2025届湖南省岳阳市高三教学质量检测模拟试题（三模）含答案

2025届湖南省岳阳市高三教学质量检测模拟试题(三模)

本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉

原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合/={一2，一1，0，1，2,3},Ix+1则2口8=()

A{-1,0,1,2,3}B.{0」23}c{1,2,3}D{0,1,2)

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化简集合B,结合交集的定义求NcB.

x-3<0|(x-3)(x+l)<0

【详解】不等式》+1一，可化为卜+10°,

所以不等式x的解集为同T<V},

所以八{H—l<x<3},又/={—2,TO,1,2,3},

所以={0,1,2,3},

故选：B.

2.若虚数单位i是关于x的方程弟+加+2x+l=0(a/eR)的一个根，贝m+加1=()

A.④B.2C.也D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出°力，再求出复数的模.

【详解】依题意，ai3+M2+2i+l=0,即(2-a)i+(l-6)=0,又a,beR,

则a=2,6=1,所以|a+bi|=|2+i|=HF=若.

故选：C

3.直线2"—3歹+1=°的一个方向向量是()

A.GNB.G，3)c.G-2)D,(2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量口，再求与口共线的向量即可.

_k=-_a=

［详解］直线2x—3y+l=0的斜率为3,则直线2彳―3>+1=0的一个方向向量

3x1x2—0八0、

对于A,因3,即向量与共线，A是;

2

2x-----lx3wOs

对于B,因3,即向量*'不共线，B不是;

2/、

3x-----1x(—2)w0(Q_o\

对于C,因3,即向量一打与不共线，C不是;

2/八、八

2x1x(—3)wOs

对于D,因3,即向量(4一”与不共线，D不是.

故选：A.

4.下列命题正确的是()

A.若直线/上有无数个点不在平面a内，则

B,若直线。不平行于平面&且。仁。，则平面。内不存在与。平行的直线

C.已知直线。，b,平面见广，皂aua,bu,则直线a,6平行

D.已知两条相交直线。，b,且。〃平面a,则与a相交

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析选项，可得答案.

【详解】若直线/上有无数个点不在平面a内，贝或/与。相交，故A选项不正确；

若直线。不平行于平面1且aa。，则。与。相交，所以平面。内不存在与。平行的直线，故B选项正

确；

已知直线°力，平面%尸，豆aua,bu/3,all/3,则直线。力平行或异面，c选项错误；

两条相交直线口力，且a〃平面a,则6〃平面a或6与a相交，口选项错误.

故选：B

5.已知了=仆+D+1为奇函数，则/(-1)+/(0)+/(1)+〃2)+〃3)=。

A.-12B.T°C.-6D.-5

【答案】D

【解析】

【分析】由函数图象平移的规则，且y=/(X+D+I为奇函数，得出函数了=/(》)图象的对称性，进而

得出/(-1)+/(0)+7(1)+/(2)+”3)的值.

【详解】由函数图象平移的规则可知：

函数了=的图象可由函数J=/(x+l)+l的图象向右平移1个单位、向下平移1个单位得到的，

因为函数歹=/a+1)+1为奇函数，所以函数y=/a+1)+1的图象关于原点对称，

所以函数了=〃x)的图象关于点(1，T)对称，得：

/(-1)+/(0)+/(1)+Z(2)+/(3)=[/(-1)+/(3)]+[/(0)+/(2)]+/(I),

即/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=2x(―1)+2x(―1)+(-1)=—5,

故选：D.

6.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙

丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是()

A.96种B.60种C.48种D.36种

【答案】D

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得.

【详解】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊.

第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有人；=2种情况，

第二步，将这个整体与丁戊全排列，有人；=6种安排方法，

第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有人；=3种安排方

法.

则由分步乘法计数原理，不同的方案共有2x6x3=36种.

故选：D.

7,已知等差数列｛%｝的前“项和为S”，若〉0，邑0=100,则即A1（）

A.有最小值25B.有最大值25C.有最小值50D.有最大值50

【答案】B

【解析】

【分析】由邑。=10°,利用等差数列的性质推出％。+%=10,再利用基本不等式计算即得.

