2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练：分式概念与基本性质（知识解读+达标检测）解析版

第01讲分式概念与基本性质

题型归纳

【题型1分式的定义】

【题型2:分式意义的条件】

【题型3分式的性质】

【题型4分式的约分】

【题型5最简分式】

【题型6分式的通分】

基础知识,知识梳理理清教材

知识点1：分式相关概念

A

定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母,那么式子一叫做分式.其

B

中A叫做分子，B叫做分母..

1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；

2.分式有意义的条件：BW0；

3.分式值为0的条件：分子=0且分母WO

题型分类深度剖析,

【题型1分式的定义】

【典例1】在代数式5,p9爪中，是分式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键.根据分式的定义，依次判

断即可.

【详解】解：根据分式的定义9,2,二4；为分式，有2个，

ci

故选：B.

【变式1-1】下列式子是分式的是（）

【答案】c

【分析】本题考查的是分式的定义，如果a3表示两个整式，并且3中含有字母，那

么式子3叫做分式，根据分式的定义对各选项进行分析即可.

【详解】解：A、|，y是整式，不符合题意；

B、乎是整式，不符合题意；

C、5是分式，符合题意；

D、，一|是整式，不符合题意.

故选：C.

【变式1-2】下列代数式是分式的是（）

3yy

A-B.2+IC.xyD.

【答案】A

【分析】此题考查了分式的辨别能力，形如《（其中A、B是两个整式，并且A中含有字

母）的式子，叫作分式.据此判断即可.

【详解】解：A、2是分式，符合题意；

x—1

B、±+1是整式，不符合题意；

C、孙是整式，不符合题意；

D、需整式，不符合题意.

故选：A.

【变式1-3】在式子?高言袈把中，分式有（）个

XIIXTJ.QJ

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意兀不是字母，是常

数.根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，

据此即可得到答案.

【详解】解：式子§3,言，竽二1中，分式有学，言，共2个，

XJiXTJL。JXXiX

故选：B.

【题型2:分式意义的条件】

【典例2】如果分式吾有意义，那么x的取值范围是（）

A.%W3B.%W2C.%W—2D.%W0

【答案】c

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0,据此求

解即可.

【详解】解：•.•分式言有意义，

+2W0,

：.xH—2,

故选：C.

【变式2-1】要使分式黑有意义，”的取值应满足（）

A.x牛—5B.久。2

C.%工2且］±-5D.%H2或1H—5

【答案】A

【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0,进行列式计算，即可作答.

【详解】解：•.•分式案有意义，

：.x+5。0,

/.%W—5,

故选:A.

【变式2-2］若代数式三有意义，则实数X的取值范围是

【答案】%*1

【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为。时，分式有意义，进行求

解即可.

【详解】解：若代数式三有意义，贝卜―1力0,

解得：％wl；

故答案为：

【变式2-3】若分式争的值等于0,贝反的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据分式有意义和分式

的值为0的条件可得2,据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为0的

条件是解题的关键.

【详解】解：根据题意得石；；；0,

解得久=1,

故答案为：1.

基础知识,知识梳理理清教材

知识点2：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分

式的基本性质，用式子表示是：白=《上，白=土丝（其中M是不等于零的整

BBxMBB^M

式）.

注意：

（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中BW0是已知条件中隐含着的条件，一般

在解题过程中不另强调；MW0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质

时，必须重点强调MN0这个前提条件.

（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值

X2-1_X-1

范围有可能发生变化.例如：V+x-X,在变形后，字母X的取值范围变大了.

题型分类深度剖析,

【题型3分式的性质】

【典例3】如果把分式：背中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（）

A.扩大10倍B.缩小为原来的亲C.不变D.缩小为原来的义

【答案】B

【分析】本题考查了分式的基本性质.根据分式的基本性质解答即可.

【详解】解：把分式黑中的%和y都扩大10倍后可得：黑黑=焉•翳，缩小为原来的

1

w-

故选：B.

【变式3-1］若将分式篇中x、y都扩大为原来的10倍，则分式的值（）

A.不变B.扩大为原来的10倍

C.缩小为原来的白D.扩大为原来的100倍

【答案】B

【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化.解题的关键在于对知识的

熟练掌握.根据分式的基本性质判断作答即可.

