2025届苏科版中考数学三轮冲刺专项练习：锐角三角函数（含答案）

【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习

（锐角三角函数）

一、单选题

1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,点E是BC的中点，连接AE,将4ABE沿AE折叠,

点B落在点F处，连接FC,贝!JtanNECF=（）

A.IB.3C.5D.5

2.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰

角为60。，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30。，已知斜坡CD的长度为10m,DE的长为5m,

则树AB的高度是（）m.

3

A.10B.15C.15A/D.1570团5

3.斜坡的倾斜角为a,一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（)

500500

A.500sina米B.sina米C.500cosa米D.cosa来

4.如图在一笔直的海岸线I上有相距3km的A,B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A

站测得船C在北偏东60。的方向上，从B站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到海岸线I的

距离是（）km

北

5.一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60。方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B

处，这时测得灯塔S在船的南偏西75。方向,则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（

A.（"J3T5）海里、15海里B.(1573-1572)海里、15海里

C.班）海里、15^2海里D.(1573-15)海里、1572海里

12

6.如图，一辆小车沿倾斜角为口的斜坡向上行驶13米，已知c°sa=w,则小车上升的高度

是（）

A.5米B.6米C.6.5米D.12米

7.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处,

测得河的北岸边点B在其北偏东45。方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏

东60。方向，则这段河的宽度为（）

B.30(m+1)米

C.(90-30,)米D.30(m-1)米

8.如图，某轮船在点。处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60。的方向，船向西航行20海里

到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行()

A.海里B.10(^3-1)海里

C.20(m+1)海里D.20(4-1)海里

9.如图，一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有一灯塔B,船继

续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75。方向，则此时船与灯塔的距离为

10.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、0都在格点上，则NAOB的正弦值

11.如图，在AABC中，AC1BC,ZABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则

12.如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：

（1）作线段AB,分别以A,B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD,BC.则下列说法中不正确的是（）

A.ZABD=90"B.sin2A+cos2D=l

C.DB=73ABD.点C是4ABD的外心

13.若锐角三角函数tan55o=a,则a的范围是()

A.0<a<lB.l<a<2C.2<a<3D.3<a<4

14.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰

角分别为45。和60。，矩形建筑物宽度AD=20m,高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度

（即FG的长）为（）

A.（35V3+55）mB.（25V3+45）m

C.（25A/3+75）mD.（50+20、"）m

15.如图，从坡上建筑物AB观测坡底建筑物CD.从A点处测得C点的俯角为45o,从B点处测

得D点的俯角为30o.已知建筑物AB的高度为10m,AB与CD的水平距离是OD=15m,则CD的

高度为（）

B.(1OV201O)m

C.（1005V2）mD.(1005)m

二、填空题

16.如图，小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的

距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45。，测得办公大楼底部点B的俯角为60。.已知办公

大楼高46m,CD=10m,贝I点P至！JAD的距离为m.（用含根号的式子表示）

17.位于湖北省荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明熹靖年间，周边风景秀丽.随着年代的增

加，目前塔底低于地面约7米.某校学生先在地面A处侧得塔顶的仰角为30。，再向古塔方向行

进a米后到达B处，在B处侧得塔顶的仰角为45。（如图所示），己知古塔的整体高度约为40

米，那么a的值为米.（结果保留根式）

18.如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A、B两点的俯角分别为

30。和45。，若AB=2km,则A、C两点之间的距离为km。

3

19.如图，在RSABC中，NC=90。，AM是BC边上的中线，sinNCAM=s，则tanNB=

20.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30。，旗杆底部D的俯角为

45。.已知楼高AB=9m,则旗杆CD的高度为.（结果保留根号）

21.若乙A为锐角，当tanA=T时，cosA=

3

22.在aABC中，ZC=90°,cosA=5,则tanA等于

23.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角

a=45。，坡长AB=10A/2米，背水坡CD的坡度i=l：V3,则背水坡的坡长CD为米.

D

24.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8

米,ZMAD=45°,ZMBC=30°,则警示牌的高CD为米（结果保留根号）.

...

25.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示地下

广场、地面广场电梯口处的水平线.己知NABC=135。，BC的长约是6AMm,则乘电梯从点B到点

C上升的高度h是m.

AB

三、解答题

26.如图，某城市的一座古塔CD坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔CD的高度，在

点A处测得塔尖点D的仰角NDAC为31。，沿射线AC方向前进35米到达湖边点B处，测得塔尖

点D在湖中的倒影E的俯角NCBE为45。，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果精确

至llO.l）.参考数据：sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60.（结果精确到0.1）

D

27.某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测

量某塔的高度.他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30。，然后沿DF方

向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60。.请根据他们的测量数据求此塔MF

的高.（结果精确°-lm，参考数据：戊"I,m=173,m=2.45）.