由邑。=”\°际+%）即可得…口。

【详解】

因42%>0,则等差数列>0,an>0

一注）'=25_

则2,当且仅当力。一％】一，时取等号，

即当%o=%i=5时，%o%i取得最大值25.

故选：B.

、fe"+a,x<〃

f（x）=<2o

8.已知函数U+2ax,x>a/⑴不存在最小值，则实数a的取值范围是（）

A（TO）BBT01°）呜7D-G

【答案】c

【解析】

【分析】分别在a2°条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数/（X）的取值规律,

由条件列不等式求。的范围，可得结论.

【详解】⑴当时，若x<。，则/(x)=e'+a,

f(x)=e'+a'(—8,a)v,、苗、*4_吊a

因为函数jv7在')上r单1调递增，所cr以HIa<」f;(x})<Q+a，

若则/(x)=*+2"=(x+a)-4当且仅当x=_q时取等号，

因为/(x)不存在最小值，

所以一/>。，所以—

⑵当a20时，若x<a,则/Oe'+a,

因为函数/G)=e*+。在(-°°，。)上单调递增，所以°</⑺比"+«,

若则/(x)=x+2ax=(x+a)-a>f(a')=3a,当且仅当x=a时取等号，

因为/(x)不存在最小值，

1

2a>一

所以3a>a,所以3,

(-1,0)0^—,+°°^

所以实数。的取值范围是13兀

故选：C.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.C；=C；,则〃=3

cmm+1c加+1

=―〃+]

B.〃+1

C.(X一4°的展开式的第6项的系数是C；。

D.(1+x)3+(1+x)4+(1+X)5的展开式中X2的系数为C6T

【答案】BD

【解析】

【分析】根据组合数的性质，解不等式C；=C；判断A,利用组合数的性质证明结论判断B,根据二项式

展开式的通项公式求第6项，确定其系数，判断C,结合二项式展开式的通项公式及组合数性质求展开式

中炉的系数，判断D.

【详解】对于A,因为C；=C［由组合数性质可得〃=3或"=4,A错误,

_n\_m+1（〃+1）•加_m+1+

对于Bn加！（〃一加）！n+1+〃+

C加_m+1c加+i

所以〃〃+1/7+1,B正确，

对于C,（1严展开式的第6项为T6=C：O”5（T）=—CM,所以第6项的系数是y,C错误,

对于D,。+幻3的展开式中/的系数为0；,（1+X），的展开式中炉的系数为C；,

（1+NF的展开式中x2的系数为戢，

所以（1++（1+x）4+（1+乃'的展开式中产的系数为

C；+Cj+C；=C；+C；+Cj+C；-l=C：+Cj+C；-l=C-=C»1,D正确

故选：BD.

/（x）=2COS（GX+0）CD>0,|司<—

10.已知函数I2J的部分图象如图所示，则（）

A.0=2

（兀77兀177

1左兀+一，左兀H---，左£/

B."X）的单调递减区间为11212>

兀

C./（X）的图象可由函数了=2COS2x的图象向右平移6个单位得到

1(x)-小？"(X)-/［筝］〉o

D.满足条件I'的最小正整数x为2

【答案】ABD

【解析】

13

X-....7C

【分析】观察函数图象，确定函数/⑸的周期，由此可求①，判断A,再结合12时，函数取最大

值，列方程求夕，根据正弦函数的单调性求"X)的单调递减区间，判断B,根据函数图象变换结论，判断

先求4人化简不等式可得)范围,

C,1>13“X解不等式确定X的范围，判断D.

【详解】设函数"X)的周期为T,

兀兀

——3/-1-3-----7-i—3—

观察函数图象可得，41234,

2兀

--二71

所以阿，又。>0,

所以①=2,A正确，

13

X-....7C

因为12时，函数/(%)=235(3+0)取最大值，a)=2)

