2024-2025学年人教版九年级数学下册专项突破：圆（综合压轴题分类）含答案

备战2025中考——圆（综合压轴题分类专题）（9）

考点目录

篇一：综合部分

【知识点1］圆的基本性质

【考点1］圆的基本认识

【考点2】垂径定理

【考点3】垂径定理推论

【考点4］圆心角

【考点5】圆周角定理

【考点6】圆周角定理的推论

【知识点2】直线与圆的位置关系

【考点71直线与圆的位置关系

【考点8】切线的证明

【考点9］切线的性质与判定综合

【考点10］切线长定理求值或证明

【知识点3】圆内接正多边形

【考点11］圆内接正多边形

【知识点4】弧长及扇形面积

【考点12］求弧长、半径、面积

【考点13】求不规则图形面积

【考点14】求圆锥相侧面展开图的夹角、展形图弧长、底面的高

篇二：压轴部分

【考点15］圆中的折叠压轴题

【考点16］圆中的动点问题压轴题

【考点17］圆周角定理与垂径定理综合压轴题

【考点18］切线的性质与判定与圆周角定理综合压轴题

【考点19］切线的性质与判定、垂径定理综合压轴题

篇一：综合部分

试卷第1页，共20页

【知识点1］圆的基本性质

【考点1］圆的基本认识

（2024•江苏苏州•中考真题）

1.如图，矩形48c。中，ABM,BC=l,动点£,尸分别从点N,C同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿CD向终点3,。运动，过点E,尸作直线/,过点/作直线/的

垂线，垂足为G,则/G的最大值为（）

A.GB.—C.2D.1

2

（2023・湖南・中考真题）

2.如图，在矩形48CD中，AB=2,AD=y/7,动点尸在矩形的边上沿3fCfDf/运

动.当点P不与点48重合时，将尸沿4尸对折，得到连接C8',则在点P的

运动过程中，线段的最小值为.

（2022•江苏南京•中考真题）

3.如图，在△NBC中，AB=AC,点。、E在上，BD=CE,过A、D、E三点作

GO,连接/。并延长，交BC于点、F.

⑴求证：AF1BC-,

试卷第2页，共20页

⑵若N8=10,8c=12,BD=2,求。。的半径长.

【考点2】垂径定理

（2024•内蒙古通辽•中考真题）

4.如图，圆形拱门最下端在地面上，。为N8的中点，C为拱门最高点，线段CD经过

拱门所在圆的圆心，若/8=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）

5.如图，在。。中，直径ZBLCD于点E,CD=6,BE=1,则弦/C的长为.

（2024•内蒙古包头•中考真题）

6.如图，是。。的直径，8C,8。是。。的两条弦，点C与点。在的两侧，E是OB

上一点（OE>BE）,连接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

（2）如图2,若BD=2OE,求证：BD//OC.（请用两种证法解答）

【考点3】垂径定理推论

（24-25九年级上•江西赣州•期末）

试卷第3页，共20页

7.如图，在蕊中.①连接/8；②作弦N8的垂直平分线4,分别交益，弦于C,D

两点；③作线段的垂直平分线4，4,分别交益于£，/两点，交弦于G,

H两点；④连接斯.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A.AG^GDB.AE=ECC.I.//12//l3D.EF=GH

（2022•四川凉山•中考真题）

4

8.如图，。。的直径48经过弦CD的中点X,若COSNCDB=《，BD=5,则。。的半径

为.

9.如图，。。是△4BC的外接圆，点。是蓝的中点，过点。作EF//3C分别交42、AC

的延长线于点£和点尸，连接BD,—4BC的平分线W交4□于点

试卷第4页，共20页

（1）求证：即是。。的切线；

（2）若AB:BE=5:2,AD=4U，求线段。M的长.

