2024-2025学年人教版八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）（考查范围：第16~18章）含答案

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（拔尖卷）

【人教版】

考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16〜18章

考卷信息：

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（24-25八年级•重庆・开学考试）

1•估计UI+3］义万的值应在（）

A.18到19之间B.19到20之间

C.20到21之间D.21到22之间

（24-25八年级•山西临汾•期中）

2.如图,在平面直角坐标系中,4B、2三点的坐标分别是（-1,2）,（4,2b（2,-1）,若以

4B、C、。为顶点的四边形为平行四边形，则点。的坐标不可能是（）

Vn

A.,B

Ox

c

A.（7,-1）B.（-3,-1）C.（1,5）D.（2,5）

（24-25八年级•浙江嘉兴•期中）

3.如图，在矩形48co中，42=10,8C=16,点£和尸是边3c上的两点，连接力£、

DF,将AABE和△CDF沿/E、。尸折叠后，点8和点。重合于点则斯的长是（）

试卷第1页，共10页

AD

（2024•山东泰安・模拟预测）

4.如图，在△/8C中，4D是8c边的中线，ZADC=30°,将△4DC沿4D折叠，使C点

落在C'的位置，若BC=4,则8C'的长为（）

A.2GB.2C.4D.3

（24-25八年级•辽宁沈阳・期中）

5.如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=6®，E是8c边的中点，P,M分别是/C,

48上的动点，连接尸E,PM,则PE+P70的最小值是（）

A.6B.276C.36D.4.5

（24-25八年级•河南焦作•期中）

6.如图，点£在正方形N8CD的对角线/C上，且EC=2/E,直角三角形EEG的两直角边

EF、EG分别交8c、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN

的面积为（）

试卷第2页，共10页

G

AD

N

B

F

125

A.—aB.-a2C.D.-a2

4299

（2024•浙江宁波•一模）

7.如图，两个大小相同的正方形48。，EFG/f如图放置，点E,B分别在边AD,尸G上,

若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（）.

A.ABB.AEC.DED.DE-AE

（24-25八年级•陕西咸阳・期末）

8.如图，在口4BCD中,E是边的中点，连接NE并延长交。C的延长线于点R若,

则下列结论：①四边形"3尸C是平行四边形；②DE1AF；③S.ECF=S.ECD；④若

8c=25,DE=24,则/斤=16.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（24-25八年级•浙江杭州•期末）

9.如图在口48CD中，ZABC=60°,8C=248=8,点C关于40的对称点为£,连接3E

交4D于点尸，点G为CD的中点，BG.贝UABEG的面积为（）

试卷第3页，共10页

E

（24-25八年级•广东深圳・期末）

10.如图，在三角形/8C,AB2+AC2=BC2,SLAB=AC,H是8c上中点，尸是射线

上一点.E是4B上一点,连接EF,EC,BF=FE,点G在NC上，连接8G,

ZECG=2/GBC,AE=54i，/G=4后，则b的长为（）

A.9V2B.872C.772D.9

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（24-25八年级•重庆•期末）

11.如图，在口/BCD中，过NC上的点。作PQ//AD,M>N、P、。均在

平行四边形的边上，且CN=32N,S&CON=9,则四边形DM。。的面积为

（24-25八年级•四川乐山•期末）

12.如图，点£、尸分别是菱形ABCD的边、C。上的点，且N8=NEAF=60°,ZFAD=42°,

5>lJACEF=°,

试卷第4页，共10页

AD

（24-25八年级•河南驻马店•阶段练习）

13.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长40=80cm,高48=60cm,水深

AE=40cm.在水面£尸上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼

缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为cm.

（24-25八年级•福建龙岩・期末）

14.如图，菱形48co中，40=110。，点尸在对角线/C上，将ABCP沿5P翻折，得到

LBCF,当NPBC=一时，P、4、。三点共线.

（24-25八年级•安徽六安•阶段练习）

15.如图，在中，ZC=90°,44=30。，AC=40M是/C的中点，N是AB

上任意一点，以血W为对称轴折叠得到AZMW,点/的对应点为点。（点—N,

。在/C的同一侧）.