2x^^+(p=2jmi,meZ101c巴

所以12，阳2,

(P=--/(x)=2cos|2x--|

所以6,故16人

兀

2kji<2x——<2左兀+兀,左£Z

由6,

TTTT771

kit+—<2x----<kn-\------,keZ

可得12612,

(兀77兀177

左1兀H----#冗+——\,keZ

所以函数/⑴的单调递减区间为l1212J,B正确，

।的图象，C错误,

函数>=2cos2x的图象向右平移6个单位得到函数13,

71

/(x)=2cos2。x----

因为6

可化为（/（》）一）（幻>

所以1/0

所以或

I.71|1ITJTJT

cos2x~—>—2ml——<2x——<2rni+—,nGZ

由/（尤）>1可得,l2,所以363

兀71

rnt-——<X<〃兀+—nGZ

即124

717111兀5兀

-----<x<-----<X<—

取〃=°可得124,取〃=1可得124

71兀371

cosI2x—I<02/71+—<2%----<2/71+——,tGZ

由/6）<0可得,I6，所以262

，兀371r

力t+—<x<机+—AGZ

即36

巴<x<2

取;0可得36,

'/（X）-\与］-〉0

所以满足条件I'）八'3〃的最小正整数x为2,D正确，

故选：ABD

11.如图，四边形"BCD是圆柱。Q的轴截面且面积为2,四边形0°1.绕。a逆时针旋转

，（0W，W兀）到四边形0OQ4,则（）

4

A.圆柱。a的侧面积为2兀

B.当0<夕<兀时，DD[.LAXC

c.当o<e<兀时，四面体CD'4的外接球表面积最小值为3兀

D,当即时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】设圆柱0°i的底面半径为人母线长为/，由己知可得〃=1,结合圆柱的侧面积公式判断A,

由条件，根据线面垂直判定定理证明,平面4c0】，由此证明,A，40,判断B,由条件求四面

体co014的外接球的半径，结合球的表面积公式和基本不等式求其最小值，判断C,由条件利用'"表

八，1

ancos04—

示吗,由此可得2,解不等式求'范围，判断D.

【详解】设圆柱°&的底面半径为乙母线长为/,

因为四边形/8C。是圆柱的轴截面

所以/8=2r,/£>=/,

因为四边形4sCD的面积为2,

所以2〃=2,即1=1

所以圆柱001的侧面积$=2兀〃=2兀，A正确，

因为℃为圆a的直径，所以加J及,

▽42±平而CDD]DDu斗而CDD]

又11平面1,1平面1,

所以又4A，ACu平面=

所以。A,平面4CR,4。u平面,

所以B正确;

因为421DD,,421CDX,DD[LDXC

设四面体的外接球的半径为尺，

皿147?2=D.D-+DC-+

7\UX，

因为DOI=OR

ZOlDDl=---

所以22

710710

DyC-2rsin=2rcos—DD=2rcos=2rsin-

所以‘2~1X2~22

所以4R2=4r2+Z2>2,4/7=4〃=4,当且仅当r=l=l时等号成立,

所以四面体CQQ14的外接球表面积最小值为4兀,C错误,

因为04=08="/405=兀-8,0<6><7T

---------------------/------------0

A】B=+r2-2-r-r-cos（兀一。）=^2r2（1+cos=2rcos—

所以

222

BD[=A/4rcos—+/=V2

所以v2，又”=1,

疗谒%[=2cos*二+£1

所以2r，所以2.r

cos，=--

所以2Hl

cos3<

所以2,当且仅当〃=1时等号成立,

—<0<Tl

又兀，所以3,D正确,

故选：ABD.

【点睛】知识点点睛：本题考查圆柱的侧面积的求法，线面垂直的判定定理，多面体的外接球问题，空

间中两点距离问题，属于综合题，综合考查学生直观想象能力，逻辑推理能力，要运算求解能力.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线°过点（1，遥），且渐近线方程为>=±2'，则C的离心率为.

【答案】2##2

【解析】

【分析】分焦点在x轴或》轴上两种情况，设出双曲线方程，依题意，得到方程组，解之即得离心率.

/一记

【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，其方程为。,依题有方程组无解;

a=V2

当双曲线的焦点在）轴上时，其方程为。,依题有,解得

则a

V5

故答案为：F

13.已知角a，4的终边关于直线N=x对称，且2,则a,广的一组取值可以是

——a=（A;+m）7t+—/=（左一加）兀+』-

【答案】①.1212（答案不唯一，符合12,12或

77t7C

"9+沙+石/=（左-"-运左…Z即可）

【解析】

sin（a-/7）=—„

【分析】由条件角见尸的终边关于直线y=x对称可得a+,,由2可得&一尸,解方程

求见广即可.

