2025届湖南省高三数学下学期（二模）模拟试题（含答案）

2025届湖南省高三数学下学期（二模）模拟试题（含答案）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合“nW-IvxvZLBnlx-Zvxvl},则集合(

A.(T，1)B.(—2,2)c(-2,-1)0(1,2)D(-2,-1]o[1,2)

2.已知z是虚数，z?+2z是实数，则2的（）

A.实部为1B.实部为-1

C.虚部为1D.虚部为-1

1一_

3.若为单位向量，法在方方向上的投影向量为a',则卜一20二

)

A.8B.GC.出口.近

4.若5个正数之和为2,且依次构成等差数列，则其公差"的取值范围是（)

AU晨1

5.已知函数/（X）的部分图象如图所示，则函数/（“）的解析式可能为（

22

2x十疝?r

4)=-普

c"一启D.x

6.已知实数。>6〉°,则下列选项可作为。-6<1的充分条件的是（）

y/a—4b—1B.ba2

ab

C2-2=lDlog2^z-log2Z)=l

7.若锐角见广满足3cos（a+〃）=cosacos4则tan（a+〃）的最小值为（

A.2&B.2GC2也D.2a

8.如图，在A/BC中，/A4c=120。，其内切圆与NC边相切于点。，且幺。=1,延长A4至点£.使

得BC=BE,连接CE.设以GE两点为焦点且经过点幺的椭圆的离心率为'，以GE两点为焦点且经

过点幺的双曲线的离心率为‘2,则602的取值范围是（）

——,+。

2C.L+。)D.a+")

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如

图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于

180，％）内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100）内的同学成绩方差为io.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：机底寸；加记样本平均数为。.样

S2,S2=———「5；+（无一了了]-I——--「s；+（歹一⑼2~\

本方差为m+nLJm+nL」

频率/组距

A。=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

10.在菱形NBC。中，4s=26,/48c=60°,将菱形4SCZ）沿对角线NC折成大小为“（

0°＜夕＜180°）的二面角8-ZC-。，若折成的四面体N8CO内接于球O,则下列说法正确的是（

）

D.当夕=60°时，球°的体积为27

11.已知函数/⑺及其导函数/'⑺的定义域均为R,记g（x）=/'（"）,若/⑺满足

“2+3x）=/（-3x）,g（x-2）的图象关于直线》=2对称，＞^（°）=1,则（）

小⑺是偶函数B.g6）=g（x+4）

c/（x）+/（-x）=0口导出=。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知直线/是圆°：/+/=1的切线，点“（—2，1）和点'（0,3）到/的距离相等，则直线/的方程可以

是.（写出一个满足条件的即可）

13.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任

意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6=2?+F+F+°?.设

25=a2+b2+c2+d2,其中/均为自然数，则满足条件的有序数组（见“的个数是

.（用数字作答）

14.若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为2｝,且该三棱台的所有顶点都在球°的表面

上，则球°的表面积为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）如图，直四棱柱4sCD—481GA的底面是边长为2的菱形，/48C=60°,8〃_L平面

4c1。

（i）求四棱柱4用°。1的体积;

（2）设点与关于平面4G。的对称点为E,点E和点G关于平面a对称（E和1未在图中标出），

求平面4。。与平面a所成锐二面角的大小.

16.（15分）记S"为数列｛"”｝的前〃项和,已知〃％+（〃-1）。2+••,+4=2S“-1

（1）证明：数列｛,"｝是等比数列；

12n

m...—I--1---1--

（2）求最小的正整数机，使得火电4对一切〃eN*都成立.

x2y2

x-v-T=1（。＞6〉0）（D

17.（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆。b的右顶点为人离心率为

乌尸

2'是直线％=4上任一点，过点"（L°）且与尸朋■垂直的直线交椭圆于48两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）设直线尸49,尸8的斜率分别为勺，左2,左3,问：是否存在常数X,使得K+&n'e?若存在，

求出X的值；若不存在，说明理由.

18.（17分）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼,

一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为2,每

次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X,已知X的分布列如下：（其中

6/>0,0<p<l）

X0123

a

PaQ-p)2a

P

（1）记事件4表示王同学假期三天内去运动场锻炼，•次（Z=°」'2,3）,事件8表示王同学在这三天内去

甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当a时，试根据全概率公式求0（8）的值；

£（X）=-

（2）是否存在实数夕，使得3?若存在，求夕的值：若不存在，请说明理由；

（3）记四表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件，，王同学去甲运动场锻炼，，，

0<1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举

办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：尸附'）"（'町.

19,（17分）已知函数/（》）=5也3'+°）3〉0,0<°<兀），满足=—/〔万〔且

（兀兀）

/⑺在区间（了可上无极值点.

