2024-2025学年辽宁省锦州市高二数学下学期期末考试试题（含答案）

2024-2025学年辽宁省锦州市高二数学下学期期末考试试题(含答案)

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试

卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.下列函数的求导正确的是()

2，1

(efj=e"(｝nx2)'=-(ex+ln3)=ev+-(x-^=-2

A、)B.XC.3D.1/

2.已知等比数列｛""｝满足"2023—%=8,“2024—“2=24,则4=o

A.1B.-1C.3D.-3

3.2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队29:0完胜日本队，该事件吸引了大批大学生

开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正

式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布"60'"),若80分以上为达标，则估计能被吸

收为正式社员的人数为()

(附：若随机变量X~N(〃，b2),则尸(〃P<X"+b)=0.6826,

尸(〃—2b<XW〃+2b)=0.9544尸(〃—3b<XW〃+3cr)=0.9974

A.18B.13C.9D.5

4.有3台车床加工同一型号的零件，第12,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%,加工出来的零件混放

在一起.己知第12,3台车床加工的零件数的比为4:5:11,现任取一个零件，记事件4="零件为第z•台

车床加工"(,=123),事件8="零件为次品，，，则尸(4忸)一()

510

A.0.2B.0.05C.37D.37

5.已知数列｛""｝满足：〔3%+1，%为奇数，则45=（）

A.1B.2C.3D.4

6.如果方程尸（x/）=°能确定＞是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如

下：在方程尸（”）=°中，把y看成x的函数尸3）,则方程可看成关于x的恒等式尸（2（"））=°,

在等式两边同时对x求导，然后解出了（X）即可.例如，求由方程/+/=1所确定的隐函数的导数了，

将方程必+r=1的两边同时对x求导，则2x+2yj'=°（y=v（x）是中间变量，需要用复合函数的求

导法则），得》.那么曲线9+1取=2在点处的切线方程为（）

A%—3y+1=0Bx+3y—5=0

C3x—y—5=0D2x+3y—7=0

7.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以

2〃+1

此类推，记第〃层货物的个数为%,则数列的前2023项和为（）

1,1,

2[l-(——力2[l-(——)2]

A'2024B.2023

1,1,

4[l-(——)2]4[l-(——)2]

C.2023D.2024,

13

-Ac=—lnl.3

8.若a=e",b=0.3e；10，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

尸（⑷=］尸（8）=4，尸"A）=尸（幺B）

9.已知随机事件43的概率分别为0（"）’，（'）

且32，则（）

A.事件A与事件3相互独立B.事件A与事件B相互对立

-1

c.P(AB\B)=—

D.6

-xex+ix<0

/(%)=,

Inx--x>0

4

10.已知函数,下列选项中正确的是（）

A./（X）在（一°°'一1）上单调递增,在（T,。）上单调递减

B.）（X）有极大值

C./G）无最小值

2

D.若函数7z（x）=［/（x）］-2qf（x）+4（aeR）恰有6个零点，则实数.的取值范围是G

11.已知各项都是正数的数列｛""｝的前"项和为J,且“22%,则下列结论正确的是（）

m>n(m,aS〃+S“+2<2S,

A.当,n>a”

咨"｝是等差数列S-----2Inn

C.数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13

12已知随机变量…叱）,…（6，”且尸-3）WE（"E2则

P=

3

1%=一］，3(4,+1+1)(%+1)=4一%

13.已知数列1J满足4n+1

14.已知函数/（X）及其导函数/'（X）的定义域均为R,且

―2"'（x）-/（x）］>0J（4T）=/（x）e：则不等式e»（lnx）（必（3）的解集是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知加>°,函数/（"）=二-2"+机的图象在点（0,/（0））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积

为2.

（1）求加的值；

（2）求/（X）在［T2］上的值域

16.记I为数列H"｝的前〃项和，已知4=1,〔%J是公差为3的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记包为｛%｝在区间G'2](加eN)中的项的个数，求数列｛%，，，｝的前加项和7L.

17.2024年1月18日是中国传统的“腊八节”,“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)这一天.腊八

节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方.为调查不同年龄人群对

“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群.

(1)在100名受调人群中，得到如下数据:

了解程度

年龄

不了解了解

30岁以下1624

50岁以上1644

2

根据小概率值。=°」的力独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；

(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个.受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部

回答，填空题随机抽取3个进行问答.某位受调者选择题每题答对的概率为0.8,知道其中3个填空题的

答案，但不知道另外2个的答案.求该受调者答对题目数量的期望.

