2024-2025学年北师大版七年级数学下册 第二章 平行线与相交线 单元检测卷A

北师大2024版数学七年级下册单元检测卷A

第二章平行线与相交线

考试范围：北师大2024版第二章

（考试时间：120分钟总分：120分）

题号一二三总分

得分

一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）

1.若一个角的余角是42。，则这个角的度数是（）

A.38°B.48°C.58°D.138°

A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

D.在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行

4.如图1,两根木条b分别与木条c钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条6和

c,顺时针转动木条。，使a让（如图2）,图1中Nl=95。，?270?.木条。至少转动的

角度为（）

5.如图，直线。〃瓦/1=40°,则N2的度数是（）

6.如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得ZAC£>=100。，ZBCE=36°,

CD与地面平行，则/CG5=（）

7.如图，两块平面镜的夹角/。=。（0°<0<90。），两条平行光线和CO分别射到两块平

面镜上，它们的反射光线3E的反向延长线与D尸的反向延长线的夹角NEP产=（z,则。的度

数是（）

12

A.—〃B.—GrC.a-90°D.1800-a

23

8.如图，在四边形ABCD中,点E在边AD的延长线上，添加下列条件能判断AB//CD的

是（）

Br

A7

ADE

A./3=/4B.N1=N2

C.ZADB=ZCDED.ZA+ZABC=180°

试卷第2页，共8页

9.如图，直线a〃方，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放.若/1=57。，则/2的度

数为（）

10.综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动.已知

AB//CD,B尸为的平分线.。/为NCDE的平分线，8尸和。尸相交于点F.若

/E+8NM=360。，ZABM=-ZEBF,请写出NCDM和NMD尸间的数量关系（）

A.ZMDF=2NCDMB.ZMDF=3ZCDM

C.NMDF=4NCDMD.ZMDF=5ZCDM

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

11.如果一个角的补角是130。，那么这个角的余角是.

12.如图，已知在直线外有一点C,用“推三角板”的方法，经过点C作直线，则所作直

线与直线A3平行，这种画法的依据是.

13.如图，AB//CD,ZDCE的角平分线CG的反向延长线和NABE的角平分线正交于点F,

ZF=40°,贝|NE=.

AB

/

G

D

F

14.如图是从电动伸缩门抽象出的局部示意图，聿AB〃CD,AD〃BC,4=65。，则N2的

度数为.

A

/-■D

C

15.如图，8。平分/ABC,ED//BC,Z1=25°,贝!jN2+N3=

16.已知直线AB,CD相交于点0,OE平分ZAOC,射线_LCD于点。，且NBO尸=40。,

则NCOE=

三、解答题(本题满分72分，共有9道小题)

17.(本题6分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点

称为格点.点A、点8、点C均在格点上，只用无刻度的直尺，在

给定的网格中按下述要求画图.

(1)画直线AB；

(2)画线段AGBC；

(3)过点C画直线A8的垂线，垂足为。；

(4)在线段AC,BC,CD中，最短的线段为,依据为

18.(本题6分)完成下列证明：

已知：ZB+ZCDE=180°,Z1=Z2,求证：AB//CD.

证明：；N1=(),

XVZ1=Z2(已知)，

/.ZBFD=Z2(等式的基本事实)

ABC//().

ZC+=180°().

又：N3+NCDE=180°(已知)，

.-.ZB=ZC().

AB//CD().

试卷第4页，共8页

19.（本题6分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）.

中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图（1）是一个“互”字，如图（2）是

由图（1）抽象出的几何图形，其中AB〃CE>,点E,M,尸在同一条直线上，点G,N,H

在同一条直线上，S.ZAEF=ZDHG,MG//FN.求证：ZEFN=NG.

互

图⑴图（2）

证明：如图(2),延长交C。于点P.

VAB//CD(已知)，

；.ZAEF=NEPD().

又•：ZAEF=ZDHG(已知)，

•••ZEPD=().

EP//GH().

ZEFN+=180°().

又：(已知)，

AZ/WG+ZG=180°().

ZEFN=ZG().

20.（本题6分）如图，直线48,。相交于点0,£0,00.

（1）若/8OD=35。，求NAOE的度数；

（2）若NBOD.NEOB=1:2,求NAOE的度数.