28.如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75。方向航行，在点A处测得码头C的船

的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的

情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据

29.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像

DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进21m到达

B处，测得塑像顶部D的仰角为60。，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据：tan34。

之0.67,tan60°=3~1.73)

30.如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端E的

仰角分别为4=48和邛=65,矩形建筑物的宽度AD=18m,高度CD=30m,求信号发

射塔顶端到地面的距离EF.（结果精确到°.lm）

（参考数据：

OOOOO

sin48=0.7，cos48-0.7，tan48°~1»1，，sin65=0.9，cos65=0.4，tan65-2.1）

31.小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，

小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50。和60。，已知点。为热气球中心，

EA1AB,OB1AB,OB1OD,点C在OB上，AB=30m,且点E、A、B、0、D在同一平面内，根据

以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）

（参考数据：sin500=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192）

母）

✓/,/C

//

/z

/✓,✓

千--___

AR

32.如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40。，若DE=3米，CE=2

米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡长BC=10米，则此时AB的长约为多

少米？（结果精确到0.1,参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan40°=0.84）

D

月B

33.如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°,沿坡面向

下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45。，

此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：4（即tanNDEM=

1：4）,且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB

的长度（结果保留根号）.

34.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，

测得小船C的俯角是NFDC=30。，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于

AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3,坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长.（参考

数据：（3=1.7,结果保留一位小数）

D

30°.

35.如图，B位于A南偏西37。方向，港口C位于A南偏东35。方向，B位于C正西方向.轮船

甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里

至E处，E位于D南偏西45。方向.这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37。

=0.75,tan35°=0.70）

36.已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P

处测得该塔的塔顶B的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶

A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76。.求：

坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin76°=0.97,cos76°=0.24,tan76°=4.01）

37.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行,

点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，ZABE=70°,NEAB=45。,

车轮半径为0.3m,BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此

时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.=0.94,cos70~0.34,tan70~2.75,J2=1.41

G

c

E

图

图12

38.如图，山坡AB的坡度i=l：V3，AB=10米，AE=15米.在高楼的顶端竖立一块倒计时牌

CD,在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45。，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60。,

求这块倒计时牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：戊

=1.414,V3=1.732）

39.如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角NCED=60。,

在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30。，求

拉线CE的长.（结果保留根号）

40.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60。，沿山坡向上走到P处再测得点

C的仰角为45。，已知OA=100米，山坡坡度=1：2,且。、A、B在同一条直线上.求电视塔OC

的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB.（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

山坡

“小牛地面

答案解析部分

L【正确答案】B

2.【正确答案】B

3.【正确答案】A

4.【正确答案】C

5.【正确答案】D

6.【正确答案】A

7.【正确答案】B

8.【正确答案】A

9.【正确答案】D

10.【正确答案】D

11.【正确答案】A

12.【正确答案】B

13.【正确答案】B

14.【正确答案】C

15.【正确答案】A

16.【正确答案】（1%回-8）

17.【正确答案】334-33

18.【正确答案】2V3+2

2

19.【正确答案】3

20.【正确答案】9+3击

电

21.【正确答案】万

4

22.【正确答案】3

23.【正确答案】20

24.【正确答案】为/3-4

25.【正确答案】6

26.【正确答案】解：设CD=xm,则CE=xm,

,.2CBE=45°,ZECB=90°,

•••BC=xm,

则AC=(35+x)m,

CD

在RtaACD中，tanZA=AC,

0.60=------

x+35,

解得：x=52.5,

经检验，x=52.5是原方程的根，

...CD=52.5(米)

答：这座灯塔的高度CD为52.5米.

27.【正确答案】解：由题意：AB=40,CF=1.5,々MACNMBC=60°

NAMB=30°

•••NAMB=NMAB

AB=MB=40

在RtABCM中，

.•.^MCB=90°，^MBC=60°，

•••々BMC=30°

1

•••BC=-BM=20

2,

MC=JMB2-BC2=2073,

MO34.64

MF=CF+CM=36.14=36.1

28.【正确答案】解：过点C作CE1AB于点E,过点B作BD1AC于点D,

北

N十

C

40

由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE,AB=30XM=20,

1

vZNAC=45°,ZNAB=75°,.-.ZDAB=30°,.-.BD=2AB=10,

由勾股定理可知：AD=10,

•­•BCIIAN,.•.ZBCD=45°,；.CD=BD=10,.-.AC=10+10

1

•••ZDAB=30°,.-.CE=2AC=5^+5=13.7

答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里

29.【正确答案】解：■NACE=90。,ZCAE=34°,CE=55m,

.,.tanZ.CAE=AC，

CE55

•••AC=tan34=0.672=82.1m,

vAB=21m,

.•.BC=AC-AB=61.1m,

CD

在RtaBCD中，tan60°=BC=勺

.'.CD=j3BC=173x611=1057m,

.•.DE=CD-EC=105.7-55=51m,

答：炎帝塑像DE的高度约为51m.