【详解】因为角氏£的终边关于直线N=x对称,

71

cc/3—2knH—

所以2,kwZ,

.zmG

又2

a-B=2rmt+—a-B=2mn+—

所以3或3,加eZ,

a=（A;+m）7t+/?=（左一加）兀+1a=（k+m）Tt+ffP=k,m^z

所以

5717r7兀7i

取k=0,根=0可得a=lT〃=方或a=F/=一行

a=、J

所以a，4的一组取值可以是12512,

——a=（A:+m）7i+—（3-（k-m\n+—

故答案为：12,12,（答案不唯一，符合712.12或

77t7C

a=（左+加）兀H-----B=（k-m^Tt---------,„

[712,V712,后,〃zeZ即可）

14.如图所示，直角三角形4sC所在平面垂直于平面a,一条直角边NC在平面a内，另一条直角边

—ZBAC=--

BC长为3且6,若平面a上存在点尸，使得AABP的面积为3,则线段C尸长度的最小

值为

B

【答案】3##3

【解析】

【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得8C1平面48C,利用线面垂直的性质可得8cle尸，进

CP=ABP2--BP=—

而N3,由三角形的面积公式可得sine,即可求解.

AB

AKrBC=-,ZBAC=-=^-

【详解】在中，36,则3,

又平面ABC_La,平面ABCPl。=AC,AC_LBC,BCu平面ABC,

所以8C_Z平面4BC,连接CP,CPua,所以8cle尸,

设N4BP=。（0＜。＜兀）,

5,RP=-ABBPsin0—=----fiPsin^BP=-^—

则2，即323,得sin。，

。=巴

当smO=l即2即48_LHP时，8尸取到最小值i,

此时0尸取到最小值

故答案为：3

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积

CP=\BP2BP=

公式计算得到N3、一sine,而sinowl,即为所求.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知等差数列｛%｝满足：%=2,且％,电，％成等比数列.

(1)求数列｛""｝的通项公式；

,4n2

b=---------------------

(2)若等差数列｛%｝的公差不为零且数列3c满足：(%—1)(%+1),求数列｛a｝的前〃项

和1.

【答案】(1)%=2或%=2"；

Tn=〃+」—

(2)2〃+l.

【解析】

【分析】(1)设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；

(2)求出数列｛"｝的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求

得，

【小问1详解】

设数列｛%｝的公差为.，依题意，2,2+1,2+3d成等比数列，所以(2+疗=2(2+3"),

解得1=0或d=2,当［=0时，%=2；当"=2时，%=2+(〃—1)x2=2〃

所以数列｛%｝的通项公式为%=2或%=2〃.

【小问2详解】

因为等差数列｛%｝的公差不为零，由⑴知%=2〃(〃eN),则

4n24n2

b—--------------------------------------------

"1)@+1)(2〃-1)(2〃+1)

=加—1+11______

4«2-1(2〃-1)(2〃+1)—+2^2zz-l2«+1J

所以2(13；2(35j2(57；2(2〃-12〃+1人

T=«+-fl---------]=〃+—-—

即"2(2Z/+1J2z?+l

16.某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解

考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如

图所示.

频率

lol

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

O“35455565758595初试成绩

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(4，02),其中〃为样本平均数的估计值,

b=lL5,试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数;

(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得。分，后两道题考生每题答对得10分，答

错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的

33

概率均为入，后两题每题能答对的概率均为X,且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20

分(含20分)的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大？

附：若随机变量X服从正态分布NR"),则：P(〃-b<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃-2<j<X<+2cr)=0.9545,尸(〃-3cr<X</J+3a)=0.9973

【答案】(1)182人；

63

(2)100.

【解析】

【分析】(1)先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，然后根据正态分布的性质求得概

率，即可求解；

(2)根据题意确定Y的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.

【小问1详解】

由题意得，样本平均数的估计值为

(40x0.010+50x0.020+60x0.030+70x0.024+80x0.012+90x0.004)x10=62

因为学生初试成绩X服从正态分布N(〃，〃)，其中〃=62,a=11.5则〃+2b=85,

1-09545

P(X>85)=P(X2〃+2tr)=—=0.02275

所以2,

所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.02275x8000=182人.

