2024-2025学年人教A版高一数学下学期期中考试模拟C卷（含解析）

2024-2025学年高一数学人教A版下学期期中考试模拟卷C卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.设复数z在复平面内对应的点为Z（x,y）,若|z—1|=1,贝ij（）

A.(x-l)2+,2=]B.(x+1)2+J=]

C.x2+(y-l)2-lD.x2+(y+l)2=1

2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.q=(1,2)，e2=(2,3)B.q=(3,—2)，62=(-6,4)

C.q=(0,0)^2=(-1,3)D.q=(l,l)'e2=(2,2)

3.已知向量a=(2,l),若2a+3/>=(—3,8),则cos(a,a+b)=()

VwM03而63A/10

A.--B.---C.D.

10101010

4.如果复数z=—2—2i,那么z=（)

A.2V2B.2C.4D.8

5.平面内有向量2,b，c满足时=同=4，k+.=卜一可=26，则—耳+2忸一4的最小值

是（）

A.限RB.473C.4指D.4

6.已知平面向量°,均为单位向量，且夹角为60°，若向量c与a，B共面，且满足a.c=b.c=l，

则卜|=（）

A.lB.26c.6D.2

1-i-

7.已知复数z是纯虚数，若上上是实数，则z的虚部是（）

z+2

A.-2iB.2iC.-C.-B.2iC.-C.-2D.2

8.复数z满足z（2-i）=3+4i（i为虚数单位），则口的值为（)

A.5V5B.5C.亚D.A/5

3

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是（）

A.零向量是没有方向的向量B.零向量的长度为0

C.相等向量的方向相同D.同向的两个向量可以比较大小

10.已知复数z=（i是虚数单位），则下列结论正确的是（）

1+i

A.复数z的虚部等于_2iB.z对应复平面内的点在第三象限

Cz+z=-2D.若°是实数,z+a是纯虚数，则。=1

11.数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜募并

大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方

222

122(c+a-b~|

得积若把以上这段文字写成公式,即s=-cci---------------.现有△ABC满足

sinA:sinB:sinC=A/7:1:3,且贝M)

外接圆的半径为2亘

3

B.若ZA的平分线与交于点则A。的长为.

C.若。为BC的中点，贝"勺长为孚

D.若。为△ABC的外心，则AO•(AB+AC)=5

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若向量。=(匕3)，b=(l,4)，c=(2,l)，已知2"3。与c的夹角为钝角，则k的取值范围是

13.如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为EPGH,已知4石=：的=1.

为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒

出时，水面距离桌面的高度为.

14.已知4(2,3)，6(4,—3),点P在线段崩的延长线上，且25P=3AP，则点p的坐标是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ZsABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c.

⑴求证：2cos——'sin3+」=sinA；

22

(2)若2(c-a)cossin。=csinC—Z?sin3.

(i)求B；

(ii)若6=5，且△ABC的面积为8百，求△ABC的周长.

16.在三角形ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知asiaB=6COS1A-巳

(1)求角A的大小；

⑵若c=2b,三角形ABC的面积为手，求三角形ABC的周长.

17.如图，四棱锥P—A6CD中，QA,底面ABC。，PA=AC=2,BC=1,AB=6.

p

(1)若AD，PB,证明：AD〃平面P8C；

J42

(2)若A。，DC,且二面角A—CP—D的正弦值为^—，求AD

7

18.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4,。是AC的中点，E是AB上一点，且

。石，43.将44£石沿着。七折起，形成四棱锥P—BCDE,其中点A对应的点为点P,如图2.

图2

PF

⑴在图2中，在线段网上是否存在一点F,使得。尸〃平面尸D£?若存在，请求出口的值，并

PB

说明理由；若不存在，请说明理由;

TT

⑵在图2中，平面？既与平面PC。所成的锐二面角的大小为一，求四棱锥尸-5CDE的体积.

3

19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos_B+仍一夜4cosA=0.