（1）当时，ZANM=；

（2）当。48时，8N的长为.

（24-25八年级•山东东营•期末）

试卷第5页，共10页

16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形04AG的两边在坐标轴上，以它的对

角线。4为边作正方形OB/ZCZ,再以正方形。片与C2的对角线。与为边作正方形C姒4G…

以此类推，则正方形OB”24s的顶点与025的坐标是

第n卷

三.解答题（共9小题，满分72分）

（24-25八年级•湖南邵阳・期末）

1lx（V5-V4）V5-V4rr

17.阅读下列解题过程:百丁『『二雨口可’请解答下列

问题：

3

（1）观察上面解题过程，计算j而_#■，

（2）请直接写出~f=1的结果.（"21）

7n+«”-1

11111

⑶利用上面的解法,请化简：「亚+石耳+百国+…+标南+诉而

（24-25八年级•山东淄博・期末）

18.如图1,在口4BCZ）中，AB=AD,NB4D=90。，以A为旋转中心，将线段顺时针

旋转，旋转角为翅0°＜々＜90。），得到线段连接DM.

图1图2

⑴求/B地）的度数；

⑵如图2,过点。作。NL3W于点N,连接CN,猜想线段W与线段CN之间的数量关系,

试卷第6页，共10页

并证明.

(24-25八年级•海南储州•期末)

19.如图，某公园有一块四边形草坪/BCD,计划修一条A到C的小路，经测量,

ZD=90°,AD=14m,DC=48m,AB=40m,CS=30m.

(1)求小路NC的长；

(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点3处，小狗从点8开始以2m/s的速度在小路上

沿/的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CN上奔跑时，小狗需要跑

多少秒与萌萌的距离最近？

(24-25八年级•辽宁鞍山・期末)

20.如图，正方形48。的边长为4,点£是8c边上一点，且CE=1,对角线NC,BD

交于点。，点尸是中点，连接B尸；

图1图2

⑴如图1,过点尸作。交C©于点判断四边形2瓦犷的形状并证明；

(2)如图2,若点P是对角线8。上的动点，当AD平分NEP尸时，判断EP,FP,斯之间

的数量关系，并计算EP-EP的值.

(24-25八年级•吉林长春•开学考试)

21.图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△/8C的

顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点

试卷第7页，共10页

图①图②图③

(1)在图①中，连结BM、CM,使/Af=BM=aW；

(2)在图②中，连结BM、CM,使/BMC+/B4C=180。；

(3)在图③中,连结BM,使NCBM+/BAC=90°.

(24-25八年级•江苏无锡•期末)

22.已知，E、尸分别为口/BCD的边8C、3上的动点，将口/BCD沿直线斯折叠，使点C

落在边上的点C'处，点。的对应点为

(1)如图，当点。落在瓦I的延长线上时，求证：四边形EC'。户为平行四边形;

DF

(2)若4B=BC,/5=60。，ECLAB,则丁的值为

AF

(3)若4B=5,BC=6,口4BCD的面积为24,求CE的取值范围.

(24-25八年级•浙江台州•期末)

23.现有四个全等的矩形如图镶嵌(在公共顶点。周围不重叠无空隙)，将不相邻的四个外

顶点顺次连接(如图1、2所示);

图1图2图3

(1)如图1,求证：四边形N3CD是正方形:

⑵判断图2中的四边形EFG”正方形(填“一定是”或“不一定是”)；若已知四边形

4BC。的面积为18,在下列三个条件中：①OC=3；@OA+DH=4,③OD=3AE,再

试卷第8页，共10页

选择一个作为已知条件，求出四边形EFG”的面积，你的选择是（填序号），写出求

四边形EFG//的面积解答过程;

⑶在（2）的条件下，在图2中连接A8,与所交于匕求取"丫+%皿丫的值;

（4）如图3,四个全等的平行四边形，在。点处镶嵌，将不相邻的外顶点顺次连接，若

、影=k,则改=

S四边形"）EFCO

（24-25八年级•重庆九龙坡•阶段练习）

24.如图，点。为ZUBC所在平面内的一点，连接CD,/4BC=30°.