（1）求/（“）的单调递减区间；

（2）当石'々［"+1维2时，设的最大值为求尸⑹的值域；

771

（3）把曲线>=/（"）向左平移8个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

得到曲线发且⑺.设函数。0（"一帆⑺/'11）,将9（"）在区间I5'1上的极值点按从小

到大的顺序排列成数列《;若。a）+。（％）=°,求实数左的值.

湖南师大附中2024届模拟试卷（二）

1.D【解析】由题意，ZC5=（T1）,八5=（-2,2）,所以质式幺》）=（-2,-1卜［1,2）,选口

2.B【解析】设虚数zn'+big/'R/7°）,则

z2+2z=(a+bi)2+2(a+bi)=a1-b2+2a+2b(a+l)i而z?+2z是实数，故助S+l）=°,得到

q=一1.选B.

方/=_J_/&__J_

3.D【解析】1在方方向上的投影向量为〔网J2,得网2.由于％方为单位向量，

a-B=~-|a-2^|=Ja2-4«-^+4^=Jl-4x|--|+4xl2=g

因此以2,于是।\5.选D.

4.A【解析】设这个五个正数依次为为，外，/，％，%,则由他们成等差数列可知

222

_s_%=—2d%=—H2d

%+4+%+%+%="3=2,故5.为使五个数均为正数，只需5和5均大

1,1

——<d<-

于零即可，解得55.选A.

5.A【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C,

由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；

由图可知，当X'+”时，歹―一0°,而对手D选项，当Xf+”时，>故排除D,故选A.

6.C【解析】取°=4/=1,排除A：取"=2/=1,排除B；取。=4/=2,排除口；

由2"-2&=1,可推出2〃=丁+1<2"、即.选c

3cos(a+4)=coscifcos/?=3cosacos/?-3sinasinA=cos6zcos/?ntanatan尸=一

7.D【解析】3.于

tan(a+/)=:皿"+ta”,_3(tana+tan/)..6jtanatan尸=2^/6

8.D【解析】如图，设内切圆与边8C，8£分别相切于点RG.由切线长定理和的对称性，可设

CF=CD=EG=x

由力£)=1,可得4。=x+1,/£=£G—4G=x—1

在“CE中，由余弦定理，—=(x+l)2+(x-1)2-2(x+l)(x-1)COS600=X2+3

eeCECE_C.2__2+3_1』3)

于是根据椭圆和双曲线的定义，।2AC+AEAC-AEAC2-AE22X-2

接下来确定x的取值范围.

设BF=BG=y,在中，NC-x-l/B=y+l,BC=x+儿于是由余弦定理，

(x+y)2=(x+1)2+(j+1)2-2(x+l)(j+l)cosl200整理得9—3(x+y)—3=0,于是

x—3,故x〉3,从而.选D.

)7\y

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BCD【解析】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

则(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得4=0,005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为G"+3«>10=50«=0.25<0.5

前三个矩形的面积之和为（2。+3a+7a）x10=120a=0,6>0,5

设该年级学生成频的中位数为加，则根e（7°，80）,

根据中位数的定义可得°25+（掰-70）x0.035=0.5,解得77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为7714,B对；

6a皿2QV

----------x85+----------x95=

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为6。+2。6a+2a分,

C对；

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

|[12+(87.5-85)2]+1[10+(87.5-95)2]=30.25

D对.故选：BCD.

10.AD【解析】对于A选项，:/台二？百,//8C=60°,则A/BC为等边三角形，

:.AC=AB=2后

取/C的中点E,则BE,/C,同理可知，A/C。为等边三角形，所以，DE1AC,

BE=DE=2V3sin600=3,SABC=-AC-BE=3^3

且2

所以，二面角B—ZC—D的平面角为'=

设点D到平面ABC的距离为d,则d=DEsind=3sin',

VD-ABC=\S“BC,♦=Jx3百x3sin6=3esin”,373

33,当且仅当8=9°时，等号成立,

即四面体"BCD的体积的服大值是3百，A选项正确；

对于B选项，由余弦定理可得必=5炉+主_2跖.3。=18-18cos，e（0,36）,

所以，">e（O,6）,B选项错误;

对于C选项，S“CD=S“BC=36

•;AB=AD=BC=CD,BD=BD,:.&ABD=ACBD

SrRn=SARri=—AB-ADsm^BAD=6sm^BAD„6

所以，2,

因此，四面体4sCD的表面积的最大值是2X3G+2X6=12+6G,c选项错误;

对于D选项，设MDN分别为△48G//CD的外心，则3

在平面BDE内过点M作BE的重线与过点N作DE的重线交于点°,

•/BE1AC,DE1AC.BEcDE-E,:.ZC_L平面BDE

•/OMu平面BDE...OM上AC,

OM：LBE,BEcAC=E,:.0M1平面ABC,同理可得ON1平面ACD,

则。为四面体ABCD的外接球球心，

连接OE,;EM=EN,OE=OE,NOME=ZONE=90°,:.^OME=^ONE,

NOEM=—=30°,.*.OM=—

所以，23,

OM=—,MB=2,:.OB=VOM2+ME2=—R=—

中，33,即球。的半径为3,因此,

〃452a

V――兀7d3?=--------兀

球°的体积为327,D选项正确.