【小问2详解】

记该考生的复试成绩为V,则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分,

11n542163

P(Y=20)+P(Y=25)+P(Y=30)=—-+—+—

所以该考生进入面试的概率为400400400100

17,已知四棱锥尸—48CD的底面/BCD是边长为4的菱形，ZDAB=60°,PA=

PB=PD=2屈，M是线段尸C上的点，且尸C=4/C.

(1)证明：尸0,平面5DW；

(2)点E在直线上，求2E与平面4BCD所成角的最大值.

【答案】(1)证明见解析;

71

(2)6.

【解析】

【分析】(1)连结/C,BD交于点、0,由条件证明建立空间直角坐标系，利用

向量方法证明PC1DM,PC1BM,结合线面垂直判定定理证明结论;

(2)根据线面角的向量求法求出BE与平面4BC。所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求线面角的

最大值.

【小问1详解】

连结4C,8D交于点°,连尸0,

由尸N=PC,PB=PD=2V10

知尸OLZC,尸

又zcn80=o,，POL平面N8CO

又底面/BCD为菱形，所以/C工即

以°为坐标原点，OB,OC,而分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图所示ND4B=60°,边长为4,则如=08=2,0A=0C=2拒

在直角三角形8°尸中，尸8=2而所以0尸=6

所以点0(0,0,0),P(0,0,6),5(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,250)

/3G3)

叫。〒,5

PC=4MC,贝°v

PC=(0,2V3,-6),W=2,乎］，的=,2,手|

所以7

PC-W=0x2+2V3x—+(-6)x-=0

所以22

__OMO

PC-W=0x(-2)+2A/3X-^-+(-6)X-=0

所以定，加，定，丽7

所以PC，PC，8M

又。/门氏攸=河，DM,8Mu平面R0M

所以尸。，平面ADM,

【小问2详解】

设DE=九DM,

———►(3g3)

DE=ADM=22,^2-2

252

所以、)，

/3A/313'

E2z-2,-----Z—Z

,,252

所B以E=I22-4,—2/,-22J

平面4BCD的一个法向量是方=（°，°，1）,

设3E与平面48CD所成角为“，则

fw

sindfcos瓯万卜1,川

'gM-H71322-162+16

(2f2+《“+囱

当4=0时，BEu平面48C0,0=0.

当4w0时,

,jlAl3

sma—_，——__

71322-162+162(13--+16-

\TI7

当且仅当2时取等号,

0e0,-6»<-

又L2」所以6,

71

故BE与平面ABCD所成角的最大值为6

is.已知动圆尸过定点尸（°」）且与直线/=3相切，记圆心尸的轨迹为曲线£.

（1）已知A、5两点的坐标分别为（-2,1）、（2,1）,直线/尸、8尸的斜率分别为左、右，证明：

k[—k]—1

（2）若点"6'%）、、&2，8）是轨迹£上的两个动点且不》2=—4,设线段"N的中点为。，圆

尸与动点2的轨迹「交于不同于户的三点C、D、G,求证：ACDG的重心的横坐标为定值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先有两点间距离公式求出圆心的轨迹方程，再由斜率的定义表示出斜率，利用轨迹方程化

简斜率之差即可证明；

（2）先设直线“乂的方程为〉=丘+6,直曲联立，用韦达定理表示出线段“乂中点坐标

°（-2左,-2*+1）进而得到°的轨迹方程是/=-2了+2,再与动圆尸的方程联立，得到C、。、G的

横坐标分别为c,d,g,最后利用（％一°）（x—"）（》—g）=0的展开式系数与丁+（4-2b）x+4a=0相

同，得到/系数为零即可.

