2025届中考数学压轴题提升训练（专题16-20）

【中考数学】2025届压轴题提升训练专题16J0

专题16《对角互补模型》

破解策略

1,全等型之“90。”

』口图，NAOB=NDCE=90°,0。平分N/@，贝可

(1)CD=CE;

(2)OD+OE=41OO,

,bOCD+s,=^oc2.

(3)OCE

证明方法一：如图，过点。分别作如L04,CN1OB,垂足分别为必N.

由角平分线的性质可得缈=说NMCN=90。.

所以NMCD=ZNCE,

从而4MCD2ANCE(ASA),

故CD=CE.

易证四边形MONC为正方形.

所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=血OC.

所以S^ocD+SAOCE=S正方形MCWC=°N?=]℃2,

方法二：如图，过。作以」0G交仍于点F.

易证NDOC=NEFC=45°,CO=CF,ADCO=AECF.

所以△DCOm△ECF(ASA)

所以CD=CE,OD=FE,

可得OD+OE=OF=41OC.

所以S&ocD+SxocE=SAOCF=万。。〜•

1

r

【拓展】如图，当龙的一边与40的延长线交于点〃时，贝上

(2)OE-0D=V200,

(3)$AOC£-$AOCD=万℃”.

如图，证明同上.

2.全等型之“120”

如图，NAOB=2NDCE=120°,OC平分2AOB,贝上

(1)CD=CE;

(2)0D+0E=OC,

S&OCD+SgE=9。。?.

(3)

证明方法一：如图，过点。分别作服L04,CNLOB,垂足分别为必N.

所以S/D+S、℃£=2SA.NC=

易证△题Q且,

所以CD=CE,0D+0E=10N=OC.

2

r

方法二：如图，以勿为一边作NR70=6O。，交加于点片则△0伊为等边三角形.

易证△〃勿且△ECF(ASA).

所以CD=CE,0D+0E=0F=OC,

4

【拓展】如图，当窗的一边与〃2的延长线交于点月时，贝上

c

(1)5=纸(2)勿-四=%(3)S,-S^—OC1

0CD4

如图，证明同上.

44,

Lw--------厂a

oB/QNtOF8

3、全等型之“任意角”

如图，ZA0B=2a,^DCE=180°-la,0C平分N/四，贝4:

+=2

(1)CD=CE\(2)OD+OE=IOC-cosa；(3)S^ODCS^OBCOC-sinacosa

证明：方法一：如图，过点。分别作如L04,CNL0B,垂足分别为必N

及"

b(

Q~j，

易证△板且△加貂(4£4)

「・CD=CE,0D+0E-20N=IOC•cosa

,•SXODC+SAOEC=2s△。彬=OCsinex,cosoc

3

r

方法二：如图，以勿为一边作N尸勿=180。-2a,交仍于点E

易证△DCOWAECF(ASA)

「・CD=CE,OD+OE=OF=20c-cosa

■.S4ODC+S>0Bc=S&OCF=0C*sincccosex.

【拓展】如图，当N〃窈的一边与5。的延长线交于点月时，贝亚

1

(1)CD=CE\(2)0D-0E=2OC-cosa;(3)SL0DC-S△四。=OC-sinercosa

如图，证明同上

D/^

4、相似性之“90。”

如图，ZA0B=NDCE=9M,4COB=a,贝勿・tana

方法一：如图，过点。分别作业L04CNI0B,垂足分别为乂N

D

M

易证AMCDsANCE,.■.—=—=—=tana,CE=CD-tana

MDCDCM

方法二：如图，过点。作CFL0C,交加于点F.

r

FFCFCF

易证△〃如s△月阴.•.*=*=—=tana,CE=CD-tana

ODCDCO

方法三：如图，连接的

易证〃、0、E、。四点共圆

NCDE=NCOE=a,故CE=CD,tana

【拓展】如图，当窈的一边与40的延长线交于点〃时，贝ij"=a?-tan(z

如图，证明同上.