30.【正确答案】解：过点A作AG1EF,垂足为G.设EF为X米,

-0-»-

由题意可知：四边形CDGF是矩形，则FG=CD=30m，DG=CF,

•••GE=x-30.

在RtAAEG中，"GE=90,

。EG

tan48=—

在RtACEF中，^CFE=90\^ECF=65°

。EF

*•ttan65=—

•••DG=CF

・•・AG=CF+AD

•••X=104.58=104.6

答：信号发射塔顶端到地面的距离EF为104.6米.

3L【正确答案】解：如图，

过E点作EF1OB于F,过D点作DG1EF于G.

在RtACEF中，CF=EF・tan50°=AB・tan50°=35.76m,

在R3DEG中，DG=EG・tan60°=,

设热气球的直径为x米，则

35.76+gx=m（30-；x）

解得x=11.9.

故热气球的直径约为11.9米.

32.【正确答案】解：如图，延长DE交AB延长线于点P,作CQ1AP于点Q,

•••DP1AP,

二四边形CEPQ为矩形，

...CE=PQ=2（米），CQ=PE,

CQ14

力=BQ-0.75-3,

・,•设CQ=4x、BQ=3x,

由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102,

解得：x=2或x=©2（舍），

则CQ=PE=8（米），BQ=6（米），

.••DP=DE+PE=11(米),

DP11

____=____k131

在RtZSDP中，•；AP=tan"tan40-~'(米),

.■.AB=APEBQEPQ=13.10602=5.1(米).

33.【正确答案】解：过点D作DH_LAN于H,过点E作FE1于DH于F,

•.•坡面DE=20米，山坡的坡度i=l：,

.•.EF=10米，DF=1。4米，

,；DH=DF+EC+CN=(1°m+30)米，NADH=30。,

.•.AH=^xDH=(10+10V3)米,

••.AN=AH+EF=(20+)米，

■.■ZBCN=45°,

.♦.CN=BN=20米,

；.AB=AN-BN=10A/3

答：条幅的长度是1虱3米.

34.【正确答案】解：过点B作BE1AC于点E,延长DG交CA于点H,得RSABE和矩形BEHG.

BE4

i=AE=3,

・・・DH=DG+GH=1.5+8=95

AH=AE+EH=6+1=7.

在RtACDH中，

DH

vzC=ZFDC=30°,DH=9.5,tan30°=CH,

.'.CH=9.5A/3.

又心内人+7,

即9.5m=CA+7,

.•.CA=9.15=9.2(米).

答：CA的长约是9.2米.

35.【正确答案】如图，延长AD交BC于点F,AF1BC.

设EF=x海里.

在Rt^DEF中，4DFE=90。,

EF

vtanZEDF=DF,

X

.-.tan45°=DF,

DF=x,

在RtaABF中，ZDFE=90°,

BF

vtanZBAF=AF,

・・・BF=AFtan37°,

.*.20+x^0.75(40+x),

.，.x=40,

・・・AF=AD+DF=80.

在RtZkAFC中,ZAFC=90°,

CF

vtanZ.CAF=AF，

vtan35°=AF,

.­.CF=AFtan35°=80x0.70=56

・・・CE=EF+CF=40+56=96

答：E处距离港口C约96海里.

36.【正确答案】解：延长BC交0P于H.

・•・斜坡AP的坡度为:L：2.4,

AD5

.-.PD-12,

设AD=5k,则PD=12k,由勾股定理，得AP=13k,

•••13k=26,

解得k=2,

••・AD=10,

vBClAC,ACIIPO,

/.BHIPO,

・•・四边形ADHC是矩形，CH=AD=10,AC=DH,

••2BPD=45°,

.-.PH=BH,

设BC=x,则x+10=24+DH,

/.AC=DH=x[?]14,

在Rt^ABC中，tan76°=AC,即x-14^4.01.

解得：X^18.7,

经检验X^18.7是原方程的解.

答：古塔BC的高度约为18.7米.

37.【正确答案】解：过点C作CN1AB,交AB于M,交地面于N.

G

由题意可知：MN=0.3,当CN=0.9时，CM=0.6.

CM

RtABCM中，ZABE=70°,sinZABE=sin70°=CB=Q.