2024-2025学年重庆市万州区万州区高一数学下学期3月月考检测试题（含答案）

2024-2025学年重庆市万州区万州区高一数学下学期3月月考

检测试题

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.

1.下列说法错误的是()

A.回啊

B.%,是单位向量，则同=同

C.若网>|回，^\AB>CD

D.任一非零向量都可以平行移动

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的有关概念即可.

【详解】对于A项，因为①=-成，所以|CD|=|衣|,故A项正确;

对于B项，由单位向量的定义知，同故B项正确；

对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；

对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.

故选：C.

___abc

2.设非零向量凡及。，若。二日+南+日则的取值范围为。

同\b\lcl，

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,3]D.[1,2]

【答案】C

【解析】

【分析】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案.

abc

【详解】因为曰，田，鼻是三个单位向量，

H\b\lcl

因此，当三个向量同向时，取得最大值为3；

当三个向量两两成120。角时，它们的和为0,也即问的最小值为0,

所以，的取值范围为[0,3].

故选：C

3.若向量£与B的夹角为60。，忖=4,«+2可-口—3可=—72,则0等于()

A.2B.4C.6D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得口.

【详解】因为(〃+25)・(〃-3同=〃2一〃出一6片

=|^|2-1^|•|S|-cos60°-61^|2=问?_2同-96二一72,

0—2同—24=0,解得同=6(负根舍去).

故选：C

4.已知单位向量的夹角为则忸+6q=()

A.9B.屈C.10D.3A/10

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由平面向量模的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得恒+6彳=25同2+60£%+36帆1=61+60xlxlxcos5=91,

故3a+6+7^1.

故选：B.

5.已知。：向量1=(—1,1)与5=(m,2)的夹角为锐角.若。是假命题，则实数用的取值范围为

()

A.(—2,2)B.—2)u(—2,2)

C.{-2}u[2,+。)D.[2,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量夹角为锐角得到关于用的不等式组，进而求得加的取值范围，再结合P为假命

题取加的取值范围的补集即可得解.

【详解】当向量向量Z=（-M）与3=（加,2）的夹角为锐角时，

_m+2>0

有£•石>0且£与石方向不相同，即<_，解得m<2且加。一2,

m^-2

因为P是假命题，所以实数机的取值范围是{-2}U[2,«»）.

故选：C.

6.已知三点A,8C共线，OB,OC不共线且A在线段8c上（不含BC端点），若OA=xOB+yOC,

14

则IT不的最小值为°

7Q

A.不存在最小值B.-C.4D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】结合已知条件，由三点共线充要条件可知无+y=l,所以x+y+l=2,由“乘1”法

结合基本不等式即可求解.

【详解】设函=砺+丽，因为/在线段8c上（不含先■端点），

所以由向量共线定理设BA=ABC,（0<2<1）,

所以况=历+丽=砺+九配=砺+4（丽+诙）=（1—/I）砺+2正，

由题意有。4=xQB+yOC,所以x+y=（1—X）+/l=l,所以x+y+l=2,

、

14（+4+y+i4x>1（5+2^）9

所以一+—;+----

2

xy+1y+i7

y+14%]=—

---------3

当且仅当彳xy+1,即j1时,等号成立.

x+y=l

149

所以一+一7的最小值为己.

xy+12

故选：D.

7.在AA3C中，点。在边A3上，且80=2m.点E满足函=2函.若A3=AC=6,

ABAC=6,贝1网=O

A.而B.2A/3C.12D.11

【答案】A

【解析】

【分析】先根据平面向量的线性运算将近用前,；W表示，再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】因为8D=2ZM，所以莅=；砺，

因为①=2函，所以E为CD的中点，

则/=而+崖=赤+工配=

2

1—-1—.1—-1—.

=-AC+-AD=-AC+-AB,

2226

故时次+g荏=(QAC+|ABJ

=^AC2+^AB2+|AC=V9+1+1=VTT

故选:A.