AB

O

D

21.（本题6分）【问题情境】如图，AM//BF//CN,连接AB,8C,AB_L,垂足为点B.

【问题解决】（1）如图1,若NC=40。，则NS4M的度数为.

【问题拓展】（2）如图2,过点8作叨，AM,交他4的延长线于点。，请说明NABD与NC

的数量关系;

(3)如图3,在（2）问的条件下,BE平分/DBC交AM于点E,若NC=NDEB,求ZDEB

的度数.

图3

22.（本题8分）如图，点。，E分别在AB,AC上，且小〃BC,ZAC3的平分线CP交

DE于点、G,点、N在BC上,连接NG并延长交48于点连接㈤0,ZEGC=ZAEM.

⑴求证：EM//CF；

（2）若NACB=64。，求/EMN的度数.

试卷第6页，共8页

23.（本题10分）问题：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角有什么数

量关系？探究：

（1）如图（1）,AB//CD,AE//CF,探究—A与NC的关系为.

（2）如图（2）,AB//DC,AE//CF,猜想NA与—C的关系，并说明理由；

结论：请用一句话概括上面得到的结论：.

运用：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30。，

求这两个角分别是多少度？

24.（本题12分）如图.已知AB〃CD,直线MN分别交AB,CD于点E、F.

⑴如图1,点P为直线A3、C£＞之间，直线右侧一点，且满足=

ZEFP=2ZPFD.求NEP厂的大小:

⑵如图2,在（1）的条件下，射线EG交尸尸的延长线于点G,若NPFD=2NFGE,求证:

EG平分NAEF；

⑶如图3,在（1）的条件下，点“为直线CD上一点（不与点尸重合），NFEH内靠近EH

的三等分线£7交于点/,若/PEI=a,直接写出/EHF的大小.（用含。的式子表示）

25.(本题12分)“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁

路两旁安置了两座可旋转探照灯.探照灯A3发出的光束可分别看作射线AM和射线BP,

己知铁路两边是平行的(即为2〃),且NBAM:NBAN=2:1.如图，灯A光束从射线AM

开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B光束从3P开始顺时针旋转至8。便立即回转，两

灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度.

【问题提出】

(1)填空：NBAN=.

【问题解决】

(2)若灯B的光束射线8P先转动15秒，灯A的光束射线A"才开始转动，在灯B的光束

射线到达8。之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

试卷第8页，共8页

《北师大2024版数学七年级下册单元检测卷A》参考答案

题号12345678910

答案BBDACCABCB

1.B

【分析】本题主要考查余角，解题关键是熟练掌握互为余角的定义.

根据两个角的和是90。，那么这两个角是互为余角，列出算式进行计算即可.

【详解】解：：一个角的余角度数是42。，

，这个角的度数为：90°-42°=48°,

故选：B.

2.B

【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义判

断即可，

【详解】解：A选项，N1与N2是对顶角，不是同位角，故该选项不符合题意；

B选项，/I与/2是同位角，故该选项符合题意；

C选项，N1与/2是内错角，不是同位角，故该选项不符合题意；

D选项，/I与N2是同旁内角，不是同位角，故该选项不符合题意；

故选：B.

3.D

【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根

据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求

解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选

项说法错误，不符合题意；

B、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合

题意；

C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符

合题意；

D、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法

正确，符合题意；

故选：D.

答案第1页，共19页

4.A

【分析】本题考查了平行线的性质.根据两直线平行，同位角相等得出当4=N2=70。时,

a//b,结合题意即可求解.

【详解】解：若则Nl=/2,

:固定木条6和c,顺时针转动木条。，

即当/1=/2=70。时，al/b.

此时木条。顺时针转动95。-70。=25。.

故选：A.

5.C

【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出/3+/2=180。.

由平行线的性质推出N3+/2=180。，再由对顶角相等得出Nl=N3=40。即可求出N2的度

数.

【详解】解：〃上4=40。，

-.•Zl=Z3=40°,

.-.Z2=140°

故选：C.

6.C

【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，掌握两直线平行、内错角相

等成为解题的关键.

由平角的定义可得NECD=44。，再根据平行线的性质即可解答.

【详解】解：如图：：/ACD=100°,ZBCE=36°,

ZECD=180°-ZACD-ZBCE=44°,

1/8与地面平行，

ZCGF=ZECD=44°.