参考公式：

力=---------------------------

①(a+b)(c+d)(a++d)

独立性检验常用小概率值和相应临界值:

a0.10.050.010.0050001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

②随机变量X,y的期望满足：£(x+Y)=E(x)+E(y)

18.某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙

中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动

12

员，则这次有3的概率再传给该运动员，有H的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员,

且教练第n次传球传给甲运动员的概率为P".

(1)求02,73；

(2)求P"的表达式；

a,|2n_i|X(q，+i_%)(sin/+i_sin%)<8

(3)设外一I证明：W2

19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方

(Xx\

ce°+ec

y=----------J।ch(x)=^±^

程为"2,其中c为参数.当C=1时，就是双曲余弦函数2,类似地我们可

sh(x)=-_—

以定义双曲正弦函数2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，(),()=一sm”，请写出sh(x),ch(x)具

有的类似的性质(不需要证明)；

(2)当x>°时，sh(x)>6恒成立，求实数。的取值范围；

(3)求“xAchOcosx”的最小值.

高二数学答案

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试

卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.下列函数的求导正确的是()

(lnx2)'=：(eA+ln3)=eT+-(x-2")=-2

A.''B.'c.3D.'/

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.

【详解】对于A项，因(e「")'=—,故A项错误；

(lnx2y=^=-

对于B项，XX,故B项正确；

对于C项，G+M3)'=e,故c项错误；

(X-2S=-2X-3=-^

对于D项，''x,故D项错误.

故选：B.

2.已知等比数列｛%｝满足"2023—%=8,出024-%=24,则《=()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】两式相除即可得解.

［详解］因为“2023—4=8,。2024.％=24,%024="2023.夕,%%”

.2024-_42023，q-％，q24R

=q=L

所以“2023—%“2023—

故选：C

3.2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队29:0完胜日本队，该事件吸引了大批大学生

开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正

式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布"60』5）若go分以上为达标，则估计能被吸

收为正式社员的人数为（）

（附：若随机变量则尸（〃-。＜旌〃+。）=0.6826,

P（〃-2b＜XW〃+2b）=0.9544尸（〃-3。＜XW〃+3b）=0.9974

A.18B.13C.9D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用正态分布的对称性求出80分以上的概率，即可求解.

7V(50,152)

【详解】因为X服从正态分布

1-0.9544

所以尸(X>80)=尸(X>(50+2x15))=----2------=0-0228

则估计能被吸收为正式社员的人数为400X0.0228=9.1229（人）.

故选：C

4.有3台车床加工同一型号的零件，第12,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%,加工出来的零件混放

在一起.己知第1，2,3台车床加工的零件数的比为4:5:11,现任取一个零件，记事件4="零件为第，台

车床加工”（'=123）,事件8="零件为次品，，，贝I]'"忸）一（）

510

A.0.2B.0.05C.37D.37

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.

尸(4)=—~—=-,P)=---=!，尸(4)=1111

【详解】根据题意可得：4+5+115-4+5+1144+5+1120.

P（5|4）=0.05,尸（802）=0.02,P（514）=0.04

由全概率公式可得：尸（8）=P（4）P但4）+尸（4）尸出4）+尸（4）产出4）

111137

=-x0.05+-x0.02+—x0.04=——

54201000.

P(A出、.尸(48)尸(4)P⑵4)gs05、_io

(11万P(B)-P(B)~JL-37-37

故10001000

故选：D.

%为偶数

%=3,%

5.已知数列也J满足：3a„+1,4”为奇数

则归()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.

3%为偶数

%=3,%

3a+1,%为奇数

【详解】因为n

a=幺=5

3

所以的=3%+1=10,2。4=3%+1=16

a-^£-S-£1-4a_%—2a―2一］

n6__7__8_-

5_2J，2，2，2，。9=3%+1=4

可知从第6项起数列为周期为3的周期数列，

又25=5+3x6+2,所以。25=。7=2

故选：B

6.如果方程尸（x/）=°能确定＞是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如

下：在方程尸（”）=°中，把y看成x的函数尸3）,则方程可看成关于x的恒等式尸（2（"））=°,

在等式两边同时对x求导，然后解出了（X）即可.例如，求由方程—+了2=1所确定的隐函数的导数了，

将方程必+r=1的两边同时对x求导，则2x+2yj'=°（y=v（x）是中间变量，需要用复合函数的求

歹'=-±(尸0)口(2n

导法则)，得y.那么曲线盯+1叩=2在点”，^处的切线方程为()

A%—3j/+1—0Bx+3y-5=0

3x-y-5=0n2x+3y-7=0

Vr-^.JLz."

【答案】B

【解析】

【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.