【考点4］圆心角

（2023・河北・中考真题）

10.如图，点<〜心是。。的八等分点.若△召64，四边形月月44的周长分别为0,b,则

下列正确的是（）

a

尸5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小无法比较

（2023・湖南常德・中考真题）

11.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆

术”，如图.益是以。为圆心，0/为半径的圆弧，C是弦42的中点，。在蕊上，

CD，43.“会圆术”给出AB长I的近似值s计算公式：s=4B+*，当。/=2,/AOB=90°

OA

时，I、s|=.（结果保留一位小数）

（2024•内蒙古通辽•中考真题）

12.【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真

观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.

试卷第5页，共20页

（1）如图1,从花折伞中抽象出“伞形图”.AM=ANDM=DN.求证:

AAMD=ZAND.

【模型应用】

（2）如图2,A/MC中，/M4c的平分线/。交于点。.请你从以下两个条件：

①24WD=2/C；②4C=/M+MZ）中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出

结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）

【拓展提升】

（3）如图3,NC为。。的直径，AB=BC^/R4c的平分线4D交2C于点£,交。。于

点。，连接CO.求证：AE=2CD.

【考点5】圆周角定理

（2024•山西•中考真题）

13.如图，已知△ABC,以4?为直径的。。交于点。，与/C相切于点/,连接

OD.若440。=80。，则/C的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

试卷第6页，共20页

（2024•山东泰安・中考真题）

14.如图，是。。的直径，是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为就的中

点，连接AD交NC于点E,延长AD与相交于点尸，若。尸=1,tan2==，则/£的长

2

（2024•江苏无锡•中考真题）

15.如图，是。。的直径，A/CA内接于。。，CD^DB，AB,CO的延长线相交于点

E,^.DE=AD.

⑴求证：ACADSACEA；

⑵求乙4OC的度数.

【考点6】圆周角定理的推论

（2024・湖北•中考真题）

16.如图，48是半圆。的直径，C为半圆。上一点，以点8为圆心，适当长为半径画弧,

交A4于点交8C于点N,分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在

/ABC的内部相交于点。，画射线AD,连接NC.若/。8=50。，则NC8。的度数是

试卷第7页，共20页

A.30°B.25°C.20°D.15°

（2021・湖北鄂州•中考真题）

17.如图，四边形48OC中，AC=BC,NACB=90°,ADLBD于点、D.若BD=2,

CD=472,则线段N8的长为.

（2024•甘肃•中考真题）

18.如图，是。。的直径，流=丽，点£在4D的延长线上，S.ZADC=ZAEB.

（1）求证：BE是。。的切线；

（2）当。。的半径为2,BC=3时，求tan//匹的值.

【知识点2】直线与圆的位置关系

【考点71直线与圆的位置关系

（23-24九年级下•上海崇明•期中）

19.已知在中，ZC=90°,/C=12,BC=5,若以。为圆心，/长为半径的圆C

与边4B有交点，那么厂的取值范围是（）

„60

A.5<r<12^r=—B.5<r<12

C.—<r<12D.—<r<12

1313

（24-25九年级上•辽宁盘锦・期末）

20.二次函数>=（X2-2与x轴的正半轴交于点/,与夕轴交于点以点。（0,3）为圆心半

径为1的。。上有一动点。，则面积的最小值为.

（24-25九年级上•山东淄博•期末）

21.如图，ZUBC中，点。在/C边上，经过点/的。。与8C边相切于点。，与边交

试卷第8页，共20页

于点£,射线交C8的延长线于点R连接ZAEO=ZDEO.

（1）判断直线/尸与。。的位置关系，并加以证明；

（2）若/C=3,/C=5,求斯的长.

【考点8】切线的证明

（24-25九年级上•浙江金华•阶段练习）

22.如图，已知在△4BC中，43=3,AC=4,BC=5,作/4BC的平分线交NC于点D,

以点。为圆心，D4长为半径作圆，与射线8。交于点E、F.下列结论：①△ABC是直角

三角形；②。。与直线8c相切；③E是线段5斤的黄金分割点；④tanNCD尸=2.其中正确

的结论有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

（19-20九年级上•江苏南通•阶段练习）

23.如图，以正方形4BC。的边为直径作半圆。，过点C作直线切半圆于点凡交4D

边于点E,若ACOE的周长为12,则四边形周长为.