故选：C.

7.A

答案第2页，共19页

【分析】本题考查平行线的性质，过P作PQ〃A8,得到PQ〃8，推出？£尸。?ABP,

?FPQ1CDP,得到？EPF2ABp?CDP,同理：?MON?ABO1CDO,由光的反射

定律和对顶角的性质得到？ABO?EBM,?OBP1EBM,推出

NMON=g(NABP+NCDP)=；NEPF,得至l]“=ga.

【详解】解：过尸作尸。〃A8,

•/AB//CD,

：.PQ//CD,

/.?EPQ1ABP,1FPQ?CDP,

?EPQ?FPQ?ABP?CDP,

Z.?EPF1ABP?CDP,

同理：？MON1ABO1CDO,

由光的反射定律得到：?ABO1EBM,

?OBP?EBM,

:ABO1OBP,

同理：1CDO1ODP,

：.?ABO-?ABP,ZCDO=-ZCDP,

22

AMON=1(NABP+ZCDP)=|ZEPF,

:・q--a.

2

故选：A.

8.B

【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键.根据平行线的

判定定理即可得到答案.

答案第3页，共19页

【详解】解：/3=/4可得3。〃4£),不能证明A3||C。，故选项A不符合题意；

/1=/2可得至〃8,故选项B符合题意；

ZAD3=NCDE不能判定直线平行，故选项C不符合题意；

NA+NABC=180。可得3C〃AD,不能证明A8||C£>,故选项D不符合题意；

故选B.

9.C

【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板的特征、角度的计算等知识点，作出辅助线、

构造平行线是解题的关键.

如图：过A作AB〃6,则AS〃a,利用平行线的性质得出N3,进而利用三角板的特征求

出/4,最后利用平行线的性质即可.

【详解】解：如图：过A作贝!I,

•.♦/3+/4=90°,

，N4=90°-Z3=33°,

VAB//b,直线a〃心

AB//a

.-.Z2=Z4=33°,

故选C.

10.B

【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点E作EQ〃AB,过点加

作可得EQ〃MP〃A3〃CO,设/CDM=x,AABM=y,根据平行线的性质

及角平分线的定义可得乙铝E=8y,ZABE+ZCDE=Sx+Sy,NCOE=8y,进而可得

NCDF=NEDF=4x,即可得/ME*=3x,据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图所示，过点E作过点M作皿尸〃AB,

答案第4页，共19页

AB

设NCDM=x,ZABM=yf

'：AB//CD,

：.EQ//MP//AB//CD,

：./CDM=/PMD=x,ZABM=ZPMB=y,ZAB£+NQ£B=180。，NCDE+NQED=180。,

ZABE+ZQEB+ZCDE+ZQED=360°,

即ZABE+NCDE+ZBED=360°,

・•.Z.BED=360°-(ZABE+ZCDE),

VZE+8ZM=360°,即NBED+8NBMD=360。，

・・・360°-(ZABE+NCDE)+8ZBMD=360°,

:.8/BMD=ZABE+ZCDE,

・.・NBMD=NPMD+NPMB=x+y,

：.8ZBMD=ZABE+/CDE=8x+8y,

・.,ZABM=-ZEBF=y

4f

.・・ZEBF=4yf

•・•成为的平分线，。尸为NCDE的平分线，

...ZEBF=/ABF=4y,/CDF=ZEDF,

ZABE=8yf

・.,ZABE+ZCDE=8x+Sy,

ZCDE=8x,

・•・ZCDF=ZEDF=4x,

,/ACDM=x,

：.ZMDF=3x,

:・ZMDF=3/CDM,

故选：B.

11.40°

答案第5页，共19页

【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为180度的两个角互补，据此

求出这个角的度数，再根据度数之和为90度的两个角互余，据此可求出这个角的余角的度

数.

【详解】解：,••一个角的补角是130。，

这个角的度数为180°-130°=50°,

/.这个角的余角的度数为90°-50°=40°,

故答案为：40°.

12.同位角相等，两直线平行

【分析】本题考查了作图一复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟悉基本几何图形的性

质，掌握平行线的判定.

根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与A3平行.

【详解】解：如图，

由图形痕迹可得/BDE=/CEF,则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与

A3平行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

13.1000/100度

【分析】本题考平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是综合运用上

述知识点，通过等量代换得出/E与N3尸C的关系.

