2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷（北京专用）全解全析

2024-2025学年高二数学下学期期中卷

（北京专用）

（考试时间：120分钟,分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修第二册4.3,第五章、选择性必修第六章。

5.难度系数：0.69o

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.某物体沿直线运动，位移V（单位：m）与时间单位：s）的关系为y⑺=lT+»,则该物体在"3s

时的瞬时速度是（）

A.2m/sB.3m/sC.4m/sD.5m/s

【答案】D

[详解】••lim电=lim+=lim、（"”…『一""=lim（AZ+2/-l）=2f-l,

g。At。A;"f。At

.,.当t=3时，lim=2x3—1=5,

"T。A/1

即该物体在f=3s时的瞬时速度是5m/s.

故选：D.

2.若3也1成等比数歹!],则。小=（）

A.4B.6C.9D.12

【答案】C

【详解】根据等比中项的概念可得，a-b=32=9.

故选：c.

3.若+展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()

A.20B.90C.40D.120

【答案】A

【详解】由题意可知：2"=64,二"=6,

则二项式+的展开式通项4+1=C"63,

令6-2厂=0,即r=3时，7；=C：x°=20,

即展开式的常数项为20.

故选：A.

4.某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么

每组进行的比赛场数为()

A.15B.18C.30D.36

【答案】C

【详解】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.

按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6x5=30.

故选：C.

5.如图是函数y=的导函数r(x)的图象，则下面判断正确的是()

A./(X)在(-3,1)上是增函数B.4X)在(1,2)上是减函数

C.当x=2时，“X)取得极小值D.当x=4时，/(x)取得极小值

【答案】D

【详解】对于选项A,由图知，当xe(-3,1)时，/'(X)的符号有正有负,

不是单调的函数，所以选项A错误，

对于选项B,由图知，当xe(l,2)时，/'(x)>OJ(x)是增函数，所以选项B错误,

对于选项C,由图知/'(2)=0,且在x=2左侧附近，r(x)>0,在x=2右侧附近，r(x)<0,

所以x=2是极大值点，“X)在x=2处取到极大值，所以选项C错误，

对于选项D,由图知/'(4)=0,且在x=4左侧附近，r(x)<0,在x=4右侧附近，r(x)>0,

所以x=4是极小值点，/(x)在x=4处取到极小值，所以选项D正确，

故选：D.

6.已知广(x)是〃x)的导函数,且/'卜)="2+版(见66区),则的图象不可能是()

【答案】B

【详解】设/(x)=；G3+g6x2+c,

A.当a=0,b<Q,c=0时，/(x)=-^-fe2,

函数/(x)为开口向下的二次函数，对称轴为了轴，满足要求，A正确；

+8时，—+。，％>-8时，/(x)—>，：.a=0.

由图象得，/(%)为开口向上的二次函数，即6〉0,

由〃0)=0得c=o,故〃h=；对，对称轴为y轴，不合要求，B错误;

C.由图象可得/(x)=；ax3+gbx2+c为奇函数，且"0)=0,故6=c=0,

/./(x)=(QX，,

当。>0时，恒成立，〃x)在R上单调递增，满足要求，C正确;

D.；Xf+8时，/(x)->—OO,/.(7<o,

由/'（X）=°，得石=0,X,

2a

由图象得，/（0）=c<0,/⑴的极小值点为0,极大值点大于0,即-2>。，故b〉o.

a

由/得，0<x<—，由/得，x>—或x<0,

aa

.•./（"在（o,-£|上单调递增，在（-*0）和1%+，|上单调递减，满足要求，D正确.

故选：B.

7.向高为〃的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度了与注水

时间X的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（）

【答案】C

【详解】根据函数图象可知，随着注水时间X的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度V的增加量越来

越大，即了的变化率逐渐增大，

故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项c中容器符合要求.

故选：c.

8.已知等比数列｛%｝的公比为4,设甲：q>l乙：｛%｝是递增数列，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】当为=-1,1=2时，a,=-T,不是递增数列，充分性不成立;

当q=T,"=g时，｛。"｝是递增数列，但4>1不成立，必要性不成立.

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

故选：D.

9.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍意思是

说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的

两倍，要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为()

A.3天B.4天C.5天D.6天

【答案】A

【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半，

所以蒲生长长度构成首项为为=3,公比为名=；的等比数列，

2

又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍,

则莞生长长度构成首项为舟=1,公比为%=2的等比数列,

1X1-2"

其前"项和为7=—-----L=2"-1，

n1-2

由题意得(>S"，即2"T>6—6X]£|,贝i]2"+根>7,

令f=2",则t+->1,解得f>6,即2">6,

t

又2?=4<6,23=8>6,所以需要经过的时间最少为3天.