DD

例题讲解

例1、已知△/驼是。。的内接三角形，AB=AC,在N曲。所对弧BC上任取一点〃，连接

BD,6D.

(1)如图1,若/及。=120。，那么初+5与4〃之间的数量关系是什么？

(2)如图2,若NBAC=a,那么初+5与4〃之间的数量关系是什么？

解：(1)BD+CD=6AD

如图3,过点4分别向的两边作垂线，垂足分别为反F.

由题意可得/4施=NADC=30°

5

r

易证△/班且^AFC

：.BD+CD=2DE=43AD

⑵BD+CD=2ADsin-.

2

如图4,作NEAD=NBAC,交加的延长线于点与

则△物且4DCA,所以BE=CD,AE=4D.

作AF上DE于点、F,则所以BD+CD=DE=2DF=2ADsin-.

22

例2如图1,将一个直角三角板的直角顶点?放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一

条直角边始终经过点A,另一条直角边与8C相交于点F.

⑴求证：PA=PE\

⑵如图2,将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且4〃=10,5=8,求便用的值；

⑶如图3,在⑵的条件下，当P滑动到初的延长线上时，AP-.用的值是否发生变化？

解：⑴如图4,过点尸分别作945,PN1BC,垂足分别为必N.

贝！］网=朋ZMPN=90°,由已知条件可得N/郎=90。,所以NAPM=NEPN,所以△/川^4

EPN.

蚁AP=PE.

6

⑵如图5,过点尸分别作冏/_!_/aPNLBC,垂足分别为必N.JU']PMWAD,PNWCD.

所以△BPMs△BDA,△BNP^△BO).可得跑="=空，所以照=更=3.

ADBDCDPNCD4

易证AAPMsAEPN,所以辿=胆=*.

PEPN4

进阶训练

1.如图，四边形45切被对角线切分为等腰口△4初和Rt△函，其中N皿〃和勿都是直

角，另一条对角线4。的长度为2,则四边形45切的面积为----------

1题图

答案：四边形ABCD的面积为2.

【提示】易证4B、C、〃四点共圆，购NBCA=NBDA=NABD=NACD,由“全等型之'90。

的结论可得S四边形ABCD~万43=2・

2.在△43。中，AB=AC,ZA=60°,〃是a1边的中点，ZEDF=120。,施与4B边相交于点

E,DF与4。边（或ZC边的延长线）相交于点F.

7

r

⑴如图1,好与ZC边相交于点冏求证：BE+CF=-A&,

2

⑵如图2,将图1中的N瓦W绕点〃顺时针旋转一定的角度，使〃尸与4。边的延长线交于点F,

作DN1AC于点、N,若DN=FN,求证：BE+CF=73(BE-CF).

答案：略.【提示】⑴过点〃作〃G44。交48于点G,证4DEG9XDFC,仄而BE+CF=BE+

EG=BG=-AR.

⑵过点〃作DGW4。交AB于点G,同⑴可得BE-CF=-AB=DC=*,延长AB全原H,使得

2V3

BH=CF,则DH=DF=DE,从而BE+CF=HE=41DE=4141DN=2DN,所以BE+CF=6(BE

3.在菱形48勿中，两条对角线/C,如相交于点0,/MON+/BCD=180。,NMON绕点、。旋

转，射线加交3c于点、E,射线0N爻切于点F,连结EF.

⑴如图1,当N/BC=90。时，所的形状是___;

⑵如图2,当N45C=60。时，请判断△。跖的形状，并说明理由；

⑶如图3,在⑴的条件下，将N的W的顶点移动到40的中点,处，ZMON绕点、,旋转，仍满

XNMON+NBCD7Q。,射线夕〃交直线切于点瓦射线夕4交直线少于点凡当％=4,

且‘9EF=2时,求偿的长.

S四边形”CD8

8

r

答案：⑴等腰直角三角形；⑵△。斯是等边三角形；⑶线段笳的长为3G+3或36-3.