过F作则EH〃AB〃CD,根据平行线的性质和角平分线的定义，可得

ZABF=Z.EBF=a=ZBFH,ZDCG=ZECG=/3=ZLCFH,进而可得ZECF=180°-/7,

ZBFC=ZBFH-ZCFH=a-13,利用四边形内角和为360度，可得ZE+2ZBFC=180。，即可求

解.

【详解】解：如图，过尸作"/〃

答案第6页，共19页

AB

'：AB//CD,

：.FH//AB//CD,

・・・ZDCE的角平分线CG的反向延长线和NABE的角平分线BF交于点F,

：.^^ZABF=ZEBF=a=ZBFH,/DCG=4ECG=。=/CFH,

.•・N石CF=180。一4，ZBFC=ZBFH-ZCFH=a-/3,

，四边形3尸CE中，ZE+ZBFC=360°-a-(180o-/?)=180o-(cr-/7)=180°-ZBFC,

即N£+2NBFC=180。，

,ZE=180。—2ZBFC=100°,

故答案为：100。

14.115°

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.先根据两直

线平行，同旁内角互补求出NC=115。，再根据两直线平行，同位角相等即可求解.

【详解】解：・・・4)〃3CN1=65。，

，ZC=18O°-Z1=180°-65°=115°.

•：AB//CD,

：.Z2=ZC=115°.

故答案为：115。.

15.75°

【分析】本题主要考查平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键.根

据题意得到N1=ND3C=N2=25。，Z3=Zl+Z£)BC=50°,即可得到答案.

【详解】解：,/30平分/ABC,Nl=25。，

/.Z1=ZDBC=25°,

/.ZABC=N1+ZDBC=50°,

:.ED〃BC,

:.N2=NDBC=25。，

答案第7页，共19页

Z3=ZABC=50°,

Z2+Z3=25°+50°=75°,

故答案为：75°.

16.65°或25°

【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算.熟练掌握垂线定义，角平分线定义，

余角补角定义，分类讨论，是解本题的关键.

当点F和点C在AB同侧时，根据垂直定义得ZCOF=90。，结合NBOF=40。，得ZAOC=50°,

根据角平分线定义，得NCOE=25°；当点尸和点C在AB异侧时，可得/3OC=50。，得

ZAOC=130°,得NCOE=65°.

【详解】解：当点/和点C在AB同侧时，

：OFLCD于点O,

ZCOF=90°,

'：ZBOF=40°,

/.ZAOC=180°-(ZCOF+/BOF)=50°,

,/OE平分ZAOC,

/.ZCOE=-ZAOC=25°；

2

当点尸和点C在AB异侧时，

ZCOF=90°,

：.ZBOC=ZCOF-NBOF=50°,

ZAOC=180°-Z.BOC=130°,

：.ZCOEZAOC65°.

2

故答案为：65。或25。.

17.(1)见解析

(2)见解析

答案第8页，共19页

(3)见解析

(4)C。，点到直线的距离垂线段最短

【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、

线段和垂直的定义是解答本题的关键.

(1)根据直线的特征画图即可；

(2)根据线段的特征画图即可；

(3)结合网格，过点作垂线画图即可.

(4)根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解

【详解】(1)解：连接点A、点B并延长，如图：

(2)解：连接点A、点C和点3、点C,且不要延长出点，如图:

(3)解：过点C画直线的垂线，垂足为。，如图:

(4)解：•.•垂线段最短，

最短的线段为C。，

故答案为：CD,垂线段最短

18.ZBFD；DE-,同位角相等，两直线平行；NCDE；两直线平行，同旁内角互补；等式

的基本性质；内错角相等，两直线平行

答案第9页，共19页

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，先由已知条件和对顶角相等证

明ZBFD=Z2,则可证明汨得到NC+NCDE=180。，再证明/B=NC即可证明结论.

【详解】证明：：Z1=N3ED（对顶角相等），

又：N1=N2（已知），

:.NBFD=Z2（等式的基本事实）

BC//DE（同位角相等，两直线平行）.

AZC+ZCDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

又：/8+/8e=180°（已知），

；.NB=NC（等式的基本性质）.

--AB//CD（内错角相等，两直线平行）.