故选：A.

10.已知函数/(x)=x+e-，，若存在实数x,使得〃力="成立，则实数。的取值范围为()

A.B.(1,+动

C.(l-e,l]D.(-(»,l-e]u(l,+(»)

【答案】D

【详解】因为函数〃x)=x+er,若存在实数x,使得/卜)="成立，

x

当了〉0时，存在x+c~=ax所以Q=1H----->1；

xe

当X=0时，0+e«=ax0不成立；

当X<0时，存在x+e-*=ax,所以a=lH----成立，

xe

1,-(x+l)eA

令y=l+C，厂'(',

xe(xe)

当》€(-20,-1),_/>0/=1+弓？单调递增；

当xe(-1,0),y'<0,y=1H单调递减；

所以x=-l时，ymm=1-e,xT■-co,yf—co,x——-oo,所以aWl-e；

综上得：a«l-e或a>L

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数了=e2»+x2的导函数为

【答案】y'=2e2x-,+2x

【详解】由导数的运算法则可得了=2e2-+2x.

故答案为：y,=2e2x~1+2x

12.已知函数/(力=尔+而，当x=l时有极大值3,则";b=.

【答案】-69

【详解】因为/'(x)=ad+加，所以/''(%)=Bar2+26x,

r(i)=o3a+2b=0

因为函数在尤=1时有极大值3,所以,所以

/(1)=3a+b=3

a=-6

解得

b=9

所以/(x)=-6d+9x2,所以f'(x)=-l8X2+18X,

令/''(x)=0,可得x=0或x=l,

当无<0或x>l时，f'(x)<0,函数在(-co,0)和(1,+8)上单调递减，

当0<x<l时,f(x)>0,函数在(0,1)上单调递增，

所以函数在x=0处取得极小值，在x=l处取得极大值，符合题意，

所以。=-6,b=9.

故答案为：-6；9.

13.近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马

伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息

的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以

有种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递种

不同的信息.

【答案】512130

【详解】信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有2"=512种不同

颜色组合来传递不同的信息；

若一个黑色格子也没出现，可以传递1种信息；

若出现1个黑色格子，可以传递9种不同信息；

若出现2个黑色格子，可以传递C；=36种不同信息；

若出现3个黑色格子，可以传递C；=84种不同信息；

所以若最多出现3个黑色格子，可以传递1+9+36+84=130种不同信息.

故答案为：512；130.

14.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规

律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,记作数列｛叫，贝殖4=；若数列｛与｝的前〃项和为S”，则$67=.

1

11

121

1331

14641

【答案】42048

【详解】由题意可知％4是第5行第4个数，所以44=4；

使得每行的序数与该行的项数相等，则第七行最后项在数列｛%｝中的项数为：乂非

设为位于第七化©N*)行，贝IJ：乂曰<674为少，解得：左=12

且第11行最后一项在数列｛4｝中的项数为：告”=66,

■■■与7位于杨辉三角数阵的第12行第1个

而第一行各项和为1=2°，第二行各项和为2=2、第三行各项的和为4=22

依此类推，第上行各项的和为2"T

1_711

1210

S„=(2°+2+2+---+2)+C®1=Y^-+1=2"=2048

故答案为：4,2048.

15.已知函数/(x)=o%3+6x2+cx+d存在两个极值点花,尤2(再</)，且=/(x2)=-x2,设/(x)

的零点个数为加，方程3a(/(x)y+2"(x)+c=0的实根个数为力，则下列说法正确的有

①.当Q〉0时，x2>0②.当〃>0时，〃=3

③.当。<0时，次+2=〃④.加〃一定能被3整除

【答案】①②③

【详解】由题意可知/'(x)=3"?+26x+c为二次函数，且占，尤2a<%)为的零点，

由=3""(x)T+2/(x)+c=0得/(x)=%或/(x)=%,

当4>0时，令/'(》)>0,解得X<X］或&>%；令/''(x)<。，解得不<工。2,

所以「(X)在(-8,%),(工2，+8)内单调递增，在(占)2)内单调递减，

则不为极大值点，%为极小值点，

所以/(为)>/(%)，即再>一马,

若X2«0,贝!!网>-工220,止匕时网2々，与王<工2矛盾，故£>0,①说法正确;

所以/(”=占有2个根，/(力=尤2有1个根，可知〃=3,②说法正确；

当a<0时，令/'(x)>0,解得不<工<三，令/'(x)<0,解得X<X］或x>%,

所以/(x)在(否/2)内单调递增，在内(-8,再),(%2，+8)单调递减，

则超为极大值点，多为极小值点，

所以/(工2)>/(±),即-%>再，

若占20,贝1］々>网20,此时一/<°，与一马>网矛盾，故玉<0,

当/1(%2)=-X2>0,即无2<。时，可知=3,n=5,此时Tn"=15,m+2=n,

当/(3)=-%=°,即％=°时,可知%=2,"=4,止匕时机〃=8,m+2=n,

当/@2)=一/<0，即%>0时，可知加=1,n=3,此时机〃=3,m+2=n,

综上③说法正确，④说法错误；

故选：①②③

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动.