【提示】⑵由“全等型之420°'”的结论可得四=照⑶两种情况，如图：

9

r

专题17《一线三等角模型》

破解策略

在直线45上有一点只以4B,P为顶点的Nl,N2,N3相等，Nl,N2的一条边在直线

4B上,另一条边在/夕同侧，N3两边所在的直线分别交Nl,N2非公共边所在的直线于点C,

D.

1.当点尸在线段〃上，且N3两边在4B同侧时.

(1)如图，若N1为直角，则有8s△班).

(2)如图，若N1为锐角，则有△[8s△班).

证明：■：ADPB=180°-Z3-ZCPA,ZC=180°-Z1-ZCPA,而N1=N3

/.ZC=2DPB,

•••Zl=Z2,/.△ACP^△BPD

(3)如图，若N1为钝角，则有8s△班).

2.当点尸在45或及的延长线上，且N3两边在45同侧时.

如图，则有△48s△班D.

证明：■：ADPB=180°-Z3-ZCPA,ZC=180°-Z1-ZCPA,而N1=N3

ZC=NDPB,

•：4'=N2=tPBD,：.XACPs4BPD

3.当点尸在48或及的延长线上，且N3两边在45异侧时.

如图，则有△△班D.

r

证明：-：AC=Z1-ACPB,/BPD=N3-ZCPB,而N1=N3

/.ZC=ZB0

VZ1=Z2,：.APAC=Z.DBP.:.'ACPs\B0

例题讲解

例1：已知：NEDF的顶点、D在△ABC的边AB所在直线上（不与点、A,8重合）.DE交AC所

在直线于点必加交比1所在直线于点儿记△4W的面积为£,△皿。的面积为£.

（1）如图1,当△4况是等边三角形，NW=N4时，若45=6,AD=4,求££的值；

（2）当是等腰三角形时，设NB=NA=NEDF=a.

①如图2,当点〃在线段四上运动时，设AD=a,BD=b,求££的表达式（结果用a,b

和a的三角函数表示）.

②如图3,当点〃在物的延长线上运动时，设AD=a,BD=b,直接写出££的表达式.

解：（1）如图4,分别过点必心作48的垂线，垂足分别为G,H.

贝”S^-MGAD-NHBD=-ADAMsin/BDBNsinB.

224

由题意可知N4=Z.B=60°,所以sinJ=sin5=—.

2

由“一线三等角模型”不知公AMDsABDN.

・・・空=迎，从而AMBN=ADBD=8,...£5；=12.

BDBN

(2)①如图5,分别过点必”作Zff的垂线，垂足分别为G,H.

2

r-

贝”S=-MGAD-NHBD=-ADAMsin/BDBNsinB.

2224

由“一线三等角模型”可得△/如S△则

所以也=迎，从而BN=ADBD=ab,

BDBN

所以£ia^sin2^;

4

②如图6,分别过点必4作45的垂线，垂足分别为G,H.

贝£S=-MGAD-NHBD=-ADAMsin/BDBNsinB.

2224

由“一线三等角模型”可得△/如S△则

所以也=迎，从而BN=ADBD=ab,

BDBN

所以££=L/"siMa；

4

例2：如图，在等腰三角形4反7中，N及。=120。,45=4C=2,点〃是回边上的一个动点

(不与反。重合)，在4C上取一点瓦使N/施=30。.

(1)设初=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(2)当以是等腰三角形时，求的长.

解（1）•••△［宛是等腰三角形，且N及。=120。，

；.NA即=N4CB=30。,

:•NABD=NADE=30°,

•••NADC=NADE+Z.EDC=NABD+ADAB,

3

r

£EDC=ADAB,

△ABDs△DCE;

■：AB=AC=1,ABAC=120°,

过4作AF工BC于F,

.•./■=90。，

•:AB=2,Z.ABF=30°,

AF=-AB=1,

2

BF=g,

：.BC=2BF=273,

JOC=26-X,EC=l-y

'：△ABDs△DCE,

.ABDC

,,------，

BDCE

・22^/3-x

•"—=------，

x2-y

2

化简得：y=-^x-y/3x+2^0<x<2A/3j.