【小问1详解】

设点尸（X/）,

依题有Mx-oJ+gy=旧—31,

化简并整理成必=-4〉+8,

圆心P的轨迹E的方程为/=—4y+8

4=二,左,二上二/一左2="_匕1■=』工

x+2x-2,x+2x-2x2-4

又—=—4y+8,

-4(-

所以--4-4y+4,

所以左-左2=1

【小问2详解】

显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+bf

x2=-4y+8

<"

由卜=履+6，消y并整理成x2+4Ax+4b—8=0,

在判别式大于零时，玉々=助-8,

又再％=-4,所以6=1,

所以X?+4Ax—4=0,y=kx-\-\

Xy+%2=-4左,%+歹2=左(须+々)+2——4左2+2

所以线段MN的中点坐标为°(一2后，-2公+1),

设％回，

x=—2k

<

贝ij[y=-2左-+1,消左得x~=~2y+2,

所以0的轨迹方程是*=-2歹+2,

圆尸过定点尸(°，1),设其方程为x?+(歹—I)?+办+咐—1)=0,

x2+(y-1)2+ax+b(y-1)=0

<

由x~=一2>+2得x"+(4—2b)x~+4ax=0

设o、D、G的横坐标分别为c,d,g,

因为0、D、G异于R,所以c,d,g都不为零，

故d+(4-26)x+4a=0的根为c,d,g,

今(x-c)(x-d)(x—g)=0

即有d一(0+d+g)%2+(cd+忠+gc)x-cdg=0

所以c+d+g=O,

故ACDG的重心的横坐标为定值.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是圆尸过定点尸(°[)，设其方程为

22

x+(v-l)+ax+Z)(j-l)=0；然后与。的轨迹方程联立，表示出重心横坐标的方程，然后利用待定

系数法求出结果.

19.已知的三个角4民°的对边分别为凡“0且。=26,点。在边上，40是/9C的角

平分线，设4D=k4C(其中左为正实数).

(1)求实数左的取值范围；

/(x)=^-axi--Z7x2+cx~-

(2)设函数322

一26

①当3时，求函数“X)的极小值；

②设%是"X)的最大零点，试比较％与1的大小.

(2)①0；②答案见解析.

【解析】

【分析】(1)方法一：设N8"C=2a,由加的+Sq=s/Bc,结合三角形面积公式化简可得

k=-cosa

3,由此可求实数上的取值范围,

方法二：由40是二胡C的角平分线，结合面积公式证明8。=25,根据关系

（6-3k-\j-=--

cosZADB+cosZADC=0,结合余弦定理可得'73,结合三角形性质求b的范围，可

得结论.

,4

k=—cosa

（2）①方法一：由（1）方法一可得3,结合条件求a,结合余弦定理可得。=.

22

（6-3k）b=—r

方法二：由（1）方法二可得'73,由此可得a=J36,由此可得

/(x)=6x3-—X2+2%--

22，求了‘（X）,再解方程/'3=0,分区间判断函数的单调性，结合极值

定义求结论,

.26

k>空k&

②在3时，解方程〃x）=°,求出函数零点，由此可得工。=1,分别在33时,

确定凡人关系，利用导数方法求函数的极值点，由此比较方」的关系.

【小问1详解】

方法一：设N8/C=2a,

因为40是NR4C的角平分线，所以NA4O=NC4O=a,

因为、皿力m+SACD=SABC

—(/?+(?)•ADsina=—bcsin2a

所以22

k=-cosa

代入c=26,/£>=叔C,化简得：3,因为

所以实数左的取值范围

方法二：因为40是N8/C的角平分线，所以/54D=NC4D,

—c-ylDsinABAD

Sc"BD=2,

b

S、ACD-b-AD-sinZCAD^=—

2，又JACD一CD,又c=2b,

BD=^-,DC=-

所以8£>=2CZ),故33,

在和中由余弦定理得

AB2=BD-+AD2-2BDxADcosZADB,AC2=CD2+AD2-2CDxADcosZADC

所以

2aa

c2I+(kb)2-2XyXyiz?XcosZADBb2=|+(kb)2-2义三义kb义cosZADC

又/ADB+ZADC=兀，则cosZADB+cosZADC=0

c2+2b2=—+3(kbi(6-3左2A=空

所以3,又c=2b,所以“尸3

b+2b>an3

7^7]<_<3I<一0zl£)<9

在AABC中有a+b>2b,所以6，所以2

4

0<k<一

得3所以实数上的取值范围

【小问2详解】

J2>/3Vs71一71

k=-----cosa=—a=—ZBAC=-

①当3时，由(i)知2,贝ij6,此时3