【详解】解：分式篇中的x,夕都扩大为原来的10倍，则分式趣制=舞=1。'

3xy

x+5yf

则分式的值扩大为原来的10倍，

故选:B.

2x

【变式3-2］把分式Y中的X和y都扩大2倍，分式的值（）

1

A.不变B.扩大4倍C.缩小5D.扩大2倍

【答案】A

【分析】此题考查分式的性质，先根据分式的基本性质进行计算，即可求出答案.

2r

【详解】解：分式有中的X和y都同时扩大2倍，

_^曰2x2%4%2x

'^2x+2y-2（x+y）-x+y

所以分式的值不变.

故选：A.

【变式3-3］若把分式气中的a,b都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A.扩大为原来的3倍B.扩大为原来的9倍

C.缩小为原来的!D.不变

【答案】C

【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式,

分式的值不变.

a,6都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3a和3b.用3a和3b代替式子

中的。和6,看得到的式子与原来的式子的关系.

【详解】解：由题意得：募/嗤”需="需,

二分式的值缩小为原来的小

故选：C.

基础知识,知识梳理理清教材

知识点3：分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改

变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.

注意：根据分式的基本性质有—上6二巳b，」—b=二b.根据有理数除法的符号法则有

-aaa-a

心=2=-2.分式q与—q互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中

a-aabb

起着重要的作用.

知识点4：分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值,

这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外）,

那么这个分式叫做最简分式.

题型分类深度剖析,

【题型4分式的约分】

【典例4】化简:,其结果为（）

—2a+l

a+1a—1

A.a+1B.CL—1a—1D.a+1

【答案】C

【分析】本题考查分式的约分，涉及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，是重要

考点，掌握相关知识是解题关键.利用完全平方公式与平方差公式进行分解因式，再约

分化简即可.

【详解】解:

a2—2a+l

(a+1)(a—1)

(a—1)2

a+1

a-19

故选：c.

【变式4-1】下列分式的约分中，正确的是（）

c2x—yy

B-

、1—a1xy—x2___士

D.

"a2—2a+l1—a(%—y)2x~y

【答案】C

【分析】本题考查了分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式.

分别根据分式的基本性质进行化简得出即可.

【详解】解：A.*=乂，此选项约分错误;

—acac

B.岁不能约分，此选项错误；

c•占=&=白，此选项正确;

D-/=言，此选项错误；

故选：C.

【变式4公约分：驾=

【答案】-3a

【分析】本题考查了分式的约分，找出分子分母的公因式约去即可，掌握分式的性质是

解题的关键.

【详解】解：噜;=崂?=一3a,

—2ab—Zab

故答案为：-3a.

【典例4-3】化简:

16%2y32

(2)0^2+26⑶/器—4;a+6tz+9

(D-2Oxy4(4)a2—9

【答案】⑴捺

(2)ab+2

x—2

⑶〒

⑷一

【分析】本题考查分式的约分;

(1)分子分母提取公因式后约分即可；

(2)分子分母提取公因式后约分即可；

(3)分子分母因式分解后约分即可；

(4)分子分母因式分解后约分即可.

【详解】(1)箸=詈片=£；

20xy4xySy

ab2+2bb(ab+2),

(2)—■——=——-——=ab+Q2；

bb

2

(z_)x-X--4-=-(-X--2--)(-X-+-2-)=-X---2•

xy+2yy(x+2)y'

a2+6a+9_(a+3)2_a+3

-

a2_9(a+3)(a-3)->

【题型5最简分式】

【典例5】在下列分式中，最简分式是()

Aq〜二2a+l

B2Cm+2D.

A，5-3x°，-a+2a-l2a2b+l

【答案】D

【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即

可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键.

【详解】解：A、^=——-=-1,不是最简分式，不合题意;

B、二;二^^二六,不是最简分式，不合题意；

—az+2a—1—(a—1)"a—1

C、S=p不是最简分式，不合题意；

2am十"z

D、碧，是最简分式，符合题意；

故选：D.

【变式5-1】下列分式中是最简分式的是（）

2%x-yX2+2X+11-X

A.力B.—C.支D.—r

4x2x+yx+lX-1

【答案】B

【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式的定义解答即可.

