2025届苏科版中考数学第三轮冲刺专项练习：锐角三角函数（附答案）

【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习

（锐角三角函数）

一、单选题

1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,点E是BC的中点，连接AE,将4ABE沿AE折叠,

点B落在点F处，连接FC,则tan/ECF=（）

2.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰

角为60。，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30。，已知斜坡CD的长度为10m,DE的长为5m,

则树AB的高度是（）m.

3.斜坡的倾斜角为a,一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）

A.500sina米B.—米C.500cosa米D.翌＞米

sinacosa

4.如图在一笔直的海岸线I上有相距3km的A,B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A

站测得船C在北偏东60。的方向上，从B站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到海岸线I的

距离是（）km

北

西----东

雨

5.一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60。方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处,

这时测得灯塔S在船的南偏西75。方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是()

d__________________

s

A.(1543-15)海里、15海里B.(15^/3-1542)海里、15海里

C.(15^3-1542)海里、15^2海里D.(15^3-15)海里、15y[2海里

6.如图，一辆小车沿倾斜角为a的斜坡向上行驶13米，已知cosa=^,则小车上升的高度

是()

A.5米B.6米C.6.5米D.12米

7.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测

得河的北岸边点B在其北偏东45。方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°

方向，则这段河的宽度为()

A.60(V3+1)米

C.(90-30V3)米

8.如图，某轮船在点。处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60。的方向，船向西航行20海里

到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）

A.10（43+1）海里B.10（43-1）海里

C.20（43+1）海里D.20,-1）海里

9.如图，一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有一灯塔B,船继

续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75。方向，则此时船与灯塔的距离为

A.24B.1242C.12y[6D.24立

10.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、0都在格点上，则/AOB的正弦值

是（）

A.亚B.-C.-D.叵

1010

11.如图，在△ABC中，AC±BC,ZABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tan/DAC

的值为（）

DB

A.2+43B.V3C.2-V3D.30

12.如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：

（1）作线段AB,分别以A,B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD,BC.则下列说法中不正确的是（）

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2D=l

C.DB=V3ABD.点c是^ABD的外心

13.若锐角三角函数tan550=a,则a的范围是（

A.0<a<lB.l<a<2C.2<a<3D.3<a<4

14.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角

分别为45。和60。，矩形建筑物宽度AD=20m,高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即

FG的长）为（）

A.(35V3+55)mB.(25V3+45)m

C.(25V3+75)mD.(50+20V2)m

15.如图，从坡上建筑物AB观测坡底建筑物CD.从A点处测得C点的俯角为45o,从B点处测

得D点的俯角为30o.已知建筑物AB的高度为10m,AB与CD的水平距离是OD=15m,贝!JCD的

高度为（）

A.(5V3-5)mB.(10V2-10)m

C.(10-5V2)mD.(10-5V3)m

二、填空题

16.如图，小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的

距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45。，测得办公大楼底部点B的俯角为60。.已知办公大

楼高46m,CD=10m,则点P到AD的距离为m.（用含根号的式子表示）

17.位于湖北省荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明熹靖年间，周边风景秀丽.随着年代的增加，

目前塔底低于地面约7米.某校学生先在地面A处侧得塔顶的仰角为30。,再向古塔方向行进。米

后到达B处，在B处侧得塔顶的仰角为45。（如图所示），已知古塔的整体高度约为40米，那么a

的值为米.（结果保留根式）

18.如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A、B两点的俯角分别为

30。和45。，若AB=2km,则A、C两点之间的距离为km。

o

19.如图，在RtZiABC中，/C=9CT,AM是BC边上的中线，sin/CAM=-，贝1Jtan/B=

20.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30。，旗杆底部D的俯角为

45。.已知楼高4B=9m,则旗杆CD的高度为.（结果保留根号）

21.若4为锐角，当tanA=—时，cosA=

3

O

22.在AABC中，ZC=90°,cosA=-,则tanA等于

23.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角

a=45。，坡长AB=10遮米，背水坡CD的坡度i=l：巾,则背水坡的坡长CD为米.

24.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8

米，ZMAD=45°,ZMBC=30°,则警示牌的高CD为米（结果保留根号）.

25.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示地下

广场、地面广场电梯口处的水平线.已知/ABC=135。，BC的长约是6&m,则乘电梯从点B到点

三、解答题

26.如图，某城市的一座古塔CD坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔CD的高度，在点

A处测得塔尖点D的仰角/DAC为31。，沿射线AC方向前进35米到达湖边点B处，测得塔尖点D

在湖中的倒影E的俯角NCBE为45。，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果精确到0.1）.