（2025・湖北•一模）

24.如图，在中，E为斜边48上的一点，经过点E的。。与NC交于点。，连接

DO,DE.若ED〃BC,ZCDO=ZB.

试卷第9页，共20页

⑴求证：AB为。。的切线：

Q）若OD=BE=5,DE=6,求4C的长.

【考点9］切线的性质与判定综合

（2025九年级下•浙江・专题练习）

3

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数夕=：x+6的图象与X轴、y轴分别交于A、B

4

两点，点尸在线段/。上，0P与x轴交于〃、。两点，当OP与该一次函数的图象相切时,

（2024•江苏泰州•一模）

26.如图，AC1CB,AC=CB,以8C为直径作半圆。，P为弧5c上一点，且/C/P最

大，延长/尸、CB,交于点。.贝！Jsin。的值为.

（24-25九年级上•北京朝阳•期末）

27.如图，在用ACMB中，ZOAB=90°,/48。=30°,C为边的中点，。。经过点C,

与。。相切于点D.

试卷第10页，共20页

D

O

⑴求证：4s与。。相切;

（2）若A8=2,求40的长.

【考点101切线长定理求值或证明

（24-25九年级下•河南周口•阶段练习）

28.如图尸/、尸3分别与。。相切，切点分别为A,B,若/OA4=16。，则N4P8的度数

C.36°D.44°

（24-25九年级上•广东云浮・期末）

29.如图，PA,尸8是。。的两条切线，A,8为切点，连接48,PO,尸。交于48点。,

交。。于点C,CD=l,AB=4,则。。的半径长为.

（24-25九年级上•湖北武汉•期末）

30.如图，△NBC的内切圆。。与8C,AC,分别相切于点。，E,F,且△42C的

周长为36,AB=9,CE=a.

试卷第11页，共20页

⑴求。的值；

（2）若NEFD=70°,将线段CE绕点。逆时针旋转到点£在3c上止，求点E的运动路径长.

【知识点3】圆内接正多边形

【考点11］圆内接正多边形

（24-25九年级上•浙江杭州•期末）

31.如图，线段NE是。。的直径，点3是。。上一点，设NDAE=a,NDCB=。.若

AEl.BC,BD=GD,则（）

A.3a+/3=270。B,a+4=180。

C.36-a=270°D./一1=90°

（24-25九年级下•天津和平•开学考试）

32.如图，C为半圆。。上一点，为直径，且4B=6,ZCOA=60°.延长到P,使

BP=^AB,连接CP交半圆于。.过尸作/P的垂线交/。的延长线于〃，则？H的长度

为,4D的长度为.

（24-25九年级上•浙江绍兴・期末）

33.如图，四边形4BC。内接于。。，满足［gTZS'，连接NC，BD,长8C,4D于点

E.

试卷第12页，共20页

A

（1）若NC4D=35。，求NE的度数；

（2）求证：AABESACDE；

⑶若442c=60。，AD=1,BD=3,求48的长.

【知识点4】弧长及扇形面积

【考点12］求弧长、半径、面积

（2025・山西吕梁•一模）

34.如图，在△ABC中，AB=AC=6,ZC=70°,以AB为直径作半圆，交BC于点D,交

/C于点E,则方的长为（）

（24-25九年级上•北京朝阳•期末）

35.埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学

之父”.他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼（

点⑷和亚历山大（点5）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800km,在塞伊尼

城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城

竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角1约为7.2。，据

此可以估算地球的周长约为km.

（2025・湖北孝感•二模）

试卷第13页，共20页

36.如图，已知48为。。的直径，DC平分NADB,交。。于点C,交AB于点F,

ACAD=75°.延长48至点E,使BE=BD,连接。E.

⑴求证：OE是。。的切线；

⑵若BC=4收，求图中阴影部分的面积（结果保留兀）

【考点13】求不规则图形面积

（24-25九年级下•重庆长寿•阶段练习）

37.如图，矩形/BCD中，AB=2,。为48的中点，以。为圆心，为半径作半圆与边CD

相交于点£、F,连接。尸，以3为圆心，BE为半径作弧刚好经过点。，则图中阴影部分

C.nD.