2Y1

【详解】因为所以A不符合题意；

因为老是最简分式，所以B符合题意；

因为立罕="半=%+1,所以c不符合题意；

x+1x+l

因为二=-1，所以D不符合题意.

故选：B.

【变式5-2】下列分式中，为最简分式的是（）

3a2aa+2a2—ah

A.-5^a37b72B.cr+3aC.a2+2D.a7—b2

【答案】C

【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再

约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的

因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.根据最简分式的定义分别对每一

项进行判断，即可得出答案.

【详解】解：选项A、言7=4,不符合题意；

5。沙Sa*b

2/717

选项B、石，=总，不符合题意；

a"+3aa+3

选项C、零不能约分，符合题意；

a"+2

选项D、仔=湍蒜=黑，不符合题意，

故选：C.

【变式5-3】下列分式是最简分式的是（）

4x+l2x1—x

Ac2---D

-五B-KJx+l-曰

【答案】C

【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因

式时叫最简分式.根据最简分式的定义，即可求出答案.

【详解】解：A、2=|,不是最简分式，不符合题意；

B、含=即口=六，不是最简分式，不符合题意;

2%

、F是最简分式，符合题意；

Cxz+l

D、2=一U=一1，不是最简分式，不符合题意；

故选：C.

基础知识知识梳理理清教材

知识点5：分式通分

与分数的通分类似,利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式,

不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做

分式的通分.

题型分类深度剖析,

【题型6分式的通分】

【典例6】通分:

4a3c5b13

^Sb*2c10a2b"-2ac2；

4—2x,

8a3c3儿325a/

【答案】（1）10a2b2c210a2b2c2'10a2b2c2

3(汽+2)

（2）2（久+2）（久—2），2(x+2)(x-2)

【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键.

（1）先求出最简公分母是10a2b2c2,然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答;

（2）先求出最简公分母是2（%+2）（%-2），然后根据分式的基本性质进行计算，即可解

答.

【详解】（1）解：最简公分母是10a2b2c2,

所以工=8a3c

10a2b2c2

3c3后

10a2b10a2b2c2

5b_25ab3

-2ac210a2b2c2

(2)解：最简公分母是2(%+2)(%-2)，

所以一^=----------

加女工2_42(x+2)(x-2)»

3_3(%+2)

4-2x=-2(%+2)(>-2)，

【变式6-1】通分:

4a3c5b

⑴?10a2b，—2d；(2)%2_/4—2%；⑶五，3y(x-y)2

1

x2(%-y),

【答案】(嘿六3儿325ab3

110a2b2c2,10a252c2

(2)2(X+£_2)，-2(XX-2)=

3xy(x-y)22，6y(%_y)

2)6/yQ—y)2'6%2y(%—y)2,6x2y(x—y)2

【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)先求出最简公分母是10a262c2,然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答;

(2)先求出最简公分母是2(x+2)0-2)，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解

答；

(3)先求出最简公分母是6x2yQ_y)2,然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：最简公分母是10a2b2c2,

日以、j4a_4a.2a2c_8a3c3c3c-be?_3儿35bSb5b-5ab2

5b2c5b2c-2a2c10a252c2'i0a2b10a2b•*-io。2b2c2，-2ac22ac22ac2-5ab2

25ab3

10a2b2c2

(2)解：最简公分母是2(%+2)(%-2)，

所d=1=_____?_____3_3_3(%+2)

"少％2_4—(x+2)(x-2)-2(》+2)0-2)'4-2x-2(x-2)-2(%+2)(%-2);

(3)解：最简公分母是6%2y(%_y)2,

gr-pi1_l-3xy(x—y)2_3xy(x—y)21______l-2x2_2x21

加以五一2x-3xy(x-y)2-6x2y(x-y)2'3y(x-y)2-3y(x-y)2-2x2-6x2y(x-y)2'x2(x-y)

6y(x—y)6y(x—y)

x2(x-y)-6y(x—y)6x2y(x—y)2,

【变式6-2】通分：

11

⑴商，一犷(2)》2_y2，x2+xy,

【答案】1已a“b=a^b7，ab"Wb"

1x1x—y

2

(2)*2_y2—x(x+y)(x-y)'x+xy—x(x+y)(x-y)

【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)先求出最简公分母是a2b2,然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答;

(2)先求出最简公分母是x(x+y)(久-y),然后根据分式的基本性质进行计算，即可解

答.

