2025北京初三一模数学汇编：选择压轴

2025北京初三一模数学汇编

选择压轴

一、单选题

1.（2025北京石景山初三一模）如图，矩形ABC。中，-BC<AB<BC.点E在2C边上，以AE为边作

2

正方形AEFG,点/恰好落在边CD上，AG与AD交于点H设BE=a,CE=b,AE=c,给出下面三个

结论：①CD=b；②a+b<6c;③HF=f（b-a）.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2025北京朝阳初三一模）“藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的

星空”.某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结

构，他们通过测量得知A，4G，2分别是正方形ABCD的四条边的中点，将四边形绕正方形

A5C。的中心顺时针旋转45。，可以得到四边形482c2与£乙,打；,印,4分别经过点4，星,02,且平行

于A2，AA，4G，GR.给出下面四个结论：

①E,尸是线段的三等分点；

②4是线段EL的中点；

③EFGHIJKL是正八边形；

④的面积是△A£L的面积的2倍.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

图1图2

A.①③B.①④C.②③D.②④

3.（2025北京平谷初三一模）如图，正方形ABCD,对角线相交于点。，以。为顶点作与正方形ABCD同

样大小的正方形0用取,/£07=。（0。<。<90。）,0^与05交于点尸,0加与3（:交于点石，连接EF.给出

下面四个结论：

D

①FN=EM；

②NEFC=a；

③四边形OEC尸的面积等于正方形ABC。面积的四分之一；

④当打工45。时，OC<EF.

上述结论中，所有正确结论的序号是()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

4.(2025北京西城初三一模)下面是“过直线/外一点尸作直线/的垂线”的尺规作图方法.

(1)任取一点K,使得点K和点尸在直线/的两旁；

(2)以点P为圆心，PK长为半径作弧，交直线/于点A和点8；

(3)分别以点A和点B为圆心，大于空的长为半径作弧，两弧相交于点

2

C；

(4)作直线PC.

直线尸C就是所求作的垂线.

上述方法通过构造直线/上线段48的垂直平分线，得到直线/的垂线PC.其中判定点C在线段48的垂

直平分线上的依据可以是()

A.点P与点C关于直线/对称

B.过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

C.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

5.(2025北京丰台初三一模)如图，△ABC是等边三角形且边长为1,点。，E,尸分别在边

CAAB,3c的延长线上，AD=BE=CF=1,连接DE,EF,FD,EC.给出下面四个结论：

D

①，DEF是等边三角形；

②DC，EC；

③△ECF的面积为必；

2

④,DEF的外心与△ABC的外心重合.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

6.（2025北京大兴初三一模）己知边长为。的正方形Q4SC,过点8的直线分别交OC的延长线于点

D,E,设CE=c,△ABD,BCE,正方形6MBe的面积分别为耳，S2,S3.给出下面三个结

①a?=bc；②b+ci2a；③H+S2WS3.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.（2025北京通州初三一模）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,将线段CB绕点C顺时针旋转

ct（0°<a<90°）,得到线段CD,连接BD,过点A作交BD的延长线于点E,连接AD,那么

—D4E的度数（）

C.不变D.随着。的增大，先增大后减小

8.（2025北京房山初三一模）如图，在等边△ABC中，点。，E分别是边48、2C上的动点，且

BD=2CE.以。E为边作等边/OEF.使点A与点尸在直线DE同侧.交AC于点G.E尸交AC于点

H.给出下面四个结论：

A

①NBED=ZAHF；

②ADDF=3EZ)G；

③若ED_LAB,则DF1AC；

④若CE：BE=1:2,则四边形DBEF是菱形.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

9.2025北京海淀初三一模）图1是半径为1cm的圆形硬币，点M是硬币外沿上的一定点.图2为四个轨

道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为2:1的矩形、正方形和正

六边形，周长均为6万cm,对称中心均记为点P.点N为轨道上一定点（除轨道①外，N均为的中

点）.将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点”与N重合.若硬币沿轨道顺时针无

滑动地滚动，当点M第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为N',则四个轨道中，4/PN'最大的是

()

轨道①轨道②轨道③轨道④

图1图2

A.轨道①B.轨道②C.轨道③D.轨道④

参考答案

1.D

【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明

A£B（AAS）可判断①，连接AF,可得人尸=怎，根据垂线段最短即可判断②，证明

△。〃/-△。”可判断③，熟练运用上述性质是解题的关键.