24

（2025•山东・一模）

38.如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CED的圆心C

是弧的中点，且扇形CEO绕着点C旋转，半径/E、CF交与点G,半径BE、CD交与点

H,则图中阴影面积等于（结果保留兀）.

E

C

（24-25九年级下•贵州贵阳•阶段练习）

39.如图，为。。的直径，点C是好的中点，尸，垂足为。，AB、3c的延

长线交于点E.

试卷第14页，共20页

(1)写出一个与/D/C相等的角：；写出一个与正相等的弧：.

(2)求证：OE是。。的切线；

⑶若4D=3,AB=4,求阴影部分的面积(用含有乃的式子表示).

【考点14】求圆锥相侧面展开图的夹角、展形图弧长、底面的高

(2025・安徽芜湖•一模)

40.如图，。。是边长为2g的等边三角形N8C的外接圆，点。是5c的中点，连接AD,

CD.以点。为圆心，皿的长为半径在。。内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面

圆半径为()

A

D

432

A.—B.—C.一D

323-1

(24-25九年级下•湖南岳阳•

41.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的底面

半径为cm.

(24-25九年级下•广东梅州•阶段练习)

42.已知如图，扇形的圆心角为120。，半径。/为6cm.

(1)求扇形的面积；

(2)若把扇形纸片/O3卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高.

试卷第15页，共20页

篇二：压轴部分

【考点15］圆中的折叠压轴题

(2025•江苏镇江•模拟预测)

43.如图，已知正方形NBC。，以边为直径作。。，点£是边2c上一点(不与3,C

重合)，将正方形沿。E折叠，使得点C恰好落在。。上.

(1)判断直线。C'与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若正方形的边长为2,求线段BE的长.

(2025•陕西•模拟预测)

44.问题提出

(1)如图1,在△4BC中，AB=AC,NB4c=48°,。是△NBC外一点，且/D=/C.以

点A为圆心，N3长为半径作圆，则乙BOC的度数为」

问题探究

(2)如图2,在菱形48。中，AB=4,NB=6Q。,E是48边的中点，尸是8c边上的一

个动点，将ABE尸沿斯折叠得到AB'EV,连接3'C,求线段夕C长度的最小值；

问题拓展

(3)如图3,在正方形/BCD中，48=10,动点M,N分别在边BC,C£＞上移动，且满

定CM=DN.连接/N和DM,交于点O.当点N从点。开始运动到点C时，点。也随之

运动，请求出点。的运动路径长.

【考点16］圆中的动点问题压轴题

(24-25九年级上•福建莆田•期末)

试卷第16页，共20页

45.如图1,NC为。。的直径，A8=8C=4.点。是北上一动点（不与4C重合），连

接8。，DC,AD.

（1）探究线段/DCD,AD之间的数量关系，并予以证明.

（2）如图2,若AD与NC相交于点E,过点E分别作跖14D于点R成?，。于点6,求

^AEF与AECG面积之和的最大值.

（24-25九年级上•安徽合肥・期末）

46.如图，在△NBC中，/A4c=30。，NC=4百，4B=1,M是48上一个动点，连接

CW,点。在CM上，。。与相切于点朋•且经过点C,与NC和BC分别交于点尸和

点。，连接M。.

⑴求的长.

MN

⑵连接尸。交C朋■于点N,求前的值.

【考点17］圆周角定理与垂径定理综合压轴题

（2025•浙江杭州•一模）

47.如图1,在。。中，N3与。是点。异侧的两条弦，AB>CD,且连结

AD,与BC交于点E.

试卷第17页，共20页

⑴求证：AE=BE.

(2)如图2,连接并延长，与3。的延长线交于点尸，连接CM.求证：NF=NOAE.

OFAF

⑶在(2)的条件下，若笠=:1，求受的值.