（1）如图1,点。为△/8C外一点，点E在边/C的延长线上，连接BE.若BE=4D,

AB=AC,ZU4c=4/CBE=40°,求一。的度数：

（2）如图2,点。为△4BC内一点，若ZABD=NACD,ZDCB=ZABC,求证：

BD=AC+AD-

⑶如图3,在（2）的条件下，延长/。交2c于点厂，当a/B/为等腰三角形时，请直接

AT）

写出^的值.

（24-25八年级•河南洛阳•期中）

25.定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形

称为“忧乐四边形”.如图1,凸四边形沿对角线NC对折后完全重合，四边形N8CZ）

是以直线/C为对称轴的“忧乐四边形”•

图1图2图3

⑴下列四边形一定是“忧乐四边形”的有（填序号）；

①平行四边形②菱形③矩形④正方形

试卷第9页，共10页

(2)如图2,在矩形48C。中，点£是8c边上的中点，四边形是以直线4E为对称轴

的“优乐四边形”(点M在四边形/BCD内部)，连接并延长交DC于点N.

求证：四边形MECN是“忧乐四边形”

(3)如图3,在四边形4BC。中，AB//CD,AD//BC,AB=3,AD=5,点E是边上的

中点，四边形45EM是以直线/£为对称轴的“忧乐四边形”(点M在四边形/BCD内部),

连接并延长交DC于点N.当是直角三角形时，请直接写出线段CN的长.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题

的关键.

根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案.

【详解】解：+

=^1xV21+3xV21

=7+3向

•••4.52<21<46,

•••4.5<V21<5

•••13.5<3后<15

•••20.5<7+3亚<22

•••(3V21)2=189,142=196,

,3庖<14，

•••7+3亚<21,

•••20.5<7+3721<21

即小；+31亚的值应在20到21之间，

故选：C.

2.D

【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形

结合，可以做出。点可能的坐标，利用排除法即可求得答案.

【详解】解：数形结合可得点。的坐标可能是(-3,-1),(7,-1),(1,5)；但不可能是

(2,5)

答案第1页，共37页

y\约

t、

/

//、

/

—......2

,*\、,,、、

/，1、.，，、、

/\/\

*/、、,,、、

~7ox./

;..............'<.............-•

DyCD2

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键

是在直角坐标系中画出可能的平行四边形.

3.C

【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点M

作尸。，/。于点尸，则尸0，3c于点。，由勾股定理可求MP=6,MQ=4,设

FC=FM=X,则。b=8-x,由勾股定理求出x=5,从而进一步可得出结论.

【详解】解：：四边形42C。是矩形，

:.CD=B4=1Q,BC=4D=16,NB4D=NCDA=NB=NC=9Q°,

由折叠得，AM=DM=AB=1Q,NBAE=NMAE,ZCDF=ZMDF,

NAME=ZDMF=90°,

ZMAD=AMDA,

ZMAE=ZMDF,

:・AAME%DMF,

ME=MF,

过点M作P。，/。于点尸，则尸。,2c于点0,如图，则尸。=8=10,

由勾股定理得，MP=^MD2-DP2=V102-82=6>

MQ=PQ-MP^W-6=A,

设FC=FM=x,贝ij。尸=8-x,

答案第2页，共37页

在直角AA/Q尸中，MQ2+QF2^MF2,

42+（8-x）2=x2,

解得,x=5,

ME=MF=5,

即BE=CF=5,

EF=BC-BE-CF=6,

故选：C.

4.A

【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加

辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键.