【详解】由给定定义得，对孙+1取=2左右两侧同时求导，

可得丁,将点O代入，得i+2y'+V=o,

11,1/八

y———y—\——(x—2)

解得3,故切线斜率为3,得到切线方程为3,

化简得方程为》+3了一5=°,故B正确.

故选：B

7.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以

｛亨｝

此类推，记第〃层货物的个数为0”,则数列的前2023项和为()

1,1,

2[1-(——)2]2[1-(—^)2]

A.2024，」B.2023，」

4[1-(-)2]4[1-(^-)2]

C.2023D.2024

【答案】D

【解析】

【分析】由累加法可得%,利用裂项相消求和法求出邑，即可得解.

[详解]依题意，4=1,4-%=2,%一出=3,…“一=〃，“22,〃wN*,

1cn(ji-1)n(n+1)

则由累加法得，%一%=2+3+—+〃，因此”22,

」(〃+1)2〃+1=4(2〃+1)1_____1_

而6点满足上式，即2,则a-〃2(〃+1)2〃2(〃+1)2,

„.111111mli1,

所以S〃r=1*"声下+―/一研7]=4"西尸S2°23=4[l-(南)]

故选：D

3r=13]n]:

8.若a=e\b=0.3e°110,则()

A.a>b>cga>c>bcb>a>cpc>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】利用作商法可得构建函数-X—Ix>0,利用导数判断且。)的单调性，可得

1

X>一

e°3>1.3,构建/(x)=xlnx,e,利用导数判断了⑴的单调性，可得b>c.

_3_

【详解】显然a=ei°>0,b=O.3e03>0,

-==0.3e。,<0.3e<0.9<l

因为Qe-T1o。，所以a>6；

c-12Ini3-

又因为6=0.3e°3=e°31ne°J,101.31nl,3,

令g(x)=e--l,x>o则g，(x)=e'—l〉0,

可知g(X)在(A+0°)上单调递增，

则g@3)>g(O)=O,可得萨〉1+03"3〉；

令〃x)=xlnx,"J则/'(x)=lnx+l>0在[e'?内恒成立，

(11

一,+8

可知/(X)在leJ内单调递增，

则，(e)>/(L3),gpe°-3lne0-3>1.31nl.3,所以6〉c；

综上所述：a>b>c.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

尸(2)=1尸(8)=1尸(削给=尸(2月)

9,已知随机事件48的概率分别为°(")，°(')

且32，则()

A.事件A与事件8相互独立B.事件A与事件B相互对立

2__1

P(A+B)=-P(AB\5)=-

C.3D.6

【答案】AC

【解析】

11

P(B)=—,P(AB)=P(AB)=-

【分析】根据题意可求得2再利用条件概率公式可得6,由相互独立事件的

尸(/)+尸(8)=工力1

定义可知玖/3)=尸(⑷口⑷，即事件A与事件3相互独立；显然6,即事件A与事

件B不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.

-1

P(5)=l-P(5)=-,

【详解】对A,根据题意可得2

尸(Z|R)=PQB),p(4豆)=尸(邛)-1

P(B)=P(B)=},

由条件概率公式可得P(B)尸⑻，又2

-1

_*笛P(AB)+P(AB)=P⑷=-

所P以(AB}尸皿，又易知3

-1

P(AB)=P(AB)=-

所以6.

即满足次/瓦)=尸(/)P(3),所以事件A与事件3相互独立，即A正确;

P(A)+P(B)=-+-=-^l

对B,又326,不满足「(/)=1-0(5),所以事件A与事件B不是相互对立事

件，即B错误;

111?

P(A-^B}=P(A)+P(B)-P(AB}=-+------=—

对C,易知3263,即C正确;

-xP(AB'\1

P(zAB\5)=-^=^=-

对D,由条件概率公式可得0(')3,所以口错误.

故选：AC

-xex+1x<0

/(x)=,

Inx--x>0

4

10.已知函数,下列选项中正确的是（）

A./（X）在（一°°'一1）上单调递增,在（T,。）上单调递减

B.）（X）有极大值

C./G）无最小值

2

D.若函数7z（x）=［/（x）］-2qf（x）+4（aeR）恰有6个零点，则实数.的取值范围是G

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,利用导数判断/（"）在（一应°）的单调性，对于B,由选项A中的单调性进行判断，对

于C,分别求出和x>°时的值域分析判断，对于D,作出了（"）的图象，结合函数图象，根据一元

二次方程根的分布得到关于。的不等式，解不等式即可得到实数。的取值范围.