EF2BF

(24-25九年级上•江苏无锡•期末)

48.如图，已知为。。的直径，弦CDLAB于点、B,G是就上一点，连接40、DG、

CG,延长NG,OC相交于点尸.

备用图

(1)若NG=4,GF=3,求的长;

FG

(2)记。G与的交点为尸，若/8=10,CD=8,当ANGP为等腰三角形时，求不二的值.

DCJ

【考点18］切线的性质与判定与圆周角定理综合压轴题

(24-25九年级上•辽宁盘锦・期末)

49.在△4BC中，以为直径作。。，。。与NC交于点E,连接BE,的平分线交

于点。，交48于尸，连接若EF=BE,ZCBE=Z0DF.

A

D

(1)求证：2c为。。的切线；

(2)若4F=6,求。。的半径长.

(24-25九年级上•新疆省直辖县级单位•期末)

50.如图，已知CE是。。的直径，点8在。。上由点E顺时针向点C运动(点8不与点

E、C重合)，弦BD交CE于点、F,且BD=2C,过点3作弦8的平行线与CE的延长线交

试卷第18页，共20页

于点4.

⑴证明：45是。。的切线；

(2)当tanN/CB=；,CZ)=24时，求△BC£)的面积.

【考点19］切线的性质与判定、垂径定理综合压轴题

(24-25九年级下•黑龙江绥化•阶段练习)

51.如图，4为。。的切线，/为切点，过点N作。尸的垂线48,垂足为C,交。。于点

B,延长8。与。。交于点。，连接PD交于点E.

⑴求证：尸B为。。的切线；

(2)求证：PB2=PCPO;

DE

(3)若NBPD=3/APD,求一的值.

PE

(2024•四川广安•模拟预测)

52.如图，四边形/BCD内接于0。，N2为。。的直径，点。为公的中点，过点。的直线

/交历1的延长线于点交BC的延长线于点N,且/BNM=90。.

⑴求证：是。。的切线;

试卷第19页，共20页

(2)求证：AD2=AB-CN;

A

(3)当/8=6阔11/。。4=?时，求的长.

试卷第20页，共20页

1.D

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的

性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接/C,8D交于点。，取。“中点“，连接G8,根据直角三角形斜边中线的性质，可以

得出G的轨迹，从而求出/G的最大值.

【详解】解：连接/C,8。交于点。，取。4中点“，连接G8,如图所示：

•••四边形N8CZ)是矩形，

•••ZABC=90°,OA=OC,AB//CD,

.,.在RtA^SC中，AC=y/AB2+BC2=+12=2,

.-.OA=OC=-AC=1,

2

■.■AB//CD,

ZEAO=ZFCO,

在△/(?£1与AC。尸中，

AE=CF

<AEAO=AFCO

OA=OC

△/(?£丝△CO尸(SAS),

AAOE=NCOF,

：.E,O,尸共线，

VAGVEF,H是OB中点，

.•.在RtZUGO中，GH=-AO=-,

22

，G的轨迹为以b为圆心，g为半径即/。为直径的圆弧.

・••/G的最大值为4。的长，即/Ga=/O=l.

故选：D.

答案第1页，共62页

2.VH-2##-2+Vn

【分析】根据折叠的性质得出夕在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在

8C上时，当点P在。C上时，当尸在40上时，即可求解.

【详解】解：••・在矩形N8C。中，AB=2,AD=47，

■■BC=AD=>/1,AC=ylBC2+AB2=,7+4=V1T，

如图所示，当点尸在BC上时,

vAB'=AB=2

二夕在A为圆心，2为半径的弧上运动,

当4",C三点共线时，C*最短，

此:时—AB'=而一2,

当点尸在DC上时，如图所示，

B

此时C3'>而-2

当尸在上时，如图所示，止匕时CQ>JH-2

综上所述，C2'的最小值为而-2,

答案第2页，共62页

故答案为：ViT-2.

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的

性质是解题的关键.