8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花

隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形A5CDEFGH的边长

为2,P是正八边形A5CDEFGH八条边上的动点，则通的最小值为（）

A.72B.0C.-2^/2D.-472

【答案】C

【解析】

【分析】根据尸的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】设屈=6,

当尸与A重合时，APAB=O;

当尸在线段A3（除A）、线段3C、线段CD,线段OE,线段EF（除P）点上运动时，

0<6><|,cos^>0,所以•通=|通,题|<056»>0,

当尸与R重合时，8所以Q•初=|衣'丽|<058=0,

以A为原点，AB，■分别为X，〉轴建立平面直角坐标系，

根据正八边形的性质可知4/=2+12乂$:111：[乂2=2+2、/5,2COS：=J5,

则网0,2+2应）,6卜血,2+夜）,”卜上,虎）,5（2,0）,

直线Gb的方程为y=x+2+20,直线G"的方程为％=-后，直线的方程为丁=一次,

当尸在线段Gb（除/）上运动时，设。卜,工+2+2、历）/J5Kx<0）,

所以福.通=（x,x+2+2后）-（2,0）=xe[—夜,0）,

当尸在线段G"上运动时，设「卜行,。（拒《/<应+2）,

所以Q.通=卜友,）（2,0）=-2夜，

当P在线段AH（除A）上运动时，设网了,—力/也<%<01

所以APAB=（%,-%）-（2,0）=2xe［一2也,0）,

综上所述，APAB的最小值为-2&-

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

winA

9.在AABC中，下列式于与^一的值相等的是（）

a

sinA+sinBsingsinCc

A.-----------B.----C.-----D.-----

a+bsinAcsinC

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理可得结果.

，、4向、,十件…e-sinAsinBsinC,sinAsinBsinC,

【详解】由正弦定理可得-----=——=-----,设n-----=-----=-----=k,

abcabc

sinA+sin5ka+kb,

则------------=-------=k,

a+ba+b

故满足条件为AC选项.

故选：AC.

10.【多选题】已知〃=&—2）,B=（Y,。，贝°（）

A.若5〃彼，贝卜=±2血

B.若@功,则/=0

C.Q目的最小值为2

D.若向量M与向量5的夹角为钝角，则，的取值范围为（0,+8）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的

结论.

【详解】已知之=亿—2),B=(—4"),

若刃区,则r=—2x(T)=8,解得f=±2&，A选项正确；

若@工5,则①行=—4L2f=0，解得f=0,B选项正确；

商=(f+4,—2—f),卜一,=J(/+4y+(-2-(丫=，2(r+3)~+2,

当/=—3时，卜-可有最小值血，C选项错误；

当t=2点时，a=(2V2,-2),5=(-4,2A/2),B=—缶，

向量方与向量B的夹角为180°，D选项错误.

故选：AB

11.设△/欧的内角4B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()

A.若/+)2V02,则。>71

2

B.若。6〉。2,则

71

C.若+万3=03,则C<大

2

兀

D.右a+Z?=2c,则C>—

2

【答案】AC

【解析】

TT

【分析】根据余弦定理判断A；根据余弦定理和基本不等式，即可判断B；利用反证法，假设C2—,

2

结合余弦定理和不等式的性质，即可判断C；举反例，即可判断D.

272_2

【详解】A.由储+〃<°2,可以得出cosC="-'<0,所以C>—,故A正确；

lab2

a2+b2-c2lab-ab]_TT

B.由的>02,得cosC=>----------得0<C<—故B错误;

lablab23

jr7_2_2

C.假设CN—,贝c>b,cosC=^-^——<0,

2lab

TT

c2>a2+b2>即，+>。3+匕3,与a3+03=c3矛盾，二。<7,故c正确；

2

TT

D.取a=Z?=c=2,满足a+Z?=2c,此时C=一，故D错误.

3

故选：AC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在

答题卡相应位置上.