根据已知条件和图形折叠的性质可得：ABDC'=\2^,BD=CD=2,过点。作OE_L5U于

E,再由含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：解：是8c边的中线，

BD=DC=-BC=2/ADC=30°,

2

ZADC'=NADC=30°,

...ZBDC=120°,BD=C'D=2,

:"DBC=/BCD=30°,

过点。作DEL5C于£,

BE=y]BD2-DE2=V3，

BC'=2BE=273,

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，作点河关于

答案第3页，共37页

NC的对称点AT,连接尸M',M'E,则PAT=PM,PE+PM=PM'+PE>EM',当

M'EIBC,且点P在ME■上时，则PE+BW取得最小值，利用

S^ABCD=gAC.BD=AD.EM，求解可得答案•

【详解】解：如图，作点M关于NC的对称点AT,连接ME,PM',

■■.PM'=PM,

•••PE+PM=PM'+PE>EM',

当ME_L8C时，点尸在ME上，则PE+PM取得最小值，

•.•四边形/BCD是菱形，

.,.点AT在上，

•••/C=6,BD=6也,

BO=DO=^DB=3y/2,AO=^AC=3,

■■■AB=AD=J（3拒『+3?=3。

由S^ABCD=^AC-BD=AD-EM',

得工x6拒x6=3辰”，

2

解得：EM'=2灰）,

即PE+PM的最小值是2&；

故选：B.

6.C

【分析】过E作EPLBC于点P,E0，CD于点。，可证四边形PC0E是正方形，再

△EPM=^EQN可得S*EQN=S^EPM,从而可得S四边形EMCN=S正方形PC2E，结合已知即可求解.

【详解】解：如图，过E作EP_L8C于点P,E0JLCD于点。，

答案第4页，共37页

G

ZEPM=ZEQN=90°,

••・四边形/BCD是正方形，

/BCD=90°,

ZPEQ=90°,

四边形尸是矩形，

?.ZPEM+ZMEQ=90°,

・•・AFEG是直角三角形，

?.ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,

ZPEM=ZNEQ,

・・・/C是/BCD的角平分线，

ZEPC=ZEQC=90°,

:.EP=EQ,

••・四边形PC0£是正方形，

在△£1尸河和4EQN中，

ZPEM=ZNEQ

<EP=EQ,

ZEPM=ZEQN

:AEPMaEQN(ASA)

-V—V

…°4EQN-*AEPM，

•,§四边形芯必加二§正方形pc°E，

•・,正方形ABCD的边长为a,

AC=y[2a，

•・•EC=2AE,

22A/2

EC=-AC=—^a,

33

答案第5页，共37页

EP=PC=—a,

3

4

，重叠部分四边形EMCN的面积为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形的判定及性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定及性

质，掌握性质，作出恰当的辅助线，通过尸“之将不规则图形的面积转换为正方形

的面积是解题的关键.

7.C

【分析】过B作BNtEH,垂足为N,连接BK,KP,分另lj证明

△BAEN/^BNE,ABNK=ABCK,AKHP=APCK,再将的周长进行转化，得到

ED=KC+KH=CAKQH,可得结果.

【详解】解：过3作8N1E”,垂足为N,连接BE,BK,KP,

,・,两个大小相同的正方形，

：.AB=EF,又•・,乙BE=EB,

；.Rt4ABE三RtAFEB(HL),

・•,UEB=^FBE=^NEB,AE=BF,

同理可得：RtABAE=Rt/\BNE,RtABNK=RtABCK,

"EBK=45。,

：・AE+KC=EK,

,：AE=BF,

；,DE=BG,

vz/7=zC=90°,乙PQC=^KQH,

，乙BPG=cCPQ=cQKH=cEKD,

••△BGP必EDK,

:・PG=KD,

：.PH=KC,

同理可证：AKHP=APCK,

的周长为KC+KH,

答案第6页，共37页

又；AE+ED=EK+KH,AE+KC=EK,

：.AE+ED=AE+KC+KH,

：.ED=KC+KH=/\KQH的周长，

二要求出阴影部分的周长，只要知道线段即的长度,

故选C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换，解题的关键是利

用全等的性质得到线段的等量关系.

