计算即可求解；

（3）根据“皮克定理”得出S为5,y为4,贝鼠=4,根据与画出图形，即可求解.

4

【详解】（1）解：V2=-+l-l

2

.6八,

4=-+2-1

2

4=-+3-1

2

7=9+5-1

2

3

11.5=-+11-1

2

二•S,—X,y三者之间的数量关系：S=-x+y-1

（2）解：•图3中格点多边形的中，x=13,y=6

113

.\5'=-x+y-l=—+6-1=11.5

22

二图3中格点多边形的面积为11.5

图3

(3),.,S=5j=4,

5=—x+4—1,贝(]x=4

2

（2）302立方米

【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

（1）根据题中的收费标准计算；

（2）根据“小华家2024年水费为1838元”列方程求解.

【详解】（1）解：180x5+7x（200-180）=1040（元），

故1040；

（2）解：设小华家年用水量为x立方米，

•.•180x5+7x（260-180）=1460<1838,

x>260,

则：180x5+7x（260-180）+9（x-260）=1838,

解得：x=302,

答：小华家年用水量为302立方米.

4.x=—13

【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法.根据去分母，去

括号，合并同类项，化系数为1,即可求解.

【详解】解：刍」==+1

62

2.x-l=3(x+2)+6

2x—1—3x+6+6

2x-3x=6+6+1

-x=13

x=-13

5.(1)3.75

(2)mx=I

⑶①5:4,②80cm3

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，数字规律等.

(1)根据题意可知规律为。纥='em,继而得到本题答案；

n

(2)根据题意得：右端挂小物体数x支点与右端挂小物体处的距离=左端挂小物体数x支点与左

端挂小物体处的距离，继而得到“x=3x?；

h,S,5

(3)①两个容器中水的体积相同，即得，也，继而得到,=h=7；②设1号容器倒入

用234

.720-y720+y

2号容器中的水的体积为”n?,列式=计算即可得到本题答案.

303030

【详解】(1)解：,**OBX=30cm=—cm,OB2=15cm=—cm,OB3=10cm=—cm,.......

C>S=—=—cm,

884

故3.75；

(2)解：根据题意得：

右端挂小物体数x支点与右端挂小物体处的距离=左端挂小物体数x支点与左端挂小物体处的距

离，

:支点在靠近木杆右端的三等分点处，

•••支点与右端挂小物体处的距离为:/cm,

mx=3x—/,即：mx-1,

故加X=/;

(3)解：①•・•两个容器中水的体积相同，

；・S1kl=S2h2,

VS1:S2=4:5,

.A]_S2_5

故5:4；

②设1号容器倒入2号容器中的水的体积为yen?,

.720-y720+y

'S1=与，

511:S2=4:5,

：.S2=|Sj,

720—y720+y

：.~S~=^T~,整理得：5(720-月=4(720+y),

9y=720,即：y=80,

Al号倒入2号中的水的体积为80cmM

6.⑴①-6+21,8+t；②11或17

„14„70

⑵①7,②刀

°3

【分析】本题考查数轴上动点问题，代数式表示式，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于

熟练掌握相关知识.

(1)①结合题意利用代数式表示即可；

②根据P,Q两点相距3个单位长度，分情况建立等式求解，即可解题；

(2)①根据题意表示出点P与点Q表示的数，结合当点P,M,Q重合时，运动停止，建立方程

求解，即可解题；

②根据路程=时间x速度求解，即可解题.

【详解】(1)解：①因为数轴上有两个点A,B,它们表示的数分别是-6,8.

所以运动t秒后，点P表示的数为-6+2^,点Q表示的数为8+%，

故—6+2t,8+t.

②因为P,Q两点相距3个单位长度，

所以—6+2/—(8+/)=3或8+/—(―6+2/)=3,

解得"17或t=ll；

(2)解：①因为当点P,M,Q重合时，运动停止.

且点P表示的数为-6+2小点Q表示的数为8-f,

所以—6+2/=8—Z,

14

解得'=了；

②因为点M的速度是每秒5个单位长度，

所以在整个过程中，点M运动的路程为?14x5=7；0个单位长度.

33

JO

故一.

3

7.共有39人，15辆车

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键.

设共有x人，根据车的辆数不变列出方程解答即可.