⑴求A;

(2)若〃=逐，ZkA5c的面积为&—1,求AABC的周长.

参考答案

1.答案：A

解析：由复数的几何意义可得z=x+yi,

所以，|z-l|=|(x-l)+yi|=^(x-l)2+y2=1,

化简可得(x—犷+/=1.

故选：A.

2.答案：A

解析：对于A,因为q=(1,2)，62=(2,3)不共线，且都是非零向量，所以A符合题意;

对于B,因为=—2q，所以6与e,共线，故B不符合题意；

对于C,因为q=(0,0)为零向量，所以C不符合题意；

对于D,因为％=2q，所以6与共线，所以D不符合题意;

故选：A.

3.答案：D

解析：因为0=(4,1),匕=(一1,〃)

所以2a+=(242)+(—3,3〃)=(2/1—3,2+3〃),

又因为2a+3〃=(-3,8),

22-3=-3

所以《

2+3//=8

2=0

解得＜

、〃=2

则a=(0,1),Z?=(-l,2)

所以a+〃=(—1,3),

而z/八小("+8)33M

所以COS(Q,Q+。)-----r=---7==----

'/„+.lxVW10

故选：D

4.答案：A

解析：：z=—2—2i

|z|=《(H+(—2)2=272.

故选：A.

5.答案：C

解析：由题意可得a,匕，建立平面直角坐标系，

设g=(4,0)/=(0,1),W=(x,y),

可得|“一《+2卜=^/(x-4)2+y2+2y1x2+(^-1)2>

表示C(x,y)到A(4,0)的距离与C(x,y)到8(0,1)的距离的2倍的和，

设P(0,—2)，可得|a—c|+2,—d=|CA|+|C5曰PA|=4有，由此可得结论.

|a+Z?|=|a-Z?|=2^>:.a-b=0>:.aLb<

设@=(4,0),&=(0,1),c=(x,y)

:.a-c=(4-x,-y)，b-c=(-x,l-y)

/.|a-c|+2|z7-c|=-^/(x-4)2+y2+2yjx2+(^-l)2

表示C(x,y)到A(4,0)的距离与C(x,y)到3(0,1)的距离的2倍的和,

设P(0,—2)，则21cfi|=|CP|

:.\a-c\+2\b-c\=\CA\+\CB\>\PA\=445

故选：c.

6.答案：B

解析：^c=ma+rib9因为=JWcos(a,B)=lxlx—=—，

a-c-a•(机a+〃/?)=m+；几=1

即［

b-c-b'(md+nb^=gm+n=1

解得加二n——^所以c=2〃+2人,

333

2百

所以

r

故选：B.

7.答案：D

解析：依题意，设2=疝，meR,且加。0,

nl1-i1-i

则——二-----r

z+22+mi

(1—i)(2—mi)2—m—(m+2)i

(2+mi)(2—mi)m2+4

1-i

因——是实数,

z+2

故加+2=0,解得加二一2,

则z=—2i,z=2i,

故z的虚部是2.

故选：D.

8.答案：D

34i_(3+4i)(2+i)

解析：方法一：由题意:z=+

2-i(2-i)(2+i)

2+lli211.

----=—I—i,

555

方法二：根据复数模的性质,

|3+4i|_732+42_5

=也.

l2-ilj2?+(—丁小

故选：D

9.答案：BC

解析：对于选项A,因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误，

对于选项B,因为零向量是方向任意,长度为0的向量，所以选项B正确，

对于选项C,因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确，

对于选项D,向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误,

故选：BC.

10.答案：BCD

l-3i^(l-i)(l-3i)

解析:由题意，复数=-l-2i,

1+i-(l-i)(l+i)

对于A项：z=-L_2i，所以复数z的虚部等于_2,所以A项错误；

对于B项：2=_1-23对应的点(-1,-2)在复平面的第三象限,所以B项正确;

对于C项：z+W=(-l-2i)+(—l+2i)=-2,所以C项正确；

对于D项：因为z+a是纯虚数且a是实数,即“—1—2i为纯虚数，所以a—1=0，解得a=1，

所以D项正确.