【详解】对于A,当了<0时，f（x）二一犹N，则f\x）=-（e、+i+xe"］）=-e^1（x+1）,

当x<—1时，/（x）>0,当—l<x<0时，/（x）<0,

所以/（“）在ST上单调递增，在（T°）上单调递减，所以A正确，

对于B,由选项A可知/⑺在S'T）上单调递增，在（T°）上单调递减，

所以/（"）在》=一1处取得极大值，所以B正确，

11

Inx——>e4

/（x）=Inx—：=<4

1-

——lnx,0<x<e4

对于C,当x>°时，

-Inx-->0---Inx>0

当xNe，时，4，当0<x<e4时，4,

所以当x>。时,/（X）",

因为在（一"T上单调递增，在（T°）上单调递减，且当x<0时，“力°恒成立,

综上，/（"）的值域为1°，+°°）,所以/㈤有最小值0,所以C错误，

对于D,因为/(")在(一叫一1)上单调递增，在(T°)上单调递减，〃T)=1,"°)=°,

/(x)=Inx--=]

411

——lnx,O<x<e4

由〃(x)=0,得"(x)]2—24(x)+4=0,

令/(x)=>,则»一2川+4=0,

由/⑴的图象可知，要使'(X)有6个零点，则方程2^+4=°有两个不相等的实数根.名，不妨令

八<t2

若则由图可知〃(X)有6个零点，但o?—2ax0+4x0,所以不符合题意，

所以0<%<1,看2〉1,

因为()2—2ax0+4=4>0,

2a>，H

所以1--2。+4<0,解得2,即实数”的取值范围是12),所以D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，利用导

数解决函数零点问题，选项D解题的关键是根据题意画出函数的大致图象，换元后根据图象将问题转化为

方程有两个不等的实根，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.

邑=2+工

11.已知各项都是正数的数列也"｝的前”项和为邑，且“22%,则下列结论正确的是()

A,当…(m,〃eN*)时，am>a.QSn+Sn+2<2Sn+i

邑一告之必〃

C.数列是等差数列D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】计算数列首项及第二项可判定A,利用等差数列的定义及S”，4的关系可判定c,从而求出S”的

通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.

a,12,

Q]—-----1------=>%=1

【详解】对A,由题意可知22%，所以4=1,

+a,=_—H------a：+2a,-1=0仄1

22a

则2,所以％故A错误;

S=%+—nS“―-——二二S；—S：]=1(»>2)

wn9n'Foio/c_c\n"T')

对C,由2""2/⑼一、”,故C正确;

对C,所以S：=l+(〃T)=〃nS“=6,

s

n+S"+2=G+J〃+2<2^"+；+'-=2Sn+1

则V2,故B正确；

G1厂11

S“一丁=­7=f(x)=x--------21nx(x>l)

对D,易知S*<〃，令、)x

，

/(%)=l+-!r--=f--ll>0r/\

则XXJ，则单调递增，

/(x)>/(l)=0=>--U>lnnSn

所以'〃，即，故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13

口-E〜N（〃02）Y^B（6,p）,（43）=5E（X）=-E（Y）

12.已知随机变量v）,'，〃，且2,2,则

P=

1

【答案】3

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质求出〃=3,即可得到“（'）=3,从而求出E（Y）,再由二项分布的期望公

式计算可得.

【详解】因为X~N(〃，02)且尸(X'3)-万，所以〃=3,则石(x)=3,

3

又£田=六任),所以£0)=2,

1

因为人8(6,P)，所以£a)=6P=2,解得夕=§.

故答案为：3

3

13.已知数列也｝满足L,(%+I)Q+I)=-则…

3n

【答案】3〃+1

【解析】

【分析】依题意可得3(唠+1)&+1)=(%+1)-(矶+1),两边同除(%+i+1)(%+1)得到

1

11oJ11

%+i+l。“+1,即可得到1为+U是以4为首项，3为公差的等差数列，即可求出4+1的通项,

即可得解.

【详解】因为3&+1+1)(%+1)=。"-%+1,

则33+1+1)Q+1)=Q+1)-3+1+1),

,1

+1=—1c

因为4,显然%+lw°,

---^=3

所以4+1+1凡+1,

-J-=4

所以［""+1J是以%+1为首项，3为公差的等差数列，

1c,

-=3〃+1

所以％+1-------,

,1,1-3«

%+1=~=-1H--

所以3〃+1,贝u3〃+13〃+1

-3n

故答案为：3〃+1

14.已知函数/（"）及其导函数/‘（"）的定义域均为R,且

（—）［小）-/（切〉0,/（47）=｛）「则不等式〃（朴切（3）的解集是

【答案】Ge"）

【解析】

尸（）雷

求得“（X）的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得

【分析】根据题意可构造函数

结果.