(2)①当/〃=施时，如图2,

△ABD冬△DCE,

则AB=CD,即2=267,

x=2V3-2,代入尸§一后+2

2

解得：y=4-2V3,即ZF=4-26,

②当43=初时，如图，

NEAD=NEDA=30°,AAED=120°,

所以N施。=60°,AEDC=90°

贝|JED=—EC,Mpy=—(2-y)

22

22

解得AE=-;

33

③当/〃=4£时，有NAED-NEDA=30。,AEAD=120°

4

此时点〃和点8重合，与题目不符，此情况不存在.

所以当△是/施等腰三角形时，4£=4-2百或〃=工

3

进阶训练

1.如图，在%中，45=4。，点£在回边上移动（不与点反。重台）.满足

NDEF=NB,且点〃，F.分别在边45,4。上.当点£移动到％的中点时，求证：用平

分N〃K.

1.略

【提示】由题意可得NB=NDEF=NC.由“一线三等

RFDJ7

角模型”可得△皮出saw,可得%=~.布BE=CE•

CFEF

CFDF

所以三=~,队品XDEFsECF.所注£DEF=2EFC,即郎平分NVC

CFEF

2.如图，在等边△/宛中，点〃，£分别在43,a*边上，AD=1BE=6.将施绕点

£顺时针旋转60°,得到班取斯的中点G,连结延长在交4G于点反若2AH

=5HG,求知的长.

2.BD=9.

【提示】如图，过点尸作4。交班•于点工则NF"=N4四=N4次.易证△小口△月小

则"=须，IE=BD,所以BC+BE=AD,IC=BE=IF,则N4S=

ABCH=30°.延长勿变43于点，则”_LU,./=

AT4H5

分别过点G,£作48的垂线段，垂足为f,L,♦贝ij=丝_=士，所以/上JK-.

5

KL-.BL=5-.2：2：1.因为物=3,NLEB=30°,所以应=1.5.AB=15.所以初=9.

r

专题18《弦图模型》

板图,在正方的，比P+.DKCC.CG\巩PHlAE..比*1AA0AACPGAAPM

A

所以z.AK+jFtC，jIX-jFC^-VT\

怅a-t.殴.H\/X.

<fl*?X"HA'比qA----------------'C

同匹可用A，比q4比小ACPGAAPAM

二科履图Ap

*■«,*正古召4&N咛，上，附，*,f.&**方祠内0皮上，AQ匕/

—他可用仍e为正古可，《］△<««*(三△1♦«%£△A©pw△8即\

站建z«w=zr=W,।——

BM

Z<««?=Z«K?+ZX4HC=?0,,A

lH-iZ«»H=ZA«t.\

<SM=",lH-iA4®^A«X\E

同建可■得△留例w△及但△)44.----------、H

3.括展

(1)如图，&Kl&ABH^.^ABH=90",BELAH^-A£所以

△48EqABHEq4M&一

(2)加图.&Rt△冲和RtAHACl1,QB=8t,QMLBK,所以

△QBiBUC

证明因为乙及《=90",QU^BK,

所以乙侬+乙Q*z_烟+乙4=90-所以4。*乙（

入电力QB=BL歙64骐匕4BUC

例黑计”

为I可逆号/V3是运长,为+的正方彩，色£在曲.4。所在的直城上，士结CE,HCC为逆，

作上.万彩CCFG（土久产在立栽CC的同*1）,走给当化工在残靛，。上时，A£-\.家诉

的大.