3.(1)见解析

(2)0。的半径为5

【分析】(1)连接AD、AE、0D、0E,先证明A4BD咨A4CE,得到NO=AE,再由,

可得/。垂直平分即/尸

(2)设求。。的半径为x,由(1)可知尸为中点，贝尸=CF=(2C=6,利用勾股

定理求出/尸=8,再求出。尸=4,0F=8-x,0D=x,由勾股定理建立方程

X2=42+(8-X)2,解得X=5,则。。的半径为5.

【详解】(1)证明：连接AE.OD、OE,

■：AB=AC,

:.4B=NC,

在△45。和△/CE中，

AB=AC

<ZB=ZC,

BD=CE

AAACE(SAS),

•t•AD=AE,

又・：OD=OE,

.•./。垂直平分。£,即4F/8C,

由(1)可知/尸/BC,

・•.F为DE中点、,尸为中点,

答案第3页，共62页

；.BF=CF=LBC=6,

2

在△NB/中，AF=y]AB2-BF2=V102-62=8-

在ADO9中，DF=BF—DB=6-2=4,OFAF-AO=S-x,OD=x,

•：OD2=DF2+OF1

.■，X2=42+（8-X）2,

解得x=5,

.•・。。的半径为5.

【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质

与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

4.B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接。4,先证明

CD1AB,AD=BD=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解：如图，连接

•••。为的中点，C为拱门最高点，线段。经过拱门所在圆的圆心，AB=1m,

CD1AB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为「，

**•OA—OC=r,而CD=2.5m,

.-.OD=2.5-r,

.-.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r-\.3,

••・拱门所在圆的半径为1.3m；

故选B

5.39

答案第4页，共62页

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程

是解题的关键.

由垂径定理得CE=£〃=gcO=3,设。。的半径为「，贝==,在Rt^OED

中，由勾股定理得出方程，求出厂=5,即可得出/E=9,在用A/EC中，由勾股定理即可求

解.

【详解】解：•・・/8J_CD,CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设。。的半径为r,则OK=O2-E3=r-1,

在"U9ED中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,BP(r-l)2+32=r2,

解得：r=5,

OA=5,OE—4,

AE=OA+OE=9f

在R/A/EC中，由勾股定理得：AC=sJCE2+AE2=A/32+92=3V10;

故答案为：3V10.

6.(1)3

(2)见解析

【分析】(1)利用等边对等角、三角形内角和定理求出=

结合2BOC=2ZBCE,可得出/O8C+/BCE=90。，在Rt^OCE中，利用勾股定理求解即

可；

(2)法一：过。作OR_L3Z)于R利用垂径定理等可得出8尸=<8。=。£,然后利用HL

定理证明RtACE。丝RM0E8,得出/CO£=/OAF,然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接4D,证明ACEOSA/DB,得出NC0E=//8。，然后利用平行线的判定即可得

证

【详解】(1)解:；OC=OB,

AOBC=AOCB=1(180°-ZBOC),

ZBOC=2ZBCE,

答案第5页，共62页

...ZOBC=1(180°-2ZBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

■■OC1=OE-+CE-,

•••OC2=(OC-l)2+[V5)2,

解得。C=3,

即。。的半径为3；

(2)证明：法一：过。作。尸，5D于足

.-.BF=-BD,

2

BD=20E

OE=BF,

又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

...RIACEO^RUOFB(HL),

ZCOE=ZOBF,

BD//OC；

法二：连接4D,

AB是直径，

；,NADB=9。。,

•••AD=4AB--BD1=J(20C1-(2OE,=2y/oC2-OE2=2CE,

答案第6页，共62页

PC_CE_OE

“万一茄一访―2’

ACEOS^ADB,

:・/COE=/ABD,

：.BD//OC.

【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内

角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关

键.

7.B

【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，涉及矩形的判定与性质，垂径定理

及其推论等知识，解题的关键是读懂图象信息.

由作图可知，AG=DG=DH=BH,而EG_L48,CD_L48,FH_L48,继而可得|||4II4，再

结合垂径定理分析可得AC=BC＞最后通过证明四边形EFGH是矩形可得到EF=GH.