19.两直线平行，内错角相等；/DHG；等式的基本事实；同位角相等,两直线平行；NGNF；

两直线平行，同旁内角互补；MG//FN-,两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是

解题的关键.延长E尸交CZ）于点P,根据平行线的性质得出/4£F=NEPD,根据平行线的

判定得出£P〃G〃，根据平行线的性质得出N£7W+NG/VF=18O。，ZFNG+ZG=180°,

最后根据补角的性质，求出结果即可.

【详解】证明：如图2,延长EP交于点P,

VAB//CD（已知），

：.ZAEF=ZEPD（两直线平行，内错角相等）.

XVZAEF=ZDHG（已知），

/.ZEPD=ZDHG（等式的基本事实）

J.EP//GH（同位角相等，两直线平行）

AZEFN+ZGNF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又,：MG〃FN（已知），

AZ2WG+ZG=180°（两直线平行，同旁内角互补）

：.ZEFN=ZG（同角的补角相等）

20.（1）125°

（2）120°

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，熟知垂线的定

义是解题的关键.

答案第10页，共19页

(1)由垂线的定义得到/COE=90。，再由对顶角相等得到NAOC=/BQD=35。，据此可

得答案；

(2)设尤，则NEQB=2x,根据垂线的定义可得x+2x=90。，解方程求出

ZEOB=60°,则ZAOE=180°-NEOB=120°.

【详解】(1)解；：EO1CD,

：.ZCOE=90°,

:NBOD=35°,

：.ZAOC=ZBOD=35°,

：.ZAOE=ZAOC+NCOE=35°+90°=125°；

(2)解：设ZBOD=x,

,：NBOD.NEOB=1:2,

：.ZEOB=2x,

,：EOLCD,

：.ZEOD=90°,

ZBOD+ZEOB=90°,即x+2x=90°,

x=30。，

/.ZEOB=60°,

ZAOE=1800-ZEOB=120°.

21.

(1)130°

(2)NABD与/C的数量关系为：ZABD^ZC,理由见详解

(3)NDEB=30。

【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键.

(1)根据平行线的性质得到NC=/CBb=40。，由垂直的定义得到

NABF=90。一NCBF=50。,再根据平行线的性质得到/肱15=180。-//囱=130。，由此即

可求解；

(2)根据平行线的性质得到/C=/CFF,由垂直的定义得到NCBP+/ABB=90。，由平

行线的性质得到/D防=180。-/。=90。，贝UNABO+NAB尸=90。，等量代换即可求解；

(3)根据平行线的性质，角平分线的定义得到/45石+/丽+/。8/=3/。8/=90。，由

此即可求解.

答案第11页，共19页

【详解】解：(1)vBF\\CN,

：.NC=NCB方=40。，

VAB1BC,

JZABF+NCBF=ZABC=90。,

JZABF=90°-ZCBF=50°,

・.,AM\\BF,

AZABF+ZM4B=180°,

JZMAB=180°-ZABF=130°,

故答案为：130°；

(2)N/出0与/C的数量关系为：ZABD=/C,理由如下,

・.・BF\\CN,

：.ZC=ZCBFf

,：AB1BC,

：.ZABF+NCBF=ZABC=90。,

•；BD工DM,AM\\BF,即0Mli5/，"=90。

・・・/DBF=180。—NO=90°,

JZABD+ZABF=9Q°,

：.ZABD=ZC；

(3)VDM||BF,

/.ZDEB=ZEBF,且/C=NCM,

■:ZC=ZDEB,

：.ZEBF=ZCBF,

"E平分NO5C,

・•・ZDBE=ZEBC,

：.ZABD-^-ZABE=2ZCBF,

在(2)的条件NABO=NCB/下，则有=

JZABD=ZABE=ZEBF=ZCBF,

'：AB1BC,

：.ZABE+ZEBF+ZCBF=3ZCBF=90°,

・•・/CBF=/C=30。，

答案第12页，共19页

NDEB=30。.

22.(1)见解析

⑵NEW=58。

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定

和性质是解题的关键.

(1)根据题意,得到ZEGC=ZFCB,结合角平分线,得到ZEGC=ZACF，从而有ZACF=ZAEM,

证得£71/〃。尸；

(2)根据题意，求出NCGN=58。，利用(1)的结论，得到ZEVW=58。.