8.C

【分析】此题主要考查了平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理

等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进

行计算是解决问题的关键.①根据平行四边形的性质得,进而可证A/BE和△/CE

全等,从而得N8=CF,据此可对命题①进行判断;②证N8/O=2NA4E,ZADC=2NADE,

再根据得2ND1E+2N/D£=：18O。，进而得/D/E+/NDE=90。，从而得

ZAED=90°，据此可对命题②进行判断;③根据E是8C边的中点，4。〃8C得S^ABE=SAECD,

再根据LABE名/\FCE得5,树=S.ECF，据此可对命题③进行判断；④根据为直角三

角形，AD=BC=25,DE=24»利用勾股定理得/£=7,进而得4F=14,据此可对命题

④进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：①•••四边形为平行四边形，如图所示：

答案第7页，共37页

=/2=N4,

・・・£是边的中点，

/.BE=CE,

在△/BE和△尸CE中，

21=Z3

<Z2=Z4,

BE=CE

/.^E^AFCE(AAS),

/.AB=CF,

二•四边形/。咕是平行四边形，

故①正确；

②•・•四边形/5CZ)为平行四边形，

AD//BC,AD=BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZDAE=ZAEB,Z-CED=ZADE,ABAD+ZADC=ISO°,

・・・E是BC边的中点，

/.BE=CE,

•・•AD=2AB,

/.AB=BE=CE=CD,

Z1=ZAEB,ZCDE=ZCED,

Z1=ZDAE,ZCDE=ZADE,

Z.BAD=2/DAE,/ADC=2/ADE,

2ZDAE+2ZADE=180°,

即/D4E+乙4Q£=90。，

/./AED=180。-+ZADE)=90°,

即DE.LAF,

故②正确；

③・・・E是BC边的中点，AD//BC,

,"S4BE=S4ECD，

・・・/\ABE^/\FCE,

一S4ABE=S4ECF，

答案第8页，共37页

•C-c

-u^ECF-n^ECD，

故③正确；

（4）ZAED=90°,

.4/瓦）为直角三角形，

VBC=25,DE=24,

AD=BC=25,

在Rt^NED中，AD=25,DE=24,

由勾股定理得：AE=y]AD2-DE2=7-

•••AABE咨AFCE,

EF=AE=1,

AF=AE+EF^14,

故④不正确.

综上所述：正确的命题是①②③，

故选：C

9.B

【分析】如图，取8c中点“，连接/〃，连接EC交AD于N,作交8的延长

线于M.构建S=S八RCK+S2CG-SZRCG计算即可.

【详解】解：如图，取8c中点H,连接EC交4D于N,

BA=BH=CH,

：.AABH是等边三角形,

HA=HB=HC,

ABAC=90°,

；./ACB=30°,

答案第9页，共37页

•・,ECIBC,/BCD=180°-/ABC=120°,

・•./ACE=60°,ZECM=30°,

•・•BC=2AB=8,

；•CD=4,CN=EN=2道,

：・EC=ABEM=2日

S&BEG~S&BCE+S&ECG-S&BCG,

=-X8X4V3+-X2X2A/3--X8X2V3,

224

=166+26-4百，

=14班，

故选：B.

【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、

直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问

题.

10.D

【分析】延长EN到K,是的NK=/G,连接CK,先由勾股定理的逆定理可以得到A43C是

等腰直角三角形，4BAC=9Q°,乙乙42c=45。，由得至Q4FBE=/^FEB,设

ABFE=x,贝U/EAF=g(180O-NAFE)=90O-；x,然后证明C2=PC=1芭，得至Ij

乙FBC=cFCA,贝l|/FC4=90°—gx,E3尸=；(180°-/3庄)=90°-；X即可证

明/EFC=NN尸E+//斤C=90。，推出C/=变。£；设/ECG=2/GJ5C=2了，证明

2

/^ABG三想CK,得至IJ/K=ZAGB=ZACB+ZGBC=450+y,

ZACK=ZABG=ZABC-ZGBC=45°-y,即可推出得到EK=EC,贝U

EK=AE+AK=AE+AG=942，由此即可得到答案.