【详解】解：设共有x人，

由题意，得。

32

解得尤=39,

所以：+2=15,

答：共有39人，15辆车.

1

8.x=一

2

【分析】本题考查解一元一次方程.根据解一元一次方程方法（去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化1）求解，即可解题.

【详解】解：了-2=—

去分母得3（2x+l）-24=4—5）,

去括号得6x+3-24=4尤-20,

移项得6x-4x=-20+24-3,

合并同类项得2x=l,

系数化1得》==.

9.（1）是；不是

⑵x=6

（3）见解析

【分析】（1）根据新定义分析，分别求两数的和以及两数的绝对值的差，判断其结果在不在这组

数中，即可求解；

（2）根据题意将4个数列表，得出的所有可能，根据新定义进行判断，列出方程，即可求解.

（3）根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好

数组”，设这5个数分别为。,2a,3a,4a,5%。为正整数，根据新定义进行检验，最后分别当

a,2a,3a,4a,5。为2025时,求得这组数，即可求解.

【详解】（1）解：：在2,3,5中，对于2,3,2+3=5在2,3,5这组数中

对于3,5；|5-3|=2在2,3,5这组数中

对于2,5,|5-2|=3在2,3,5这组数中

在1,2,3,5中，对于1,5；1+5=6,|5-1卜4都不在1,2,3,5中

：.1,2,3,5不是“好数组”

故是，不是.

（2）解：在2,4,8,x中

V|4-2|=2,|8-4|=4

：.2,4,8是“好数组”

将2,4,8,x两两组合，列表如下，

248x为正数

22或610或62+x或|2-x|

44或12（舍去）4+x或4-x|

88+十或8-x

X

2+x=2或4或8或尤

解得：x=0（舍去）或2（重复，舍去）或6

|2-x|=2,或4或8或x

解得：x=0（舍去）或6

4+尤或|4-X|=2,或4或8或x

解得：x=6（不合题意都舍去）

8+x或|8一司=2,或4或8或x

解得：x=6（不合题意都舍去）

综上所述，x=6

（3）根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好

数组”

若含2025的5个正有理数是“好数组”，设这5个数分别为。,2a,3a,4a,5a,。为正整数，

对于a,2a,2a-a=a在a,2a,3a,4a,5a中，同理对于2a,3a；3a,4a；4a,5a,在a,2a,3a,4a,5a中，

对于a,3a,34-°=24在。,2。,3。,40,517中，同理对于2a,4a；3a,5a；在。,2a,3a,4a,5a中，

对于a,4a,4a-a=3a在。,2a,3a,4a,5a中，同理对于2a,5a,在a,2a,3a,4a,5a中,

对于。,5a,5。-。=40在。,2。,3。,4。,5。中,

a,2a,3a,4a,5a是“好数组”是“好数组”是“好数组”是“好数组”

如果5a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为405、810、1215、1620、2025;

如果4a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为506.25、10125、1518.75>2025、2531.25:

如果3a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为675、1350、2025、2700、3375:

如果2a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为1012.5、2025、3037.5、4050、5062.5:

如果a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为2025、4050、6075、8100、10125.

本题考查了代数式求值，规律探究，解一元一次方程，找到规律是解题的关键.

io.⑴“分

⑵不可能，理由见解析

（3）“整-675”

【分析】（1）求出方程的解，再根据定义判断即可；

（2）把x=3代入方程，求出左值即可判断；

（3）由“分而黑”方程可得〃-4=二启（？-加），再把所解方程转化为=代

乙UJ4U4JJ

入计算即可求解；

本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键.

【详解】（1）解：：3x-2=-6-5x,

・・3x+5x——6+2,

8x=—4,

.・％—,

2

/.方程3x-2=-6-5x是“分-L方程，

2

故‘分一：”；

2

（2）解：不可能，理由如下：

当方程是“整3”方程时，x=3,

把x=3代入方程得，8k=9—2,

7

解得左二三，

O

・・•左为整数，

・,・关于》的方程左（X+5）=3x—2不能是“整3'方程；

（3）解：•・•关于1的方程加工+〃=加+夕（加，p）是“分^方程,

1

2025

11

m+n=p+q，

20252025

ii

n-q=-------p----------m

20252025

:•n-q=---(p-m\,

2025v)

•••方程〃x——m=qx----p,

.,.nx-qx=—1m----1p,

33

尤=一；(p一加)，

：.^p-m)X=-^p-my

Ax=-675,

:.方程nx-m=qx-gp是“整-675”方程,

故“整-675”.