参考数据：sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31%0.60.（结果精确至U0.3）

D

27.某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测

量某塔的高度.他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30。，然后沿DF方向

前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60。.请根据他们的测量数据求此塔MF的高.

（结果精确0.1m,参考数据：42=1.41,43=1.73,粕=2.45）.

28.如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75。方向航行，在点A处测得码头C的船的

东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况

下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据＜2-1.41,1

29.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像

DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进21m到达B

处，测得塑像顶部D的仰角为60。，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据：tan34%0.67,

tan60°=V3=1.73）

30.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的4c两点测得该塔顶端E的

仰角分别为Na=48"和N6=65",矩形建筑物的宽度AD=18m,高度CD=30m,求信号

发射塔顶端到地面的距离EF.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin48~0.7,cos48~0.7,tan480~1,1,,sin65°~0.9,cos65°~0.4,tan65°~

31.小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，

小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50。和60。，已知点O为热气球中心，

EA_LAB,OB±AB,OB±OD,点C在OB上，AB=30m,且点E、A、B、0、D在同一平面内，根

据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）

（参考数据：sin500=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192）

32.如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40。，若DE=3米，CE=2

米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡长BC=10米，则此时AB的长约为多少

米？（结果精确到0.1,参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan40°=0.84）

D

....469TI

B

33.如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30。，沿坡面向

下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45。，此

时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：43（即tan/DEM=

1：V3），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB

的长度（结果保留根号）.

■

.VBCN

34.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测

得小船C的俯角是NFDC=30。，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC

所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3,坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长.（参考数据:

V3=1.7,结果保留一位小数）

35.如图，B位于A南偏西37。方向，港口C位于A南偏东35。方向，B位于C正西方向.轮船甲

从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E

处，E位于D南偏西45。方向.这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37%0.75,tan35%0.70）

36.已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处

测得该塔的塔顶B的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A

处又测得该塔的塔顶B的仰角为76。.求：

坡顶A到地面P0的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin76°=0.97,cos76°=0.24,tan76°=4.01）

37.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，

点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，ZABE=70°,ZEAB=45°,

车轮半径为0.3m,BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此

时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.=0.94,cos70.=0.34,tan70.=2.75,0=1.41

38.如图，山坡AB的坡度i=l：V3,AB=10米，AE=15米.在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD,

在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45。，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60。，求这块

倒计时牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：V2=1,414,V3

=1.732)

39.如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角NCED=60。,

在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30。，求拉

线CE的长.（结果保留根号）

40.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60。，沿山坡向上走到P处再测得点C

的仰角为45。，已知0A=100米，山坡坡度=1：2,且0、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的

高度以及此人所在位置P的铅直高度PB.（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

答案解析部分

L【正确答案】B

2.【正确答案】B

3.【正确答案】A

4.【正确答案】C

5.【正确答案】D

6.【正确答案】A

7.【正确答案】B

8.【正确答案】A

9.【正确答案】D

10.【正确答案】D

H.【正确答案】A

12.【正确答案】B

13.【正确答案】B

14.【正确答案】C

15.【正确答案】A

16.【正确答案】（180-8）

17.【正确答案】3343-33

18.【正确答案】2同2

19.【正确答案】|

20.【正确答案】9+343

2L【正确答案】延

2

22.【正确答案】g

23.【正确答案】20

24.【正确答案】4V3-4

25.【正确答案】6

26.【正确答案】解：设CD二xm,则CE二xm,

VZCBE=45°,ZECB=90°,

BC=xm,

则AC=（35+x）m,

CD

在RtAACD中，tanZA=—,

A0.60=—,

x+35

解得：x=52.5,

经检验，x=52.5是原方程的根，

CD=52.5（米）

答：这座灯塔的高度CD为52.5米.

27.【正确答案】解：由题意：AB=40，CF=1.5，N/VMC=30°，NMBC=60°，

"：ZMAC=30°，/MBC=60°,

.：/AMB=30°

.：NAMB=/MAB

.：AB=MB=40,

在RtABCM中，

NMCB=90°,NMBC=60°,

.：ZBMC=30°.

.：BC=^BM=20,

■：MC=7MB2-8c2=200，

MC~34.64,

.：MF=CF+CM=36.14=36.1.

28.【正确答案】解：过点C作CE_LAB于点E,过点B作BD_LAC于点D,

北

N十

C

由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE,AB=30x=20,

60

1

VZNAC=45°,ZNAB=75°,AZDAB=30°,BD=-AB=10,

由勾股定理可知：AD=10V3

VBC/7AN,；./BCD=45。，/.CD=BD=10,.*.AC=1043+10

VZDAB=30",CE=-AC=543+5=13.7

答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里

29.【正确答案】解：VZACE=90°,ZCAE-34%CE=55m,

D

tanZCAE=一，

AC

・“CE55

・・AC=-------=—=82・lm,

tan340.67

VAB=21m,

BC=AC-AB=61.1m,

CD

在Rt^BCD中，tan600=一=0

BC

；.CD=V3BC=1.73x61.1=105.7m,

ADE=CD-EC=105.7-55=51m,

答：炎帝塑像DE的高度约为51m.