12.已知向量方=(1,m),1=(3,—1).若侬―B)//(万+2可，则实数机的值为.

【答案】［

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.

【详解】因为己=(1,m)石=(3,—1),所以24—很=(-1,2机+1),万+25=(7,m—2).

又(2@—B)//(万+25),所以—(m―2)—7(2m+1)=0,解得加=—g.

故答案为：-g.

13.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=3,CD=2,AD=囱,NB4D=90°.若P为

线段AB上一动点，则~DP的最大值为-

【答案】6

【解析】

【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到乔•丽=(x-iy+2,

再求二次函数的最大值即可.

【详解】以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,>轴建立平面直角坐标系,

则4(0,0),3(3,0),CQ,布),D(0,后),

设尸(x,0),其中0<x<3,

则/=(》-2,-代)，DP=(X,-A/3),

■■CP-DP=X(X-2)+3=X2-2X+3=(X-1)2+2,

当x=3时，加有最大值6.

14.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知c=2asinC-2ccosA,则

sin2A=；若a=2,则4RC面积的最大值为

【答案】①.-②.2±2夕

43

【解析】

【分析】先由正弦定理化边为角整理得到sinA-cosA=』，两边平方即得sin2A的值；再利用

2

同角的三角函数基本关系式求得sinAcosA的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值,

从而得到AABC面积的最大值.

【详解】因为。=2asinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因为C£（O,»）,「.sinCwO,则有sinA-cos，

1133

所以（sinA—cosA）?=工，得l—2sinAcosA=7,即2sinAcosA=[,故sin2A=1；

因2sinAcosA=：,Ae（0,7i）,故人£（0,5）,可得sinA>0,cosA>0,

.A1+出

.4A1sinA=-------

sinA-cosA=—4Lsin」xfc，

由<2,解得<方—J得%BC

224

sin2A+cos2A=1cosA=-------

4

由余弦定理得，cos4="一+'一矿所以廿+°2=4+且二1历,

2bc42

由之+°?=4+币2"c»2bc,当且仅当b=c时等号成立，可得6c―=—（5+V7）,

SABCJX小立义士（5+币）="立,即AABC面积的最大值为生

-AB©24933

故答案为：-；2±2自.

43

四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤

15.已知Q=（1,3）,石=（2,—2）.

（i）设Z=2£+B，求伊4e

（2）求向量z在B上的投影的数量.

【答案】⑴（-16,-16）

⑵—肥

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用向量的坐标运算，以及数量积的运算公式，准确运算，即可求解;

（2）根据题意，利用向量的数量积的几何意义，即可求解.

【小问1详解】

解：由向量值=（L3）,b=（2,-2）,

可得=2万+5=2(1,3)+(2,-2)=(4,4),且B=lx2+3x(-2)=-4,

所以倒4）亮=（一16,-16）.

【小问2详解】

解：由向量方=（1,3）,&=（2,-2）,可得7石=—4,且忖=2点,

a-b-4r-

所以向量£在分上的投影的数量为下「=玄=—’2.

16.已知向量成瓦"是同一平面内的三个向量，其中a=Q—1）.

（1）若H=且c//a，求向量c的坐标;

（2）若B是单位向量，且£，（£-23），求Z与B的夹角夕

【答案】（1）1=（—3,3）或"=（3,—3）

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）设"=（x,y）,由F|=3&,且）//£,列出方程组，求得羽V的值，即可求解;

（2）由£，0-2杨，求得£/=1，利用向量的夹角公式，求得cos6=注，即可求解.

2

【小问1详解】

解：设"=(x,y),因为卜|=30,且1//£,

y+x=O

可得1921O,解得x=—3,y=3或x=3,y=—3,

%■+/=18

所以c=(—3,3)或c=(3,-3).

【小问2详解】

解：因为。=（1,一1），且B为单位向量，可得忖=&,忖=1,

又因为aJ_(a-2B),可得a.(a—2历=J-2a-B=0,所以a.B=l，

na-b1A/2

则COSe=|_||一|----7=———,

川卜帆1x722

因为6G[0,可，所以，=；.