【详解】解：延长E4到K,是的/K=/G,连接CK,

・•・在三角形NBC,AB2+AC2=BC2,SAB=AC,

.•.A42C是等腰直角三角形，NA4c=90。，

4cB=UBC=45°,

'-BF=FE,

答案第10页，共37页

：/FBE=dEB,

设MFE=x,则N仍b=；(180。—N8FE)=90。—

•・•"是5C上中点，厂是射线47/上一点，

:.AH1BC,

.・/»是线段的垂直平分线，加C=45。，

:・CB=FC=FE,

•♦/FBC=dCA,AAFB=UFC

ZFCA=90°-1x,EBF=；(180。一NBFE)=90°

ZAFB=ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=45°+-x,

2

/.ZAFE=ZAFB-ZBFE=45°--x,

2

・•・ZEFC=ZAFE+ZAFC=90°,

-EF2+CF2=CE2,

-CF=—CE,

2

设ZECG=2ZGBC=2y,

-AG=AK,AB=AC,Z-KAC=^GAB=90°,

••.△ABG三AACK("S),

ZK=ZAGB=ZACB+ZGBC=45°+y,NACK=/ABG=/ABC-ZGBC=45°-y,

:.NECK=NACE+ZACK=450+a,

・・"CK=4

・・・EK=EC,

EK=AE+AK=AE+AG=9c，

••・EF=EK=972,

.*.CF=9,

故选D.

答案第11页，共37页

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂

直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识

是解题的关键.

11.6

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ

都是平行四边形，然后证明根据CN=38N,$根丽=9求出Sv。”即可求

解.

【详解】解：••・四边形是平行四边形，

：.AB\\CD,AD\\BC.

-MN//AB,PQ//AD,

••・四边形APOM,BPON,CNOQ,DMOQ都是平行四边形,

•••S4ABe-APO—SAACNO=S"DC—-,

S^APO=SxAMO，S“BCSAADC，S&ACNO=S&CQO，

S口BPON~S口DMOQ•

VS/\CON~9，

*'•=18,

-CN=3BN,

.V-J_V-A

•,aBPON~3^aCNOQ~u

•••S口BPON=S口DMOQ=6.

答案第12页，共37页

故答案为：6.

12.18°##18度

【分析】首先证明然后推出/E=/尸，证明△/£尸是等边三角形，可求出

ZAFD,/CFE的度数，从而可求NCE尸的度数.

【详解】解：连接NC,

AD

菱形ABCD,

BEC

AB=BC,ZB=ZD=60°,

.•.A/8C为等边三角形，/BCD=120。

/.AB=AC,/4CF=工/BCD=60。,

2

ZB=ZACF,

••・△Z5C为等边三角形，

ABAC=60°,即/B/E+/E4C=60。，

又NEAF=60。,gpZCAF+ZEAC=60°,

NBAE=ZCAF,

在与△ZC厂中，

rZB=ZACF

<AB=AC,

/BAE=NCAF

.•.△Z3E之尸(ASA),

AE=AF,

又/EAF=/D=60。,则△ZE尸是等边三角形，

/.ZAFE=60°,

又//即=180。-/"。-/。=180。-42。-60。=78。,

则ZC/^=180°-78°-60°=42°.

・•.ZCEF=180°-ZECF-ZCFE=180°-120°-42°=18°.

故答案为：18。.

【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形

答案第13页，共37页

的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

13.100

【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径

求出解.作出/关于3c的对称点4,连接4G,与交于点Q,此时/0+QG最短；A'G

为直角A/'EG的斜边，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示作出《关于8。的对称点4,连接HG,与交于点Q,蚂蚁沿着

/一。-G的路线爬行时路程最短.

则A'B=AB=60cm,

根据题意：BE-AB-AE=20cm,EG=60cm,

A'E=A'B+BE=80cm,

•••AQ+QG=A'Q+QG=A'G=yjA'E2+EG2=100cm，

•••最短路线长为100cm,

故答案为：100.

14.25°或85°

【分析】当p、G、。三点共线时，分两种情况：①当。在线段上时，连接2。，②

当。在GP延长线上时，连接PD,BD-,由轴对称的性质易证得ABPC丝A/£（SAS）,则

NBCP=NBCF；设ZPBC=4PBG=x,由菱形的性质及ND=110。容易求得菱形内各个角

的度数；然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况

下NP8C的度数.