30.【正确答案】解：过点A作4G」EF,垂足为G.设EF为x米,

由题意可知：四边形CDGF是矩形，贝!IFG=CD=30m,DG=CF，

；.GE=x-30.

在RtAAEG中，ZAGE=90,

'「tan48T

.x-30

,1.1

AG

AG=—

i.i

在RtACEF中,NCFE=90°,ZECF=65°,

EF

,•一tan615°=—

CF

,CF*

VDG=CF，

AG=CF+AD,

.x-30x__

..——=——+18,

1.12.1

.：x=104.58=104.6,

答：信号发射塔顶端到地面的距离EF为104.6米.

31.【正确答案】解：如图，

过E点作EF±OB于F,过D点作DG_LEF于G.

在RtACEF中,CF=EF«tan500=AB«tan50°=35.76m,

在Rt/XDEG中，DG=EG・tan60°=\f3EG，

设热气球的直径为x米，则

35.76+^x^V3(30-^x),

解得x=11.9.

故热气球的直径约为11.9米.

32.【正确答案】解：如图，延长DE交AB延长线于点P,作CQ_LAP于点Q,

：CE〃AP,

，DPJ_AP,

四边形CEPQ为矩形，

，CE=PQ=2（米），CQ=PE,

...CQ14

.1=一=--=-,

BQ0.753

.,.设CQ=4x、BQ=3x,

由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102,

解得：x=2或x=-2（舍），

则CQ=PE=8（米），BQ=6（米），

.".DP=DE+PE=11（米），

在Rt^ADP中，VAP=-^=^-=13.1（米），

tan^Atan400

；.AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1（米）.

33.【正确答案】解：过点D作DHLAN于H,过点E作FE_L于DH于F,

大

楼

MECN

:坡面DE=20米，山坡的坡度i=l：V3,

.*.EF=10米，DF=1043米，

VDH=DF+EC+CN=（1043+30）米，ZADH=30",

；.AH=彳xDH=（10+10V3）米，

；.AN=AH+EF=（.20+10y/3）米，

VZBCN=45°,

/.CN=BN=20米，

.,.AB=AN-BN=1043,

答：条幅的长度是10y[3米.

34.【正确答案】解：过点B作BE_LAC于点E,延长DG交CA于点H,得RtZ\ABE和矩形BEHG.

ADH=DG+GH=1.5+8=9.5,

AH=AE+EH=6+1=7.

在RtACDH中，

DH

VZC=ZFDC=30°,DH=9.5,tan30°=—,

CH

；.CH=9.5V3.

又：CH=CA+7,

即9.5V3=CA+7,

/.CA=9.15=9.2（米）.

答：CA的长约是9.2米.

35.【正确答案】如图，延长AD交BC于点F,AF±BC.

设EF=x海里.

在Rt^DEF中，ZDFE=90°,

VtanZEDF=—,

DF

.\tan45°=£,

DF=x,

在Rt/\ABF中，NDFE=90。,

VtanZBAF=—，

AF

・・・BF=AFtan37°,

A20+x^0.75(40+x),

.*.x=40,

・・・AF=AD+DF=80.

在Rt/SAFC中，ZAFC=90°,

VtanZCAF=—,

AF

tan35°=—，

AF

/.CF=AFtan350=80x0.70=56

，CE=EF+CF=40+56=96

答:E处距离港口C约96海里.

36.【正确答案】解：延长BC交0P于H.

0HD

,斜坡AP的坡度为1：2.4,

.AD5

""PD~12，

设AD=5k,则PD=12k,由勾股定理，得AP=13k,

；.13k=26,

解得k=2,

.,.AD=10,

VBC±AC,AC〃PO,

.,.BH±PO,

，四边形ADHC是矩形，CH=AD=10,AC=DH,

VZBPD=45°,

；.PH=BH,

设BC=x,则x+10=24+DH,

；.AC=DH=x-14,

在R3ABC中，tan76°=5，即卷=4.01.

解得：x=18.7,

经检验x=18.7是原方程的解.

答：古塔BC的高度约为18.7米.

37.【正确答案】解：过点C作CN_LAB,交AB于M,交地面于N.

由题意可知：MN=0.3,当CN=0.9时，CM=0.6.

RtABCM中，ZABE=70°,sinZABE=sin70°=—=0.