11.小健步行的平均速度为80米/分，平均步长为0.8米

【分析】本题考查了一元一次方程的应用.直接利用小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度

的3倍，进而得出等式求出答案.

【详解】解：设小健步行的平均速度为x米/分.

根据题意得15x+1200=（15-5）x3x,

解得x=80,

小健一共步行2043-543=1500（步），其平均步长为石限=0.8（米）.

答：小健步行的平均速度为80米/分，平均步长为0.8米.

12.（l）x=2

1

⑵x-

【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键.

（1）根据移项、合并同类项，系数化为1,求出未知数的值即可；

(2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1,求出未知数的值即可.

【详解】⑴解：3x-3=x+l

移项，得，3x-x=3+1

合并同类项，得，2x=4,

系数化为1,得：x=2；

/、GX+l1

(2)斛：——=--x,

32

去分母，得，2(x+l)=3-6x,

去括号，得，2x+2=3-6x,

移项得，2x+6x=3-2,

合并同类项得，8x=l,

系数化为1,得：x=l

O

13.(1)是，不是；

⑵x的值为6；

(3)405、810、1215、1620、2025；506.25、1012.5、1518.75、2025、2531.25；675、1350、

2025、2700、3375；1012.5、2025、3037.5、4050、5062.5；2025、4050、6075、8100,10125.

【分析】本题考查了新定义下的数字规律，绝对值的意义，有理数的加减法，一元一次方程的应

用等知识，掌握相关知识是解题的关键.

(1)根据“好数组”的定义判断即可；

(2)根据“好数组”的定义和一元一次方程求解即可；

(3)根据“好数组”的定义，由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成“，2a,3a,4a,

5a(。是正有理数)，即可求解.

【详解】(1)解：在2,3,5中，

对于2,3,2+3=5,5在这组数中，

对于2,5,|5-2|=3,3在这组数中，

对于3,5,|5-3|=2,2在这组数中，

：.2,3,5这组有理数是“好数组”,

在1,2,3,5中，

对于1,5,1+5=6,|5-1|=4,6和4都不在这组数中，

：.1,2,3,5不是“好数组”，

故是，不是；

(2)解：在2,4,8,x中，

：|4一2|=2,|8-4|=4,2和4已经在这组数中，

因此，只需分析2、x,4、尤以及8,x,

①x+2=4或2+x=8或|2一司=2或|2-乂=4或|2一1=8或|2-x|=x,

解得：x=0（舍去）或4（舍去）或2（舍去）或6或-2（舍去）或-6（舍去）或10或1,

②4+x=2或4+x=8或|4-x|=2或|4-司=4或|4-x|=8或|4-x|=x,

解得：尤=-2（舍去）或4（舍去）或2（舍去）或6或0（舍去）或8（舍去）或-4（舍去）或12或2（舍去）;

③8+尤=2或8+x=4或|8_x|=2或18rl=4或|8-x|=8或|8_x|=x,

解得：尤=-6（舍去）或-4（舍去）或6或10或4（舍去）或12或0（舍去）或16或4（舍去），

综上，x的值可能为1或6或10或12或16,

经检验，

当x=l时，对于1,4,1+4=5和|1-4|=3均不在这个数组中，与已知矛盾；

当x=10时，对于4,10,4+10=14和|4-10|=6均不在这个数组中，与己知矛盾；

当尤=12时，对于2,12,2+12=14和|2-12|=10均不在这个数组中，与已知矛盾;

当x=16时，对于4,16,4+16=20或|4-16|=12均不在这个数组中，与已知矛盾,

当x=6时，任意两个数的和或差的绝对值都在2,4,6,8这个数组中,

：.2,4,6,8是“好数组”，

x的值为6；

（3）解：由（2）的解析过程，大胆猜想：由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成

2a,3a,4a,5a（。是正有理数），

如果5a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为：405、810、1215、1620、2025；

如果4a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为506.25、1012.5、1518.75、2025、2531.25；

如果3“=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为675、1350、2025、2700、3375；

如果2a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为1012.5、2025、3037.5、4050、5062.5；

如果a=2025,这五个正有理数组成的“好数组”为2025、4050、6075、8100、10125.