【详解】解：，四边形A3C。为矩形，

/.ZC=ZB=ZD=90°,AB=DC.AD=BC,

四边形AEFG为正方形，

:.FE=EA,ZFE4=90°,

NCFE+NCEF=NBEA+NCEF=90°,

:.ACFE=ZBEA,

:.CFE空BE4（AAS）,

/.CD=AB=CE-b,故①正确；

如图，连接AF,

/.AF=y/2AE=A/2C,

根据垂线段最短，可得AFNAD,即怎2〃+b，当点尸与点。重合时，取等号,

-BC<AB<BC,

2

.•.点/不可能与点。重合，（否则可知〃=5248=3。）

:.a+b<\[2c>故②正确；

VCF=EB=a,

..DF=DC-CF=b-a,

由题意可知：/D=/EFG=90。,

:"DHF+ZDFH=/EFC+ZDFH=骄,

■:ZDHF=ZEFC,

"="=90。，

NDHF〜bCFE,

DFFH„b-aFH

/.——=---,即n-----=----,

CEFEbc

:.HF=^-{b-a）,故③正确，

b

综上所述，正确的为①②③，

故选：D.

2.C

【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质

与判定，勾股定理等等，连接AC,BD交于0,连接AG，设A5=2a,可证明AG经过点0,在正方形

ABC。中，AC=&B=2垃a，ZAO8=90。，NQ4B=45。，则OA=；AC=&。，再求出

AAl=OAl=^AB=a,ZA,OA=45°由旋转的性质可得=。，^0^=45°,则4%。三点共

线，证明AAR是等腰直角三角形，进而可证明△血是等腰直角三角形，根据NE4C=NL4C=45。，

可得EL=2叫=2（。4一。4）=2缶-2。，4是线段EL的中点，则AE=,皮=2。-0a,据此可判断

①②；可证明，LK=JI=GH=KJ=HI=FG=EF=EL=2及a-2a，据此可判断③；证明

△AELsA^R,可得;必=［非］=3+},据此可判断④.

【详解】解：如图所示，连接AC,BD交于0,连接AG，设AB=2a,

图2

.四边形A5CD是正方形，AW，G，自分别是四边形的四条边的中点，

•••4G经过点0,

在正方形至8中，AC=42AB=2yf2a，ZAOB=90°,NOAB=45。，则。4=：AC=V^a,

：4为A3的中点，

AAX=OAX=^AB=a,ZA.OA=45°

由旋转的性质可得。4=04=a，ZA0A=45°,

.♦.A,&，。三点共线，

,/2是AD的中点，

AA^=AD1=；AD=a,

•••AAA是等腰直角三角形,

ZAAJPJ=45°,

・.・EL//A.D,,

：.ZAEL=ZA4D,=45°,

・•・△血是等腰直角三角形，

又・・•ZEAC=/LAC=45°,

***EL=2A^=2(OA—=2^2a—aj=2y/2a—2a,4是线段EL的中点，故②正确;

/.AE=-EL=2a-y/2a,

2

AE^-AB,

3

:.E,尸是线段AB的三等分点，故①错误；

同理可得3尸=2。-缶，

,•EF--AE-BF-2a-2。+A/2Z7-2a+-2a，

同理可得KJ=HI=FG=2及a-2a，LK=JI=GH=2缶-2。，

LK=JI=GH=KJ=HI=FG=EF=EL,

:.EFGHIJKL是正八边形,故③正确；

•/EL//A.D,,

：.△AELS/VL4I2,

故选：C.