17.已知“山。中，C=90。，AB=2,AC=1,。是线段3c上一点，且前=2国，R是线段A3

上的一个动点.

（1）若AD=xAB+yAC,求％一丁（用力的式子表示）;

（2）求心广回的取值范围.

【答案】（1）x-y=2A-l

(2)

【解析】

【分析】⑴根据平面向量运算法则得到而=4衣+(1-团正，从而得到x=4y=i-2,求出

答案；

(2)建立平面直角坐标系，设尸(x,y),由A,”8三点共线，可得尤=石。一丁)，从而求出

CF-FA=-4y2je[O,l],从而求出行•丽的取值范围.

【小问1详解】

由前=4国得而一/=彳(诟一正)，解得通=无通+(1-团前,

又已知AD=xAB+yAC，

：.x=A,y=l-2,故%_y=2%_l；

【小问2详解】

以。为原点，”为1轴，。为y轴建立平面直角坐标系,

则A(O,1),B(石,0),

设厂(x,y),je[0,l],可得AF=(x,y—l),HF=(x—6,y),

由A,£5三点共线，可得孙—(x—6)(y—1)=0,即x=G(l—y),

代入整理得CF-FA-(x,y)•(—九,1—y)=-x2-y1+y=-3(1-y)2-y1+y

1

=—4y2+7y—3=—4+一

16

当y时，CF，FA=-4(y-^]+工单调递增，

L8j卜8j16

当时，CF.FA=-^y-^C\+J_单调递减，

故当y=2.时，CF，^4=_4L_Z^+2取得最大值，最大值为二,

88J1616

又当y=。时，CF-FA=-3.当y=l时，CFFA=O'

故丽•丽的取值范围为-3,上

10

18.已知。，b,c分别为&4BC三个内角A,B,C的对边，且26=c+2acosC.

(1)求A；

(2)若COSB=¥，求sin(23—A)的值；

(3)若&43C的面积为"鱼，a=3,求AA3C的周长.

3

7T

【答案】(1)-

3

力272+73

6

(3)10

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式化简得到COSA=L,即

2

可求得角A；

(2)由cos3求得sinB,利用二倍角公式求得sin26cos23的值，利用差角的正弦公式计算即

得；

(3)由三角形面积公式求出be,利用余弦定理变形转化求出b+c,即得“43C周长.

【小问1详解】

•・,2Z?=c+2acosC.由正弦定理可得2sin_B=sinC+2sinAcosC,

因2sinB=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC,

所以sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC,可得sinC=2cosAsinC,

♦「C为三角形内角，sinCwO,解得cosA=g,Ae（0,7i）,

,兀

A=—.

3

【小问2详解】

由已知cos_B=5W（0,TC）,所以sinB=Jl-cos1B=,

r\5]

?.sin2B-2sinBcosB=-----,cos2B=2cos2B—1=—,

33

/jriITTT20+港

sin（2B-A）=sinI2B--I=sin2Bcos--cos2Bsin—=

~6

【小问3详解】

..c_i,.i,百K._40

,bAnr——besinA——bex——------，••be—，

△ABC22233

由余弦定理得。2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA,

r40

即9=(6+c)--3x寸，解得b+c=7,

」.△ABC的周长为a+Z?+c=10.

19.蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的

色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国

际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状,

点，为边6。上靠近6点的三等分点，ZA£)C=60°,AD=2.

(1)若N4CD=45。，求三角形手巾的面积；

Ar

(2)当——取最小值时，请帮设计师计算物的长.

AB

【答案】(1)9+3二

4

⑵6T

【解析】

【分析】(1)由正弦定理求得DC的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案.

AC2

(2)设CD=5£>=2根,(m>0),利用余弦定理表示出AC2,A§2,即可得表达式，结

AB1

合基本不等式确定其最小值,即可求得答案.

【