（1）共有多少种不同的选择方法？

（2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？

（3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？

【详解】（1）从3位女生，4位男生中选出3人参加校园大扫除活动的选择方法数为C；=35；（4分）

（2）“至少有1位女生”的反面情况为“没有女生”

又没有女生人选的选择方法数为C：=4,

由（1）可得，至少有1位女生人选的选择方法数为35-4=31.（9分）

（3）“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”

又因为都是女生人选的选择方法数为C；=l,

都是男生人选的选择方法数为C：=4,

由（1）可得，既有男生又有女生人选的选择方法数为35-4-1=30.（14分）

17.(14分)已知数列｛%｝中，。什1=2%,&=8.

⑴求数列｛%｝的前5项；

(2)若等差数列低｝满足%=%也=%，求低｝的前n项和S..

【详解】(1)数列｛%｝中，因为%=820,故。，尸0,

故&旦=2,所以数列｛%｝是等比数列，公比是2,

an

又因为。4=8,

所以％=QX2-4=2"T.

所以%=1,%=2,。3=4,。4=8,%=16；(6分)

(2)等差数列｛，｝满足&=4也=16,

设等差数列公差为",2d="-8=12,

所以d=6,

所以〃=4+("-2)x6=6”-8,

所以｛2｝的前n项和S,、=-5)=3n2-5n.(14分)

18.(14分)已知二次函数〃力="2+办-2b,其图象过点(2,-4),且广(1)=一3.

⑴求。力的值；

⑵设函数〃(x)=xlnx+x2+/(x),求曲线〃(x)在x=l处的切线方程.

【详解】(1)由题意可得〃2)=-4,即为4a+20-26=-4,

又/'(%)-2ax+a,

可得r⑴=3。=-3,

解得4=6=-1。

(2)由(1)矢口/(X)=—工2—x+2,

则〃(x)=xlnx+x2+f(x)=xlnx-x+2,7zr(x)=lux,

则曲线力⑺在X=1处的切线斜率为lnl=o,

X-.-A(l)=lnl-l+2=l,

・•・切点为(1,1),

则曲线力⑺在x=l处的切线方程为y-l=O(x-l),即为y=L

19.(14分)某公司生产的某批产品的销售量x万件(生产量与销售量相等)，x>0,已知生产该批产品共

需投入成本/+12/+36x万元，产品的销售价格定为1180+平1元/件.

(1)将该产品的利润y万元表示为销售量无万元的函数；

(2)当销售量x投入多少元时，该公司的利润最大，最大值多少？

【详解】(1)由题意知，

>=1180+—x-(x3+12x2+36x)=180x+200-x3-12x2-36x,

y--x3-12x2+144x+200(%>0).(6分)

(2)y'=-3--24x+144=-3卜2+8x-48)=-3(x+12)(x-4),

当xe(0,4)时，y'>0,函数y=-丁-12—+144x+200(x>0)单调递增；

当xe(4,+8)时，y'<0,函数y=-x3-12x2+144x+200(x>0)单调递减，

则当x=4时，利润最大，最大为520万元.(14分)

20.(14分)已知公比大于1的等比数列｛0“｝满足%+%=20,%=8.

(1)求｛2｝的通项公式；

(2)求数列｛(-iy•。“｝的前〃项和s„.

【详解】(1)设等比数列的公比为则，>i,

Q8

因为〃3=8,贝lj2+%=—~+%q=—卜8q=20,

qq

解得4=2或q(舍)

则%=%4"3=8-2"3=2".

(2)由(1)可得。"=2",

则%2'=(-2)”,

所以数列｛(-1)"/"｝是以-2为首项，以-2为公比的等比数列，

则S=-2[1-(-2)]=-2一(-2户.(]4分)

"1-(-2)3

21.(15分)己知函数f(x)=xlnx-k(x-l),/CER

⑴当r=i时,求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)在区间(1,+8)上有1个零点，求实数左的取值范围;

⑶若/(x)+x>0在尤€(1,+⑹上恒成立，求出正整数后的最大值；

【详解】(1)当左=1时，f(x)=xlnx-x+l,