【详解】解：当P、G、。三点共线时，分两种情况：

①当。在线段尸G上时，如图，连接2D,

答案第14页，共37页

G为。关于取的对称点,

BC=BCX,ZPBC=/PBG,PB=PB,

:.^BPC^BPCX(SAS),

?./BCP=/BC]P,

设NPBC=/PBC]=x,

,四边形/BCD为菱形，且

ZBCD=180°-ZADC=180°-110°=70°,CD=CB,

180°-ZBCD1800-70°

/CDB=ACBD==55°,

22

/.ZDCP=/BCP=/BC[P=1/BCD=1x70°=35°,

NCBC[=NPBC+NPBC]=x+x=2xf

:./DBC]=ZCBC,-ZCBD=2x-55°,

?.NBDP=ZDBQ+/BC/=2x-55°+35°=2x-20°,

・・•尸在菱形ABCD的对角线AC上，

1.PD=PB,

ZPBD=ZBDP=2x-20°,

又­/ZCBD=ZPBD+ZPBC=2x-200+x=3x-20°,

而NC5r)=55。，

3x-20°=55°,

x=25°；

②当。在延长线上时，如图，连接尸D,BD,

答案第15页，共37页

・・・ZCBD=55°,

ZPBD=ZPBC-ZCBD=x-55°,

又•・•夕在菱形ABCD的对角线ZC上，

:.PD=PB,

，/PBD=ZBDP=x-55°,

/BPD=180°-ZPBD-ZBDP=180°-(x-55°)-(x-55°)=290°-2x,

又/BPD=/BC]P+/PBC]=ZBCP+/PBC=35°+x,

290°-2x=35°+x,

x=85°；

・•.当N尸5。=25。或85。时，P、G、。三点共线，

故答案为：25。或85。.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，三角形的

内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，用解方程的思想解决问题是

解题的关键.

15.12005+石##石+5

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：

（1）当"。时，由直角三角三角形的性质，求出/4W=60。，再根据折叠的性质可

得乙iMN=NNMD=30。,最后利用三角形内角和定理即可求解；

（2）过点M作腔，AB于点£,根据折叠的性质可知

zL4iW=ZACVD=|x（180o+90°）=135°,证明ME=NE,利用直角三角形的性质求出

AM=2拒,NE=MEM,利用勾股定理求出/£=3,进而求出/N=3-VL同理求出

答案第16页，共37页

48=8,由=-/N即可求解.

【详解】解：(1)■■-MDLAB,

：.ZADM=90°,

■■ZA=30°,

ZAMN=90°-ZA=60°,

由折叠的性质可得"MN=/NMD=|ZAMN=30°,

ZANM=180°-Z^-ZAMN=120°,

故答案为：120。；

(2)过点〃作于点E,

vDNYAB,

ZAND=ZEND=90°,

根据折叠的性质可知NANM=NMND=|x(180°+90°)=135°,

.-.ZMNE=45°,

■.ZMNE=ZNME=45°,

.：.ME=NE,

•・•〃是/C的中点，4c=46,

AM=-AC=2y/3,

2

VZA=30°,

.-.NE=ME=-AM=y/3,

2

■■AE=-JAM2-ME2=3，

■■AN=AE-NE=3-y/3,

•••ZC=90°,N4=30°,AC=4y/3,

答案第17页，共37页

AB=2BC,

•••AB2-BC2=3BC2=AC2=48,

BC=4,

.♦.48=8,

：.BN=AB-AN=8-©-道)=5+道,

故答案为：5+6.

16.(21013,21013)

【分析】本题考查了规律型：点的坐标.根据题意，可以从各个3点到原点的距离变化规

律和所在象限的规律入手.

【详解】解：由图形可知，3+2?=20,

2

OB2='(2⑹2+(2夜『=2x(V2)=4,

OB.=742+42=2x(何=472,

每一个2点到原点的距离依次是前一个2点到原点的距离的0倍，同时，各个3点每次旋

转45。，每八次旋转一周.