故选：AD.

11.ABD【解析】对于A选项，因为函数目口一2)的图象关于直线*=2对称，

贝心(2—x—2)=g(2+x—2),

即g(f)=g(x),所以，函数g⑺为偶函数，故A正确；

对于B选项,因为“2+3x)=/(-3x),令/=3x,可得/(,+2)=/(T),即/(X+2)=/(-X),

对等式/(x+2)=/(-x)两边求导得广(x+2)=-x),即g(x-2)+g(—x)=0,

故g(x+2)+g(x)=0,所以g(x+4)=-g(x+2)=g”故B正确；

对于C选项，因为g(")=/'(X),则/'C(X),

令Mx)=/(x)+〃r),贝卢(x)=/'(x)-/'(r)=。，所以，为常值函数，

设“x)="x)+/(r)=C,其中C为常数,

当CH°时，"r)=C-“X)*-/(x),故c错误；

对于D选项，因为g(x+2〃g(r)=g(x+2)+g(x)=0,所以，g°)=°，gg+gg=°

g(2)+g(0)=g(2)+l=0,可得g(2)=-1,

g[£l+g|Xl=g闫+g]£|=g图+g[£H,g(3)=g(3-4)=g(-i)

由g(x+2)+g(-x)=g(x+2)+g(x)=0,令》=1,可得g(3)+g(l)=0,则

g(3)=0,g(4)=g(0)=l

所以

g出+g（l）+g图+g（2）+g&+g（3）+g]£|+

g（4）=g（l）+g（2）+g（3）+g（4）=0-l+0+l=0

因为2024=8x253,D对.故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12》一尸亚=0,》-少+虚=0,3》+4歹-5=0,x=-1(写出一个满足条件的即可)【解析】若/

_姓=1

“AB.此时/的斜率为1.设/的方程为丁="+6,则点°到/的距离④，得6=土也,因此/的

方程为“一了一收二°或“一＞+也=°.若/经过48的中点，当/的科率不存在时，/的方程为x=—l；

,W=1k"

当/的斜率存在时，设其方程为'+1）+2,则点。到/的距离J储+1,得4,此时/的

方程为力+”一5=0故答案为：x—y—应=O,x—y+虚=0,3x+4y_5=0,x=—1（写出一个满

足条件的即可）.

13.28【解析】显然见Ac,d均为不超过5的自然数，下面迸行讨论：

最大数为5的情况：

025=52+02+02+02,此时共有A；=4种情况

最大数为4的情况：

@25=42+32+02+02,此时共有A：=12种情况

③25=不+2?+2?+俨,此时共有A；=12种情况

当最大数为3时，32+32+22+22>25>32+32+22+1\没有满足题意的情况.

由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是4+12+12-28.

11

--71

13.2【解析】设正三啜台/BC—/4G,如图，先考察正三梭台的一个侧面,设48<44.

在—48中，由于是钝角，故中最大的边是48,若48=2,则48和幺4的长只能取

1或百.此时若两边长均为1和1,则不满足两边之和大于第三边；若一边长1,一边长百，则

△44内变为直角三角形；若两边长均为百，则44的长只能为1,与44矛盾.

因而只能是48=6，'5=，4=1，A14=2

设三棱台的上底面中心为力,下底面中心为如图，在直角梯形"24中求球0的半径.容易求得

AD=~,AlDi-^-,DD]=—

311313

R2=X2+

设球°的半径为氏0°1=x,则

V6p211.„211

x=------,R=—4兀R=­71

解得128,故球°的表面积为2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】（1）设直四棱柱的高为a.设菱形440〃的两条对角线相交于点。，则℃1,0。，

以°为坐标原点，0G的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设知，点瓦

因为明，平面4G。，所以即,CQ.

则BD],C\D=6—Q2=0,得。=-^6

2

F=—X2XO=6A/2

故四棱柱的体积2

A

D

(2)因为叫,平面4G。，所以点E在线段叫上，且C|£=GR=2.

设屉=2西(0<4<1),则EG，G(22—1)，后(1—2))G£2=俨+3(2%—1)2+6(1—㈤2=4

A=lE

得4=i（舍去）或3,故

印=-1,

由于点E和点G关于平面a对称，所以I

西=@,2省,指）是平面4G。的-个法向量,

与2国&*V2

372x2V

兀

即平面4Go和平面a所成锐二面角的大小为Z.

