2025年高考数学冲刺突破：解答题01（中档题）解析版

冲刺2025年高考数学分题型专项突破

突破解答题（中档题）

（题组1）

（限时时间：80分钟试卷满分：77分）

1.（2025•福建福州•模拟预测）已知数列｛%｝,若4=1,点4（”,生）、8（为+1,。向）在斜率是2的直线上.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列的前“项和Tn.

【答案】⑴。“=2〃-1

n

⑵

【分析】（1）斜率公式结合等差数列的定义推导出数列｛%｝是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可

求出数列｛%｝的通项公式；

（2）计算得出二一二^^一4],利用裂项相消法可求得

-12n+YJ

a—a

【详解】（1）由点4（",4）、3（-+1,%+1）在斜率是2的直线上得："=2,

即〃用-4=2,所以数列｛4｝是首项为％=1,公差为2的等差数列，

所以%=l+(n-l)x2=2n-l.

=

(2)由(1)知：AFL^=(2«-1)(2H+1)^\2n-l~2n+l

n

所以

2M+1

2.（2025•江西宜春•一模）的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

cos2B+cos2C+2sinBsinC=cos2A+l.

⑴求A；

⑵若b+c=5,的面积为氧I,求

2

【答案】⑴A=

(2)a=«

【分析】(1)先利用二倍角公式化简，再利用正弦定理化简，即可由余弦定理得出;

(2)由面积公式得出6c=6,再由余弦定理得出从+°2一/=A，结合条件即可求解.

【详解】(1)因为cos28+cos2c+2sin3sinC=cos2A+l,

所以l-2sin23+l-2sin2c+2sin3sinC=l-2sin2A+l,

化简得sinBsinC=sin2B+sin2C-sin2A，

所以〃C=Z?2+.

k2,2_2

由余弦定理得cosA="°be1

2bc2bc2

因为A«0,兀)，所以A4.

(2)AABC的面积为,bcsinA=t叵，解得bc=6.

22

由(1)可得〃+c?=6c,所以(6+c)2-26c-6=6c,

BP(Z?+c)2-a2=3bc,所以5?一/=3x6,解得。=近(。=一屿舍去).

3.(24-25高三下•江西赣州•期中)已知函数/(力=工2—alnx(a>0).

⑴求函数/(x)的极值点;

(2)若函数/(%)在区间［l,e］上的最小值为0,求实数a的值.

【答案】⑴户警为极小值点，无极大值点

(2)2e

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点;

叵Ne三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.

⑵分----<1>1<------<e>

222

【详解】(1)函数/'(x)=x2—alnx(a>0)的定义域为(O,+s),

又/'(》)=2*-@=

XXX

所以当0<x<警时尸(x)<0,当x>与时/'(x)>0,

,单调递增区间为(与，+8］,

所以〃x)的单调递减区间为0,

试卷第2页，共26页

所以无=叵为/'（X）的极小值点，无极大值点.

2

（2）当字41,即0<aV2时，f（x）在U,e］上单调递增，

所以在x=l处取得最小值，/（X）111ta=/（1）=1/0,不符合题意；

当1〈警<e,即2<a<2e2,此时在'呼）上单调递减，在［亨,1上单调递增，

所以=/［半］="|一解得a=2e；

当警Ne,BPa>2e2,此时/（力在［l,e］上单调递减,

x222

所以f（Ln=/（e）=e-a<e-2e<0,不符合题意；

综上可得a=2e.

4.（2025•新疆喀什•模拟预测）如图，P为圆台的上底面的圆心，。为圆台下底面的圆心，为下底面直

径.VABC是下底面圆的内接正三角形，PA=3,AE=2瓜

⑴证明：上4,平面PBC；

⑵求二面角B-PC-E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵李

【分析】（1）根据勾股定理证明B4_LPC,PA±PB,由线面垂直的判定定理得证；

（2）以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面尸CB,平面PCE的一个法向量，利用

向量法求出二面角.

【详解】（1）由题设，在圆。中，直径AE=2#,又VABC是下底面圆的内接正三角形，

ACf——

故可得"^=2#，所以AC=3后，

sm60°

因为上4=PC=3,PA2+PC2=AC2=18,

故B4_LPC

同理，可得上4，尸3,又PBcPC=P,尸民PCu平面尸BC,

所以PAL平面PBC.

(2)过。作ON//3C交A5于点N,因为平面ABC,

以。为坐标原点，Q4为x轴，ON为y轴，O尸为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则£(-^6,0,0),P(0,0,^3),,0)，C(-；)

PC=(-—,--,-73),PB=(--,^,-73),~PE=(-瓜。，-6),

2222

设平面PCS的一个法向量为日=(%,M，zJ,

Jix「匹y「6z、=0_

n-PC=0

由_,得:，令Xi=&，得4=T，M=0,

n•PB=0A/6,3忘6

一_~xi+~^yi~^zi=o

所以3=(0,0,-1),

设平面PCE的一个法向量为前=(X2，%，Z2)，

A/630

m-PC=0—x2一_~y2

由，，得2，令x?=1,得z?=-V2,y2=,

m-PE=0

所以加=(1,-^,-A/2),

-—n-m2422A/5

cos<m,n>=————=-------；==----

故\n\-\m\V105，

设二面角B-PC-石的大小为凡由图可知二面角为锐二面角,

所以。。$0=拽

5

5.(2025•江苏泰州•二模)在平面直角坐标系xQy中，抛物线C：9=2px(p>0)的焦点为凡点。(〃⑼(〃>0),

过尸的直线交C于M、N两点.当直线"N的斜率为1时，|MV|=8.