1Ixbb

【详解】(1)解：工a2b-b—a2b2'

22a2a

~ab2-~ab2-a~~a2b2

(2)触：x2-y2—(x+y)(x-y)—x(x+y)(x-y)—x(x+y)(x-y),

11l-(x-y).—y

x2+xy-%(x+y)-x(x+y)-(x-y)-x(x+y)(x-y),

、2xyx

【变式6-31(1)通分：诉和亏7(2)约分:

Tn2+2mn+nz

2xy(x—y)x(x+y)m-n

【答案】(1)(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-y)(2)m+n

【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键

是找出分子分母的公因式.

(1)找出两分母的最简公分母，通分即可；

(2)原式变形后，约分即可得到结果.

■、、，一■-2xy2xy(x—y')xxx(x+y)

2

【详解】解：(I)(x+y)2=(x+y)2(x_y)-x2-y2=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)

(m+n)(m-n)=m-n

’2原K(m+n)2m+n-

达标测试

一、单选题

1.若分式髭有意义，贝汉的取值范围为()

A.B.x—1C.%W±1D.%取任意实数

【答案】B

【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键;

根据分式的分母不为0即可求解.

【详解】解：要使分式含有意义，贝Ik+IKO,

解得-1,

故选：B.

2.下列各式：号,三，3—楙中，分式共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；

根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式.

【详解】解：嘤，3-1的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.

罄的分母中含有字母，因此是分式，共2个.

故选：B

—CL

3.下列分式与〜相等的是（）

人y

aaaa

C—

A-x---y-B•-x+y〜x+yDx+-y-----

【答案】B

【分析】本题考查了分式的化简，根据分式化简判断即可，准确分析判断是解题的关键.

-CLClClCL

【详解】解：—x—y——（X—y）——x+y9

故选：B.

4.下列分式中，属于最简分式的是（）

42%x—11—X

D.

A.五B.不C.』x—1

【答案】B

【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断.本题考查了最简分式：一个分式的分

子与分母没有公因式时，叫最简分式.

【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2,不属于最简分式，故A选项不符

合题意；

B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意；

C、该分式的分子、分母中含有公因式（久-1）,则该分式不是最简分式，故C选项不符合

题意；

D、该分式的分子、分母中含有公因式（1-尤），则该分式不是最简分式，故D选项不符合

题意；

故选：B.

5.下列各式成立的是（）

_—_a_+_b——a+b—a+b—a-b

A.—a—ba-bB.—a—b—a+b

—a+b—a—b—a+b—a+b

____—D.____—

C.—a—b—a+b—a—ba+b

【答案】D

【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可.

【详解】解：A、V片片，不符合题意；

—CL—DCL—u

B、老片芸，不符合题意；

*者力共，不符合题意；

D、葺一日，符合题意；

故选D.

二、填空题

9

6.当x时，分式「有意义.

【答案】力5

【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为。列式求解即可.

【详解】解：•.•分式上有意义，

：.5—xW0,

解得，

故答案为：H5.

7.己知5=（=（,那么?的值为一.

1

【答案】g/0.125

【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可.熟练掌握设参法，是解题的

关键.

【详解】解：设.=]=4=4，则：x=2k,y=3kfz=4k,

x+y—z__2k+3k-4k_1

•'2z——2Ak——8；

故答案为：

o

8.已知分式岩（a,6为常数）满足表格中的信息：

X的取值12

x+a分式无意义分式的值为0

x-b

则a+b的值是.

【答案】-1

【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分式的分母为。时，

分母无意义，分式的分子为0,分母不为0,分式的值为0,分别求出a,b的值，进而求

出代数式的值即可.

【详解】解：由题意，得：1—b=0,2+a=0,

•••b=l,a=—2,

+b=-1；

故答案为：-1.

9.分式1彳3;与高的最简公分母是.

【答案】4x3y

【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键.

取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作公分母，即可求解.

1Q

【详解】解：分式后与定