故选：BCD.

11.答案：BD

解析：由sinA:sin3:sinC=近：1:3及正弦定理可得a:Z?:c=J7:1:3,不妨设a=J7/"，b=m,

》2+02_。22+92_72]

利用余弦定理可得==5'由可得

4=巴，所以sinA=3.又S4ABC='机'5：1114=迪根2=之叵，解得"2=1,所以。=近，6=],

32AABC244

对于A,设ZVIBC外接圆的半径为R,由正弦定理可得一L=g=2R,所以R=亘，故A

sinA。33

错误；

对于B,解法1：由S4ABC=8小或)+S“CD得，一c・AD,sin—I—b-AD-sin—=-----，即

2o2o4

-(b+c)-ADsin-=AD=^-,故B正确；

解法二：分别作BE,CP垂直于A。，垂足分别为E,F,如图①所示,

图①

=—AD-BE+—AD-CF=—AD-c-sin—+—AD-Z?•sin—

△的222626

=^AD-(b+c)-sin^=AD=^-,故B正确;

Dr\An1o

解法三：由内角平分线定理知，——=——=3,所以AD=—A3+—AC,则

CDAC44

2

-21239227“24,,十.

AD-AB+-ACI=-AB'+-ABAC+—AC=—，所以ADrA=-----，故B正确;

4416816164

些=四=3,所以如也

解法四：由内角平分线定理知，因为

CDAC4

ADUBD^c^AD^CD^-^

cosZBDA+cosZADC=0所以=Q即

2ADBD2ADCD

4AD2+BD2+3CD2-3b2-c2=0所以

\2

22

3xl+3--3x14

^_3b2+c2-BD2-3CD2_—,所以AD=S3,故B

/A\lTy2——7

44164

正确;

对于C,解法一：若。为BC的中点，易知AD=；(AB+AC),如图②所示，所以

IAD|2=；(|ABI?+|+2ABACxl9+l+2x3xlx113V13.

w，可得1叫=故C

92

图②

BD=DC$

解法二因为cosZBDA+cosZADC=0所以

AD2+BD2-C2AD-+CD2-b1C

+---------------二0所以

2ADBD2ADCD

I="，所以4。=史，故C错误;

2242

解法三：由余弦定理知，cos8=.+-—]=诉2皆一仔，

在AADB中，

2ac2xj7x32V7

AD2=C2+(^\-2C--COSB=—,所以AD=反，故C错误;

Uj242

对于D,解法一：延长A。交外接圆于点A，连接AS,A,C,如图③所示,

图③

易知AA即为直径，所以可知A,C1AC,利用投影向量的几何意义可得

22

AO-(AB+AC)=1(A4,-AJB+A4,-AC)=|(|AJB|+|AC|)=1X(9+1)=5,故D正确.

解法二：取的中点H,连接。H,OA,如图④所示，

----_1-212

则WLAB,所以AOAB=(A"+"O>AB=A〃AB=eAB,同理，AOAC=-AC,

1-21-21

所以AO-(AB+AC)=AO・AB+AO-AC=—AB+-AC=-x(9+l)=5,故D正确.故选BD.

222

9

12.答案:—00,------3

2I

解析：由。=(左,3)力=(1,4>得2a—3Z>=(2左一3,-6).

又2a-3b与c的夹角为钝角，

.•.2(2左-3)-6<0,得％<3，

若(2a-3人)〃c，则2左一3=—12，即左=—g.

当左=_|时,2。_3b与c共线且反向，不合题意•

综上，发的取值范围为卜0,-2［一别，

故答案为：~，号|一|小

,〜8A/5

13.答案：—

5

解析：如图，平面AADA与水面的夹角为/4”片，

则平面BMC1与水平桌面的夹角为NAMB].