・,・顶点巴网到原点的距离2x(后厂”=2ioi3,

•1•2024=253x8,

二顶点与网的恰好在x轴的正半轴上，

二顶点与您的恰好在第一象限角平分线上，

••・顶点旗25的坐标是(2吗*)

故答案为：(*匕2⑹3).

17.(l)V10+V7

(2)}\——=4n-J〃-1(«>I)

(3)9

【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：

答案第18页，共37页

(1)利用分母有理化进行求解即可;

(2)利用分母有理化进行求解即可;

(3)先进行分母有理化，再进行求解即可.

3(9+⑺

［详解］(1)解：原式=/广二厂\(」广、=y/lO；

(V10-V7)(710+V7)

1>Jn—y/n-1

=yfn-y/n-l(n>1).

(2)-JTi+y/n-I+J"-1)

(3)M^=V2-l+V3-V2+V4-V3+...+V99-V98+Vi00-V99=10-l=9.

18.(1)45°

Q)BM=6CN，证明见解析

【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等

的判定与性质:

(1)利用等边对等角结合三角形内角和定理分别求出即可解答;

(2)利用平行四边形的性质证明/EC8=/NCD,进而推出/E=/DNC,再证明

△CZW&ACB/AAS),得到。N=BE,CN=CE,根据N8MD=45。，ZMND=90°,即可

证明.

【详解】(1)解：,・•/8=AD,AD=AM,

1QAO_乳1

/.ZAMD=ZADM=----------=90°——a,AB=AM,

22

180。一90。一a1

/./AMB=/ABM=------------------=45°--a

22

45°-1a

NBMD=AAMD-NAMB=90°--a-=45°；

2

(2)解：BM=CCN,

证明：过点C作CELCN交MB的延长线于点E

AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BC

AB=AD,ABAD=90°

答案第19页，共37页

/.BC=CD,ABAD=ZADC=/BCD=90°

:.ZDCN+ZNCB=9Q°,

又:NECB+NNCB=90。

:"ECB=ANCD

■：ZDNC+ZCNE=90°,ZE+ZCNE=90。

NE=ZDNC

ZCND=ZCEB

在△CDN和MBE中，＜ZDCN=ZECB

CD=CB

:ACDNaCBE(AAS)

DN=BE,CN=CE

■：ZBMD=45°,ZMND=90°

:.MN=ND

MN=BE

:.BM=NE=4iCN.

19.(l)50m

(2)24秒

【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

(1)先运用勾股定理列式计算，即可作答.

(2)先证明448。=90。，再运用面积法，得出BH=24,根据勾股定理列式计算得出

HC=y]BC2-HB2=18m＞最后结合运动速度，即可作答.

【详解】(1)解：•20=90。，AD=14m,DC=48m,

.,.在Rt"DC中，AC=+DC?=50(m),

小路NC的长为50m；

(2)解：如图所示：过2作BHLNC,

答案第20页，共37页

AB

C

依题意，当小狗在小路C/上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近.

AB=40m,CB=30m.AC=50m,

•••AC2=2500,AB2+BC2=2500,

AC2=AB2+BC2,

:.NABC=90°,

^\S^ABC=^ABXBC=^AC^BH,

口…,ABxBC40x30、

即^=F-=24(m),

JiDU

HC=YIBC2-HB2=18m

,•,小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿8fC—4的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，

.­.77C+5C=18+30=48(m),

则48+2=24(s)

・•・当小狗在小路◎上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近.

20.(1)四边形2£7十是平行四边形，证明见解析

(2)EP2+PF2=EF2,EP-FP=1

【分析】(1)如图，过点尸作尸GL4D于点G,结合正方形的性质证明四边形加G是矩

形，得GD=FH,GF=DH,根据勾股定理及正方形的性质得/C=+DC?=4母，

AO=；AC=2收,继而得到力/=；/。=0，在AG/F中，推出/尸二血/G，求得

NG=1,得至IJF〃=OG=2。一/G=3,进一步推出取=8£=3,即可得证；