*如图，过支F作用1_4。支M的凳长缨干点“，

是长衣/交SC的袅长线于点（

因为四边杉ABCD郑四边形QF6是王方形，

根密“弦图快3!”F寰4ECDUAFEH,MrC（FH=ED=AD-AE=3,EH=GD=4一

因为Q**为短形，所以«r=CP=4,CK=DH=EH-ED=\.

所以问=mtHK=1,BK=BC*CK=.5.

所以BF=^JFK3+BK2=V74

例2JR圄，A3方等展直叁三角形，t.MC^枚.着£„=+.5,第/C的M.

珞辽上0作阻，C于；L£,观色。作”"交历的题长嫔子化F.

由“外套■图禊里’可存A的建AG

祈H货，a

易近/ir二纹折吠加=苹

析H£“=/%=；〃=+.5,

从前4c=5.

负15条候戴学录题芬习小姒对等彩内沔条文相嗓直的坟筮马坛彩沔夺烫.的戴美美乐连行探亮，

漫土下利河题，*你冷:t«E4.

(I)*圄I,在年彩4a中.EfyCH,十分剪交川i3千"F.F,功分&)文偿纥于自

GH永正:里二四

GHAB

(2)土图2,在满足(I)的条件下，文网的包M,"分洌在逆见8上,着丝=11,

GH15

AM

i

0）\在可逆彩/wco中，9V,43-5,3.网色板“分即

;在逆生加上，象吧的a.

AM

D

iDF__________DFN

cbM-

AEBAEBANB

图1图2图3

1

爵（1））加图+.辽色人作小〃号.交CP于之",4..*0作网〃牝交"子总0.

国方可逆彩，比。是辱彩.

1

1抑口Abt,PC,AP"K.

析H6逆彩，5的逆彩曲?等是千行可逆影，

1淅H"二中；匹时

区国为％审.

1

析HMMl

|析Hz_（M7+z_/W”W.

国为可逆影，比。是尊号.

1

析Hz.左=

#rUAPAPt{.PPA-vr,

AEB

所吐z./ar=z.%.

i

1/HA，勿口皿

淅吠丝=生，

1BQAB

i抑口交，些..

,GHAB

I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(2)国方历.厘伙L"

«rrt*(I)中的结奇可若变比二丝.

IGHABMfAB

\所H里二型二11

AMGH15

0)*05*.幺。件千行于，0的必城，文现色4反千行于能的直线于总巴文比的我

长残子.七S.

\对0逆彩X浓是千行0运号.

^.AK-W,

所H0逆彩山必是年彩.

析Hz.K=Z.S=W.«S=，0=K>,M.

IQ方AM^PN

/H由Q)中的结去寸存•空二处.

AMAB

31SC^x,PSf对4«=fiS=5+x.«。=D-夕，

I所H在RtaK+，xty±25.

在RtA，版中.(5+x)2+(»-»*=DP

连的利妹

I.也圄，在千而立唐坐标呆中.我4之，的或，,二七（&0）时纣致辽化>.且支，

在色0的左制，色4的横生标方也.4，缗=z.0M=+5«,对心「________.

2.也圄，已独人心=的，。是直残，0上的;t,AP^ZE.E是直残为上的一生，且CE=

环直残，V匹相燹子色44八所的发蒙是一T同定的仇今？着是.来家出名的及敷；着不

是，语说呻或由.

i.髭图，在正才影心P中，色产在X。上，具不与4。重合.用的嚏■A千分残分即交3

+.，0于£.尸的玄，嗓正为Q.我包工作和40于乏H.EH药方燹于itM.

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务考多累：

专司18：袁回候.室

I谡示】a;L>1作/U1,轴于急M,St*。作伙Lx|k子上P,鱼嫔伙加交于总总对可逆

%OWW为比影身年A44*&A4W析H/W〈W=O，«W="u与，3士-W.QP

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【程示】*»图，辽色4作，自，立并我取“二牝连结死CF,可存■，勺CC."=CC,所

逆形4CE是千行0爱彩，*r»ZFCl/AE,t_加=t_2.当SEA01&A8.对4=42,

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l谖示3显於0逐形*应为至彩，*rUFH-At-.析/a：（，s,析H

*AP.

r

希卷/，《中位梯义》

破解策城

/.隹其中徭

履交中."为交也当中会.