3.D

【分析】①先证明ZDOF=ZCOE,进而可依据“ASA”判定DOF和COE全等，则》=0E,再根据

ON=OM可得出FN=EM,由此可对结论①进行判断；②设OC与跖相交于点T,根据5=OE,

=90。得.。砂是等腰直角三角形，贝i]NOEF=45。，Mtg®ZDOF=ZCOE=a,利用三角形内角

和定理得N£FC=3由此可对结论②进行判断；③根据，DOP和.COE全等得S叼=SCOE，进而得

S四边形OECF=$os,由此可对结论③进行判断；④过点。作OH人BC于点H,由勾股定理得EF=叵OE,

依题意得OE>O”,则EF>夜08,证明△OCH是等腰直角三角形，再由勾股定理得OC=0OH,则

EF>OC,由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：①；四边形ABCD是正方形

AOD=OC,ODLOC,/ODF=NOCE=NOCD=45。，

：.ZDOF+ZFOC=90°,

•・,四边形QMPN是正方形，

：・ON=OM,/NOM=90。,

・•・ZCOE+ZFOC=90°,

：・/DOF=NCOE,

在匚。0b和CO石中，

ZODF=ZOCE

<OD=OC,

ZDOF=/COE

.・.DOF^COE(ASA),

OF=OE,

：.ON-OF=OM-OE,

:.FN=EM,

故结论①正确；

②设OC与斯相交于点T,如图1所示:

M

VOF=OE,ZNOM=9Q°,

・•・是等腰直角三角形，

JZOEF=45°,

,:ZDOF=/COE=a,

・••在。£7中，ZCOE^ZOEF^-ZOTE=180°,

Acr+45°+ZOJE=180°,

JNOTE=135。—a,

・•・ZCTF=ZOTE=135。一a,

在△CFT中，AEFC+AOCD+ACTF=180°,

JNEFC+450+135。—a=180。,

/EFC=a,

故结论②正确；

③•/^DOF^ACOE,

・

••q°DOF―~s0.COE，

•V—V_i_v_V_i_V-Q

••Q四边形OEC尸一0,COE丁0OCF~°,DOF丁0-OCF-°OCD，

.S&OCD=S正方形ABC0，

,"S四边形OECF=45正方形ABCD

故结论③正确;

④过点。作OH13C于点"如图2所示:

OEF是等腰直角三角形,

由勾股定理得：EF=y/OE2+OF2=&OE

VADOF=Z.COE=a,(ZH45°,OF=OE,

：.OE>OH,

•*-EF>血OH

,：NOCE=45°,OHIBC,

△OCH是等腰直角三角形,

OH=CH,

在RtOCH中，由勾股定理得：oc=J。"?+CH?=夜OH

EF>OC,

即OC〈跖，

故结论④正确,

综上所述：正确结论的序号是①②③④.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键.

4.D

【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键.

根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解.

【详解】解：根据作图可得AC=BC,依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得

到点C在线段A3的垂直平分线上.

故选：D.

5.B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.利用SAS证明

△R4E2△£»尸之△FCD,推出八£=跖=阳，证明DE尸是等边三角形；利用三角形的外角性质求得

NBEC=NBCE=；NABC=30。,可证明DCJLEC；利用勾股定理求得CE=g,求得

SAFCE=S3BCE=B；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解・

△JTCCZXDCC4

【详解】解：:△ABC是等边三角形且边长为1,

AAB=BC=CA=1,ZABC=ZBCA=ZCAB=a）°f

AD=BE=CF=1,

：.AE=BF=CD=2,ZDAE=ZEBF=ZFCD=180°-60°=120°,

:.DAE丝EBFgFCD（SAS）,

:.DE=EF=FD,

JQEF是等边三角形，故①正确；

VBE=BC=\,ZABC=60°f

：./BEC=NBCE=-ZABC=30°,

2

ZDCE=60°+30°=90°,即。C_L£C,故②正确；

VZACE=90°,AC=1,AE=2,

•,CE=V22—l2=A/3,

SAACE=：CEXAC=W，

,/AB=EB=l,

・Q_le

**口ABCE_5-，

BC=CF=19

■-S^FCE=S^BCE=^-，故③错误；

设AABC的外心为0,

D

•••AABC是等边三角形，

二点。也是△ABC的内心，作OGLAC于点G,OHJLBC于点、H,

AOG=OH,AG=CH=-

2

3

DG=FH=—,

2

：.OD=OF,同理则OD=OE=OF,

.DEF的外心与VABC的外心重合，故④正确.

综上，正确的有①②④，

故选:B.

6.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，完全平方公式变形公式，先证明可得

cr^bc,再用完全平方公式变形公式构建不等式判断剩下两个选项，熟练运用完全平方公式变形公式构建

不等式是解题的关键.