【详解】解：由作图可知，AG=DG=DH=BH,

EG±AB,CD±AB,FH±AB,

,-.lx////,

,.U垂直平分弦48,

■-AC=BC＞且直线4过圆心，

••・此弓形是轴对称图形，

•.4，4分别垂直平分线段NDDB,

■'-7E=BF,

■■CE^CF＞

.-.1.1EF,

■■.EF//AB,

■：l2//l3,且

四边形EbG"是矩形，

EF=GH,

答案第7页，共62页

故选项A,C,D正确，不符合题意；

B错误，符合题意，

故选：B.

25

8,~6

【分析】先由垂径定理求得2C=AD=5,再由直径所对圆周角是直角乙4c2=90。，由余弦定义

可推出si9="即可求得五用=空，然后由圆周角定理得乙4=〃，即可得二==,则半径

5ABAB5

可求.

【详解】解：连接4C,如图，

-QO的直径AB经过弦CD的中点H,

:,CH=DH,ABLCD,

:・BC=BD=5,

•MB是。。的直径，

・••乙4cB=90。,

,BC

.•.SIIL4=-----,

AB

,•,乙4=乙。，

4

•••COS/=COSD=y,

,3

.,.siiL4=sinZ)=—

5

5_3

AB5

“三

・・・半径为§25

6

25

故答案为：—

6

【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得乙4cB=90。、US

答案第8页，共62页

是解题的关键.

9.（1）见详解；（2）2

【分析】（1）连接。。，由垂径定理得ODrSC,从而得。。1所，进而即可得到结论；

（2）由平行线分线段定理得。心^旧，再证明ABONSA/DB,可得8。=2,最后证明

z.BMD=Z-DBM,进而即可求解.

【详解】（1）证明：连接OD如图，

,••点。是前的中点,

：BD=CD，

■■■ODLBC,

■：BC\\EF,

•­ODLEF,

••・£尸为O。的切线；

（2）设BC、AD交于■点、N,

-AB:BE=5:2,AD=屈,EFHBC,

ANAB5

"DN~^E~2,

■■.DN=-414,

7

答案第9页，共62页

•・•点。是前的中点,

工人BAD=^CAD=^CBD,

又“BDN=UDB,

ABDNS^ADB,

三厢BD,

—,即:

DBADDB-幅

:.BD=2,

•••ZABC的平分线8W交/。于点M,

:.UBM+乙BAD=4CBM+乙CBD,即：乙BMD=ADBM,

：.DM=BD=2.

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分

线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键.

10.A

【分析】连接4与AA，依题意得46=£巴=与月=4月，P.P^Pfi,的周长为

a=w+ma，四边形与巴4片的周长为6=巴巴+巴1+月4+44,故

b-a^P^+P^-Pfi,根据AP,P『3的三边关系即可得解.

【详解】连接枕小巴,

P^

尸5

•••点4〜4是。。的八等分点，即=5巴=p3p4=p4p5=p5p6=p6pJ=PR=K

《=，PR+P^=Pfi

ABP4P6=PAP5+P5P6=

•••P4R=PR

答案第10页，共62页

又•••:的周长为a=耳巴+<6+，

四边形P3P4P6Pl的周长为6=吕巴+d+A6+乙吕，

+p

・•.b-a=（P3P4+P4P6+P6P7+"H4月fi+月A）

=（4£+々4+E月+月4）-（4月+4々+月A）

=+P2P3~

在△耳鸟巴中有48+吕8>耳心

:.b—a=P[P]+PT3~P'P^>0

故选A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长

大小是解题的关键.

11.0.1

【分析】由已知求得与C。的值，代入s=/2+CD~~得弧长的近似值，利用弧长公式可

OA

求弧长的值，进而即可得解.

【详解】OA=OB=2,ZAOB=90°,

•••AB=2V2,

•••C是弦的中点，。在右上，CDVAB,

延长。C可得。在DC上，OC=-AB=41

2

■■CD=OD-OC=2-42，

答案第11页，共62页

790x2x2%

I=------------=71,

360

.•.|/_耳=旧_31Po.1.