尸3=公尸（x）=—（X）

【详解】构造函数e，,则e-T.

因为-2"”）-/（4>0,

所以当无>2时，/'（"A"x）>°,即尸G）>°,此时尸（X）在0，+8）上单调递增；

当x<2时，/'（x）-/（x）<0,即尸此时EG）在（一叫2）上单调递减；

/（4-x）_/（x）

又/（4r）=/（x）es,所以e-一丁,即尸（4-x）=*x）；

所以函数/G）图像上的点（X'/（X））关于尤=2的对称点（4一X，尸（》））也在函数图像上,

即函数“（X）图像关于直线x=2对称，

3/（一）J（3）/（Inx）7（3）

不等式e/（ln%）<^（3）变形为%,即e111*e3.

可得尸（lnx）（尸（3）=尸（1）,

又“（X）在（2,+8）上单调递增，在（一吗2）上单调递减，

所以l<lnx<3,解得e<x<e3.

则不等式的解集为GT）.

故答案为：（ed）

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据—2）［/'00一/CO］>。的结构特征构造函数"3=丁

判断出其单调性，再由/（4—“）=得出其对称性解不等式即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知加>°,函数/（"）=二-2"+机的图象在点（0,/（0））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积

为2.

（1）求加的值；

（2）求/（X）在H2］上的值域.

【答案】（1）m=i

⑵［3一2叱一31

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程N=—x+l+加，求出切

线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；

（2）由⑴可得/卜）在（山2,2］上单调递增，在［T/n2）上单调递减，求出/（—1）,"2）,

"1哈的值可得结果.

【小问1详解】

因为/（x）=e=2x+见，所以—（x）=e"-2,贝/=

因为/（°）=1+加，所以切点坐标为（°」+祖），

所以/3的图象在点（°J⑼）处的切线方程为V=-x+1+掰.

八1八—x（l+m）x+2

令y=0,得X=l+掰，又m>o,所以2,所以切=1.

【小问2详解】

由⑴可知/'Oe'-2,令皿x）>0,解得”吟所以小）在（皿2］上单调递增.

令/3<0,解得x<ln2,所以/（x）在［T/n2）上单调递减，

/（-1）=3+：〃2）=e2-3“ln2）=3-21n2

，，，

而I、J/（x）尸l~T，2~|L附/古”斗,「3—21n2,e2-3~|

所以''"在L'」上的值域为L」.

16.记S"为数列血｝的前n项和，已知6=1,J是公差为微的等差数列.

（1）求"〃｝的通项公式；

（2）记或为｛"〃｝在区间eN）中的项的个数，求数列的前加项和1

【答案】（1）%="

m+

⑵Tm=(m-l)2'+2

【解析】

【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得色，再利用s”求可即可得解；

（2）利用“错位相减求和法唧可得解.

【小问1详解】

县=1涔I

因为6=1,故为，所以数列〔""J是以1为首项，2为公差的等差数列,

S+1

n_.»。«+1

所以4N,即2,

=幺=1

所以"+1n1,

因此"J的通项公式为例=".

【小问2详解】

由题可知~―/—-一«,

则4仇=加义2"',所以图=1x2'+2x2"+—1+mx2m

23mm+1

2Tm=lx2+2x2+---+(/7z-l)2+wx2

2m,n+V7m+1m+1

-Tm=2'+2+---+2-mx2'=""-mx2=(l-m)2-2

1—2

所以Z,=3-1)2*2

17.2024年1月18日是中国传统的“腊八节”,"腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天.腊八

节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方.为调查不同年龄人群对

“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群.

（1）在100名受调人群中，得到如下数据：

了解程度

年龄

不了解了解

30岁以下1624

50岁以上1644

2

根据小概率值1=0」的力独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；

（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个.受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部

回答，填空题随机抽取3个进行问答.某位受调者选择题每题答对的概率为0.8,知道其中3个填空题的

答案，但不知道另外2个的答案.求该受调者答对题目数量的期望.

参考公式：

n(ad-bey

①“（a+b）（c+d）（a+c）0+d）

独立性检验常用小概率值和相应临界值：

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

②随机变量X,Y的期望满足：E（X+Y）=E（X）+E（y）

【答案】（1）答案见解析

(2)5.8

【解析】

2

【分析】（1）计算出力参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案；

（2）用X、丫分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出£（“）、£（¥）,由

E（x+>E（x）+E（y）可得答案.

【小问1详解】

100x(16x44-24x16)2

«1.961<2.706

40x60x32x68