由题意可得三棱柱43阳-。。内的体积为4*4*1=16,

所以;=16,解得4〃=2,

所以sin幺=&1=型.

1MB,5

水面距离桌面的高度为3与sinA\MB}=呼

14.答案：（-2,15）

解析：设点。为坐标原点，

一点P在线段BA的延长线上，且2BP=3AP，2BP=3AP，

即2（OP—08）=3（0P—OA）,:.OP=3OA-2OB=3（2,3）-2（4,-3）=（-2,15）-

二点P的坐标为（—2,15）.

故答案为：（-2,15）.

15.答案：（1）证明见解析

⑵（i）B/；（ii）16

3

解析：(1)因为j?+C=7i—A，所以sin'*'=sin'——=cos—•

222

又因为cos——=sin—，所以原式左边=2sin—•cos—=sinA=右边，得证.

2222

(2)(i)由(1)可得(c—〃)sinA=csinC—Z?sin6.

又由正弦定理得(c—=c1-b1,即a1-\-c2—b2=ac,

由余弦定理得cosB="2=--

lac2

因为0<5<兀，得B=4.

3

(ii)由题知以.0=86，由SAABc=gacsin3,得ac=32-

又由余弦定理方1=储+02-2accos5，可得/=/+c?-ac=(a+c)2-3ac，

即25=(a+c)2—96，所以a+c=H-

所以a+Z?+c=16，故ZiABC的周长为16・

16.答案：(l)y

(2)2^/3+2

ah

解析：(1)由正弦定理二一=1一

sinAsinB

得asin5=Z?sinA,

所以bsinA=Z?cos〔A—S)

所以sinA=cosfA--=^-cosA+—sinA，

{6J22

整理得sinA=GcosA,

因为A£(0,兀)，所以sinA>0

因此cosA>0,所以tanA=s’11A=6,

cosA

兀

所以A=一.

3

⑵由△ABC的面积为半,

得!历sinA=2,解得bc=§,

233

又c=2b,则。=：百，c=—A/3.

33

1648

由余弦定理得/9=c92+b92-2bccosA=1-------=4,

333

解得a=2,b+c=2百,

所以△ABC的周长为2百+2.

17.答案：(1)证明见解析

(2)AD=A/3

解析：(1)证明：由于上4,底面ABCD,40<=底面43。。，二必，40,

又ADLPB,PAPB=P,PA,P3u平面E4B,..AD,平面B48,

又ABu平面B4B,.•.AD_LAB.

AB1+BC2=AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

A£><t平面尸BC,BCu平面？BC,〃平面尸BC.

(2)由题意知。C,AD,A尸两两垂直，以。为坐标原点，A。所在直线为x轴，OC所在直线为y

轴，过点。且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(0,0,0),设A(a,O,O),

则CD="-/,C(0j4-a2,0),尸(a,0,2),CD=(0,—,4一〃,0(AC=^-a,^4-a2,0

CP=(a,_,4_a?,2).

设平面CPD的法向量为n-(x,y,z),

CDn=O—A/4-y=0

则《,即,可取〃=(2,0,—a).

CPn=Qax-yj4-a2y+2z=Q

设平面ACP的法向量为m=（x”y,zj，

m-CP=0町一力三+210,可取吁（k,a,。）.

则，即1

机•AC=0—axx+“一4/=0

J42

二面角A-CP-D的正弦值为〜一

7

••・余弦值的绝对值为正,

7

\m-n\2"-/_A/7

故|cos〈/n,"〉|=一,

\m\-\n\"―八/.“+/7

又。＞0,=V3,即AD=#.

PF1

18.答案：（1）存在，——=-,理由见解析

PB3

28

⑵§

PF1

解析：（1）当一=—时，CF〃平面PDE.

PB3

理由如下：

过点C作CHJ_团，垂足为H,

在PE上取一点M,使得PM=LpE,

3

连接FM,

因为PF=-PB,

33

所以FM//EB,FM=-EB