故答案为：0.1.

【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键.

12.(1)见解析；(2)选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；

(3)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，

直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：

(1)利用SSS证明△/阿丝即可；

(2)选择②为条件,①为结论:在NC取点N,使/N=/〃，连接DN,证明丝AADN,

可得DM=DN,ZAMD=ZAND,再由/C=+M),可得DN=CN,从而得到

NC=NCDN,即可；选择①为条件，②为结论：在/C取点N,使=连接DN,

证明可得DM=DN,ZAMD=ZAND,再由一■DuZ/C,可得

NC=NCDN,从而得到DN=CN,即可；

(3)连接8D,取/£的中点/，连接根据圆周角定理可得8。=C。，从而得到

NBCD=NCBD,再由/C为。。的直径，可得4E=2BF=24F,从而得到

ZABF=ZBAF,然后根据标=前，可得48=BC,可证明ANB/学△C5。，从而得到

BF=BD=CD,即可.

【详解】解：(1)在和中，

•••AM=AN,DM=DN,AD=AD,

；.AADM知ADN位SS),

:./AMD=ZAND；

(2)解：选择②为条件，①为结论

如图，在NC取点N,使/N=4W,连接。N,

答案第12页，共62页

•・•40平分/M4C,

・•.ADAM=ADAN,

在△40河和△/£)"中，

•・,AM=AN,ADAM=ADAN,AD=AD,

AADM^ADN(SAS)f

：,DM=DN,/AMD=/AND,

-AC=AM+MD,AC=AN+NC,

；,DM=CN,

：.DN=CN,

："C=/CDN,

ZAMD=ZAND=ZCDN+ZC=2ZC；

选择①为条件，②为结论

如图，在/C取点N,使=连接。N,

•・•4。平分/H4C,

・•.ADAM=ADAN,

在河和△/ON中，

vAM=AN,ADAM=ADAN,AD=AD,

AADM^ADN(SAS),

:.DM=DN,/AMD=/AND,

•:NAMD=2NC,

:"AND=2ZC=ZCDN+ZC,

:./CDN=/C,

:,DN=CN,

.•,DM=CN,

答案第13页，共62页

-：AC=AN+NC,

：.AC=AM+MD-

(3)如图，连接AD,取/E的中点R连接班"

•・・/A4C的平分线AD,

-DC=BD^

；,BD=CD,

"BCD=ZCBD,

・・,ZC为oo的直径，

.-.Z^SC=90°,

・•.AE=2BF=2AF,

・•・/ABF=ABAF,

♦：/BAF=/BCD,

・•.ZABF=ZCBD,

，:诵=前，

AB=BC,

••.△ABF^ACBD,

:.BF=BD=CD,

・•.AE=2CD.

13.D

【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定

理可得出N8=；N/OO=40。，有圆的切线定理可得出NA4c=90。，由直角三角形两锐角

互余即可得出答案.

【详解】解：'-AD=AD>

答案第14页，共62页

：.AB=-AAOD=^°.

2

•••以AB为直径的OO与AC相切于点A,

ABAC=90°,

.-.ZC=90°-40°=50°.

故选：D.

14.V5

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌

握相关知识是解题关键.

先证Z.DAF=Z.ABD可得ADAFS^DBA从而得到-----—tanB=—,求得AD=2,再运

ADBD2

用勾股定理可得/尸=石，再根据圆周角定理以及角的和差可得4=最后根据

等角对等边即可解答.

【详解】解：是。。的直径，

ZADB=90°,

•・•/»是。。的切线，

ZBAF=90°,

Z.DAF=NABD=90°-ZDAB,

••・ADAFs^DBA,

DFAD八1

・・・--=-----=tanB=—,

ADBD2

-DF=\,

AD—2,

•••AF=下,

••,点。为就的中点，

-AD=CD^

:・/ABD=ADAC=ZDAF,

•・•/ADE=/ADF=