【详解】解：•四边形Q4BC为正方形，

ZDAB=ZBCE=NO=90°,

NODE+ZOED=NODE+/DBA,即ZDBA=Z.BEC,

:.ADBAsABEC,

DAABba

「•——二——,即nn一一，

BCCEac

a2=be故①正确；

(b+c^-4bc=(b-cf>0,当且仅当b=c时，取等号，

.-.(Z?+C)2-4<32>0,

(Z?+c)2>4a2,

a,b,c>0,

：.b+c>2a,故②正确;

S、+S2——ab+~etc=/〃（万+c）,

b+c>2a,

2

Sx+S2>af即A+S22s3,

故③错误；

则正确结论为①②，

故选：A.

7.C

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是

本题的关键.

由旋转的性质可得5C=CE>=AC,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求

/BDC+/a)A=g(360。一NAC2)=135o=/BD4,由外角的性质可求"AE=NB/M—NAEE>=45。，即可

求解.

【详解】解：：将线段CB绕点C顺时针旋转a(0°<a<90。)，得到线段C。，

BC=CD=AC,

Z.CBD=Z.CDB,ZADC=ACAD,

：.NBDC+NCDA=1(360°-ZACB)=135°=ZBDA,

"：NBDA=ZAED+ZDAE=135°,

NDAE=ABDA-AAED=45°,

的度数是定值，不变

故选：C.

8.D

【分析】本题考查了等边三角形的判定性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识；由三角形内

角和及等边三角形的性质得=由对顶角相等即可得/皿=NAHF,故①正确；证明

BDEsAGD,再利用OF=Z)E即可得到AD-DRuBEDG,故②正确；利用BDE^AGD,即可得

DFJ.AC,故③正确；当CE:BE=1:2时，由BD=2CE得BD=BE,从而得V5Z汨是等边三角形，贝U

BD=DE=BE,仄而BD=DF=EF=BE,即四边形DBEF是菱形，故④正确，最后确定答案.

【详解】解：：ABC,尸都是等边三角形，

ZA=ZB=ZC=ZDEF=ZEDF=60°,

：.ABED+ZHEC=ZHEC+NEHC=120°,

ZBED=ZEHC,

'：ZAHF=ZEHC,

：.ZBED=ZAHF,故①正确；

,//A=/B=/EDF=60。,

：.ABED=180°-ZB-NBDE=120°-ZBDE=ZADG,

.•一BDES^AGD,

.BEDE,_

・・一=—,即anADDE=BEDG；

ADDG

・・•Q£F是等边三角形，

DF=DE,

；・ADDF=BEDG,故②正确；

ED工AB,

：.ZEDB=90°；

■:BDES..AGD,

・ZDGA=NEDB=9。。，

即。尸1AC,故③正确；

当石=1:2时，即5£=2CE；

•:BD=2CE,

:.BD=BE,

,//3=60。，

•••△BDE是等边三角形，

JBD=DE=BE,

•:DE=DF=EF,

：.BD=DF=EF=BE,

・••四边形DBEF是菱形，故④正确；

综上，全部正确；

故选：D.

9.B

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判

定，圆的周长计算，先求出圆形硬币的周长为2»cm,则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点M第一

次回到轨道上时，点M的运动路径长为2»cm；轨道①滚动可得NV的长为2»cm,据此可求出

3

NNPN'=120。；轨道②滚动可确定AM=2万cm,过点尸作尸HLAD于连接

TT

PA,PB,PN,PN',PD,证明四边形⑷VPH是矩形，得到P"=AN='cm,ZNPH=90°,再证明

△HPN'是等腰直角三角形，得到NHPN'=45。，据此可求出NNPN'=135。；轨道③滚动，类似于轨道②

可求出NNPN'<135。；轨道④滑动，可得点N'是E尸的中点，连接尸APB,PF,证明△AP8△/出F都

是等边三角形，得到乙4P3=60。，贝iJ/APN=30°,同理可得NFPN'=30。，贝。

ZNPN'=30°+60°+30°=120°；据此可得答案.

【详解】解：：圆形硬币的半径为1cm,

.,.圆形硬币的周长为27cm,

.•.硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点M第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为2万cm；

当沿着轨道①滚动时，则NN'的长为2^-cm,

27r

ZNPNr=360°x——=120。；

6TT

轨道①

当沿着轨道②滑动时,

•・•四边形ABC。是长宽比为2:1的矩形，

:.AD=BC=2AB=