【详解】(1)证明：•.•DE〃3C,

ZEGC=ZFCB,

•.•CP平分2AC3,

:.ZFCB=ZACF,

:.ZEGC=ZACF,

■.■ZEGC=ZAEM,

,-.ZACF=ZAEM,

;.EM//CF-

(2)解：VZACB=64°,C/平分NACB,

ZGCN=-ZACB=32°,

2

-.-MN±BC,

:.ZGNC=90°,

ZCGN=58°,

-,-EM//CF,

ZEMN=ZCGN=58°.

23.(1)ZA=ZC(2)猜想：ZA+ZC=180°(或/A与NC互补)，理由见解析；结论：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；运用：这两个角

分别是30。，30。或70。，110°.

【分析】本题主要考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互

补；两直线平行，内错角相等，一元一次方程的应用.

(1)根据AB〃CD,得出ZFGB=ZC,根据AE〃C5,得出ZA=ZFGB,即可得出ZA=ZC；

答案第13页，共19页

(2)根据AB〃CD,得出N1+NC=18O。，根据AE〃C尸，得出NA=N2,即可得出

ZA+ZC=180°；

(3)根据解析(1)(2)即可得出结论；

(4)设一个角的度数为％,则另一个角的度数为2x-30。，根据(3)的结论进行讨论：％=2%-30。

或x+2x-3(F=18()。，然后分别解方程求出x,则可得到对应两个角的度数.

【详解】解：(1)NA=NC.理由如下：如图，记的交点为G,

:・/FGB=/C,

'：AE//CF,

：.ZA=ZFGB,

：.ZA=ZC,

(2)解：NA+NC=180。，理由如下：如图,

•・・AB//CD,

/.Zl+ZC=180°,

9：AE//CF,

：.ZA=Z2,

VZ1=Z2,

ZA+ZC=180°.

结论：请用一句话概括上面得到的结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那

么这两个角相等或互补.

答案第14页，共19页

运用：设一个角的度数为X,则另一个角的度数为2X-30。，

当x=2x-30。，解得x=30。，则这两个角的度数分别为30。，30°；

当x+2x—3(F=180。，解得x=70。，则这两个角的度数分别为70。，H0。.

综上所述：这两个角的度数分别为30。，30。或70。，110。.

24.(1)60°；

(2)见解析；

33

(3)NE8F=180°-51或5a.

【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，角的和差计算等内容，分类讨论

是解题的关键.

(1)过拐点作平行线，过P作于点。，由题易得

NEPF=ZQPE+ZQPF=ZBEP+ZDFP=60°;

(2)过G作G"〃CD,则设易得NPFD=月=NPGH,乙PGE=J/3,所

3

以NAEG=5尸，再根据(1)中结论易得N5EP=60。—夕，因此ZBE/=3/3£尸=180。—3尸，

利用平角定义得到/GE尸即可得证，

(3)分类讨论，画出图形，参考(2)方法设参，利用平行线的性质求解即可.

【详解】(1)解：如图，过夕作尸。〃A5于点。，

/.ZBEP=/QPE,ZDFP=/QPF,ZBEF+ZDFE=180°,

/.ZEPF=NQPE+NQPF=ABEP+ZDFP,

•・•ZFEP=2NBEP,ZEFP=2ZPFD,

/.ZBEF=3/BEP,ZDFE=3ZDFP,

/.3ZBEP+ZDFP=180°,

:./BEP+/DFP=6(T.

二ZEPF=60°;

答案第15页，共19页

(2)证明:过G作G"〃CD,则GH||AB||S,

则ZAEG=NEGH,ZPFD=/PGH,

设4PFD=B,则NPG"=A，

♦.•/PFD=2/FGE,

/PGE=；0,

3

/.ZEGH=ZPGE+ZPGH=-6.

2

3

:.ZAEG=-/3,

由(1)可知NEPF=NPFD+NPEB=60°,

/BEP=60。—0,

ZBEF=3NBEP=180°-3/7,

根据平角的定义可得NGEN=180。—NAEG—N3£F=180。—尸一08。°一3分)=

:.ZAEG=/GEN,

二.EG平分

(3)解:①当£/在EF左侧时，

设4PFD=。,:./BEP=60。一0