囹/囹a

(/)&囹/,房帖4附耳褪垓五支尸，俵得用F=4*1.旻旗CF.幽XABMWXEM

(a)队囹。，龙〃履府也上，房牯御身尾椽名应后俵得衲=〃附.房牯生',%△孙仁△㈤1,

想必依段当中医问卷，有倦的得垓中嵌瀚方谈还府片心时及囹聘，利闹“8”由两含著椅用中急件工中，

虫M解卷词©词，法种方谓生激，唏闹雨也呈量至多•雨方港.

<2.构康片枝俵.

履△??交中.〃冷怒也雨中支，

囹/田a

(/)/,取4c电渴中支E返牯*.D£HgC,且加•=；友:.

(a)瓶囹a.苑枝交莅支尸.嫉得"=及:.房牯。，AF.iw|VCHAF,ADC^|AE.

三南两为中停城“、偻至关系和强雷关系病方面错检囹制中为张内微段关系工中在豪.通常需多•再我一

个中医杀构成中位铁，说*磕垓茶饭段相瑾片依铁，

3.著腺三商召“三假合一”

皿囹，左△/?交中，若43=术.通唏取宸也交通中医D.ADA-SC,且加牛4'N班C.

节■实上，戊△加^中：(D4B=g@W不令NMC；⑧SD=a>,®/)P±X.

时左唱上8余询句，俵£区辟两个蟀为余玲，就可成推叱另两余旗依，即“财二得二”.

宜南三南召斛山中俵，

。囹，质△??交有，N/J交=2°,取％而中电,2星帖初，%由初=4>=。=；/?C.

反垃杂，履△/?交中，支〃眉〃也上，辞初=4>=。=：*，％<2/?交=2°

r

凡您讲解

例/加囹，施g也布加。中，E、尸令必生力、。渴中支，it龙万件加当垂域，垃电尸件。而垂怎，的

垂俵1a左支6,房牯加、及?、CG宣•乙AGD=ZJSGC,茶的、交留履直族互相垂直，或不海循

EF

解由掘金可得△/?仍布△以七为火狭应等或南询前个等鹿三商狗,

达自l\AGDwXBGC,!\AGD-KEGF.

方谓一：。囹/,旻旗CE■寻尾栈必"，总EH=EC,kEH、AH,幽

AHUgC,AH=BC,而AD=犯,AD2.gC

池成的=A¥,ADLAH,旻旗*,%△/?»为萧臊•直南三百两，I因为EF小跳次CH、。当中支，/成

AD_AD=拒

EF-DH

2

啰谑二：。囹山里帖初吊取中文M房臂切，FH.%a=；45,AEHIIAD,FH=\BC,

而">=交，AD^-SC,国”4/\石灰•冷王朦直南三甬都，诂&也=空邑=也

EFEF

倒工施囹，履交中，%=2,初支〃，CELL外jEF、6名测呈交、跋而中文，去ED=/。,或

加而根.

—BC=//,而

2

解：旻兹环DF,由卷金可得环DF心到次RT'BEC,々7•△呼科也当中微，/或家=炉=

6为巫雨中应，/成以；=&?=1，FGLDE,海成々•△再切中，加=NDF2-DG°=4c

例3乙枭：4RT^ACB^iRTlXAEF^,乙ACB=LAEF=q1,箫产晶笏当中文，旻牯产C、PE

"团人箫直H尸小期|施履也4及〃上，诂龙尾区虫典对尸C鸟走而数至关系.

〉囹山杷囹/中词△衍说篇应⑷快耐升藕整，器位万磁履也C4而筵垓筱上对，上述旗依晶否成岂？

豆，修作孑怩碉；若示成豆，询说砌理由.

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