14.⑴“分-g”

⑵关于x的方程M尤+5）=3尤-2不可能是“整3”方程，理由见解析

（3）“整一675”

【分析】本题考查一元一次方程得解及解一元一次方程，正确理解“整a”方程和“分。”方程的定义,

熟练掌握解一元一次方程得方法是解题关键.

（1）先解方程，求出x的值，根据“整a”方程和“分。”方程的定义判断即可得答案；

（2）把、=3代入左（x+5）=3x-2,求出左值，根据左为整数判断即可得答案；

（3）把％=---代入+〃+W夕），得出一--（m-p）=q-n,^\nx--m=qx--p,

根据m丰q即可求出x的值，根据“整a”方程和“分a”方程的定义判断即可得答案.

【详解】(1)解：3x-2=-6-5x

移项、合并得：8x=-4,

解得：X=-1,

不是整数，

2

，方程3尤-2=-6-5尤是“分方程.

2

故“分

2

(2)解：关于x的方程Mx+5)=3x-2是不可能是“整3”方程，理由如下:

VA:(x+5)=3x-2,

・••当x=3时，8左=7,

解得：左=(7,

O

:左为整数，

••・关于X的方程Mx+5)=3x-2不可能是“整3”方程.

(3)解：：关于x的方程加x+“=px+4(wwp)是“分水总”方程，

mx+n=px+q(mwp)的解为x=---,

•.1・(z—T))—q—〃，

2025

Vnx-^m=qx-

(n-q)x=；(加-p)

.・-----(m-p)x=—(m-p)

20253

•:m不p,

•,•----1-x=_—1，

20253

解得：x=-675,

...关于X的方程“X-=qx-是，整-675”方程.

故“整-675”

15.(l)x=2

⑵

【分析】本题主要考查了解一元一次方程.

(1)移项，合并同类项，化系数为1求解即可.

(2)去分母，移项，合并同类项，化系数为1求解即可.

【详解】⑴解：3x-3=x+l

3x-x=l+3

2x=4

x=2

/八5x+11

(2)斛：——=--x

32

2(x+l)=3-6%

2x+2=3-6%

2x+6x=3-2

8x=l

_1

x—

8

16.(1)F,N

(2)6

(3)。+10或a+15

【分析】此题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离.

(1)根据数轴上两点距离计算公式分别求出点P和点Q到。，E,F,M,N5个点的距离，

再根据“倍长点”的定义判断即可；

(2)先求出BT=\a+5-t\,AB=5,再分当A是B、T的“倍长点”时，当B是A、

T的“倍长点”时，当T是A、B的“倍长点”时，三种情况根据“倍长点”的定义建立方程求解即可;

(3)由(3)即可得到满足条件的整数f的值.

【详解】(1)解：由题意得，「。=一1一(一2)=1,。0=3-(-2)=5,尸£=0-(-1)=1,

2£=3-0=3,^-1-(-1)=1,^=3-1=|,^=4-(-1)=：5,

QM=4-3=1,PN=QN=1-3=4,

：.2PF=QF,PN=2QN,

；.F,N是点P,Q的“倍长点”，

故F,N；

（2）解：由题意得，AT=t—a9BT=|«+5—z|,AB=5,

当A是B、T的“倍长点''时，则=或力T=2Z5,

2（%-Q）=5或％—q=10,

5八

・•./=—+Q或，=4+10;

2

当B是A、T的“倍长点”时，则48=257或5T=2/8,

2,+5-4=5,+5-4=10,

.\a+5-t=±—^a+5-t=±10,

2

.,./=。+9或，=Q+"或%=4+15或，=。-5（舍去）；

22

当T是A、B的“倍长点”时，则/T=2BT或=

2（t-Q）—|tz+5-4t-a—2|tz+5-z|,

a+5—t—±2-Q）t—ci-±2（a+5-1）,

t=a+-^t=a-5（舍去）或/=a+W或/=q+io,

33

综上所述，£=9+Q或，=4+10或，="+”或，=〃+15或，=4+9或，=4+3，

2233

・・.t的值一共有6个；

故6