16.【解析]（1）由题设知〃q+（〃―1）4+…+%=2S〃_1.

用“+1替换上式的n,得（〃+D"1+"%+han+\=2s0+i—1

ai+i-i=

两式作差，%+出+…+%+n+\=S〃+=2szi2Sn,即S〃+2Sn

而由lx%=2S]-1,可得百=1。0

从而｛J｝是首项为1,公比为2的等比数列.

2"-2,*2,

4=S"』

c—=1.

(2)由(1)得"于是

n

，+2+­•,H------

设axa2%,则4=1

11

gT—1J-?y90勿Y)2-〃_T=—l-2x2H-----1-Mx2

当〃..2时，Tn-1+2x2+・・・+〃x2，故22

/(2T+2"..+22”〃x2j1^PiW

-T

两式作差，得2”

整理可得北=7-(〃+2)x2?〃

49■

77T$=--->6

故"，又8,因此满足条件的最小正整数机为7.

-T=1（。〉b〉0）。n、—

17.【解析】（1）由题意，在椭圆。b中，右顶点为人离心率为2,

2

C也Lr

a-2,e=—=—c=A/3,/.b2=a2-c2=1,/.---y2=I

a2椭圆的方程为：4

■=1

（2）由题意及（1）得在椭圆4-中，设存在常数2,使得/+左3='%2.

当直线斜率不存在时，其方程为：X=l,

工百）Ji⑻

代入椭圆方程得（2JI2此时尸（4,0）,可得勺+&=°=牝

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为V=左（x—1），左片0，/（西,yx\B（x2,%）,

将直线万程代入椭圆万程得：1厂，

8k24k2—4

X.+x=-----▼，％匹）=-----

121+4左2'121+纵2

P是直线X=4上任一点，过点M（1Q）且与PM垂直的直线交椭圆于48两点,

y=_£（XT）,，P\4,--|I

.••直线0M的方程为：k13,

3333

1%+不%+不%+7取+7（1A

k2——，左1=---—,k3=-----鱼,,・3]+k3=弱,：.----+----=2——

k

由几何知识得；再一4々-4苞―4X2-41k）,将

8k24左2—4/、/、22

玉+»中，'=诋，%=/-1）叱上一）代入方程，并化简得：-厂-工

解得:

综上，存在常数彳=2,使得勺+&=〃<

；时，尸（4）=犷⑷=2.,尸⑷"⑷、

P

18.【解析】（1）当

a-a,4

--\-2a+a-\——=1a=—

则42,解得15.

1（1\2c1

P04片Gx^,P（8A）-C-,P（B4）=c；I

由题意,

P（B）=±P（B\4）尸（4）=券+《[；]二+C*[+C；K[3]a（l—p）

2p

由全概率公式，得/=1⑴L⑴⑶J

aaa、

又"",所以"：

12c1c

---FQ+Q(1-P)+Q(1-p¥=1一=p-3p-\-----F3

(2)由P，得Qp

E(X)=—+2a+3a(1-T?)=—

假设存在夕，使P3

-+5-3p=^-5p+—+5

将上述两式相乘，得P33P，化简得：5P3—6/+2=0

设力(p)=5/-6/+2,贝卢(p)=15/_I2p=3p(5p-4)

44

由“)<0,得。由"(p)〉o,得T<1,

“、化[h(、=竺〉o

则〃⑺在I5J上单调递减，在15J上单调递增，所以〃⑵的最小值为⑴25,

所以不存在夕。使得“P。)=°.即不存在?值，使得“㈤3.

P(NM)P(NM)P(N)-P(NM)

..—-------〉----=--=---------------

(3)证明：由题知产仙画〉P(NM),所以P(M)P(M)1—P(W),

所以P(NM)>P(N)P(M),

所以尸(NWP(N)P(Mil)〉尸(N)P)—P(N)P(2W)

__P(NM)P(NM)

即尸(7W>P0)>p(N)•尸(R"),所以P(N)>P(N),即P(MN)〉P(/N\

x=P(型,o]

19.【解析】(1)由题设知直线“可是/(X)的一条对称轴，点I8'1是/CO的一个对称中心,

3兀兀_T_2兀_之

所以/(X)的最小正周期T满足884,故7=兀，从而T,

故"sin12x+：

幺t合0＜。＜兀知

今92帆2冶”g+2E得/⑺的单调递减区间为长+仇『可（"）

（2）注意到“（’）的值域就是/（“）在区间I’"」上最大值与最小值之差的取值范围.

//+兀兀//+兀

①若/G）的对称轴在区间1’4」内，不妨设对称轴W在L'4」内，则/（X）的最大值为1.

/0+乌］=/（7）/Wy（）