(1)求抛物线C的方程;

试卷第4页，共26页

(2)若直线Affi)、N£>与抛物线C的另一个交点分别为A、B,OALOB,求〃的值；

⑶在⑵的条件下，记直线肱V、的倾斜角分别为a、p,求tan(a-0的最大值.

【答案】⑴如=4x

(2)/?=2

⑶《

4

【分析】(1)由题意可得产]与，0),联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可；

(2)分别设出直线"N,的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出次.砺=0,进而解方

程求解即可；

(3)由韦达定理及斜率公式可得心.=2心B，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可.

【详解】⑴由题意，尸已°)

当直线的斜率为1时，直线MN的方程为>=彳-个设”(冷动小心,%),

v=x_£2

联立<2,得/—3川+2—=0,

[y2=2Opx4

则A=9p2_p2=8p2>0,芯+%2=3?，

所以=玉+9+夕=3〃+〃=8,即〃=2,

所以抛物线。的方程为y2=4x.

(2)由(1)知，尸(1,0),

设直线肱V：x=my+1,

,、[x=my+1,c

联乂<2/，可得y-4冲-4=0,

[y=4x

2

则A=16m+16>0,yxy2=-4,

,yL-n

设直或MD:x=—----y+nf

%

联立卜----y+n,得=

必X

=4无

An

则A一，4+16〃=口+,可>0,%%=一4〃，即力

X%

4〃

同理可得%”=一4〃，即”=---,

又OA=I卷,y3\,OB=I，”卜且OA_LOB,

22

所以内•砺=生生+%%=0,

16

.._4"_4〃16/1416M2*4八

将丫3=,%=,代入得22-------------=°'

%%%%

又%%=-4,贝1」/一4"2=0,又">0,则”=2.

(3)因为直线肱V、的倾斜角分别为。、夕,

X-%4tan0=k==一44

tana=kMN27—AB

所以必+必为+”

4444

88

由%=一，%=——，％%=—4,

%%

8(%+%)

=2(%+%)，

IJIlltanB=---------=---------=—tan。，

%+%X+%2

若要使a-4最大，贝1］小(0,曰，设右N=2L=2上>0,

.心布=tanaTan夕=k=1<1=及

则1+tanatan夕1+2妤1,(1~4，

7十9”2J—•2k

k\k

当且仅当!=2左，即左=变时，等号成立，

k2

试卷第6页，共26页

(题组2)

(限时时间：80分钟试卷满分：77分)

1.(2025・湖南岳阳•二模)记VA3C的内角A,3,C的对边分别为a,6,c,已知向量历=(瓜inC,-cosA),

为=(a,c),且用_1_万.

⑴求A；

(2)若VABC的面积为代，且吩+C2=26be,求

【答案】(1)A=J

0

(2)a=2^3

【分析】(1)根据正弦定理边角互化，即可化简得tanA=立，进而可求解，

3

(2)根据面积公式可得*=46，进而利用余弦定理求解.

【详解】(1)由题意知，m-n=y/3asinC-ccosA=0,

由正弦定理得石sinAsinC-sinCcosA=0,

因为OVCVTI,所以sinCwO,

则V3sinA-cosA=0,即tanA=,

3

_71

又OVAVTI,所以A=：.

6

(2)因为VABC的面积为S=gbcsinA=；bc=6,解得be=4百，

所以〃+。2=2限。=24,

由余弦定理得/=人2+/—=12,所以〃=26\

2.（2025・湖北•二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个

抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为g，乙箱和丙箱每次抽取

中奖的概率均为中奖与否互不影响.

（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：

方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学

习用品，其他情况没有奖励.

方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其

他情况没有奖励；

通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？

（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖,

求该同学选择乙抽奖箱的概率.

【答案】（1）方案一

24

,8

【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可;

（2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解.

【详解】（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为X元，则X=50,30,0；

1111I1xl1x1-1141x1-11x1l1-1x1l11

贝！JP（X=5O）=—x—x—=p(X=30)=+x—=

322123223223223

“x=o)=i

3-12

i]785

所以HXbSOxR+SOxT+OxGUu

12312o

若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为y元，则y=70,40,0；

则叩=7。）=嗯［吟,尸（』0）=需1『扪|,

叩=。）=心彳考

1220310

所以石(y)=70x——+40x—+0x——

v727927"27"

因为E（x）＞E（y）,故选择方案一比较合适

（2）设“该同学抽取中奖”为事件A,“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为与，层，B3,

试卷第8页，共26页

则尸⑻=/与)=尸闯=jP(A|B1)=1,P(A|B2)=P(A|B3)=1,

所以尸(A)=尸(耳)尸(A|4)+尸(2)P(AI功)+尸出)尸(4|四)=9：+9：+9；=：,

DDD4D乙

故产出m)=wy=p(5)尸⑷4)3

尸⑷48

9

3

所以所求概率为厂

O

3.(2025・甘肃白银•二模)已知函数〃x)=alnx+x2-4x(a>0),函数外力的导函数为/'(x).

(1)当。=1时，求曲线y=〃尤)的斜率为-1的切线方程;

⑵若函数g(x)=〃x)+/'(x)的极小值大于0,求°的取值范围.

【答案】⑴尤+y+3+ln2=O或x+y+2=0

4

(2)6/>5.

【分析】由r(x)=-i,可得x=i或％=；,然后由点斜式可得答案；

(2)由题可得g(x)=alnx+尤2-2%+2-4,令g<x)=0,可得尤=1时，g(x)有极小值，据此可得答案.

【详解】(1)当。=1时，r(^)=1+2x-4,令r(x)=-l,

化简得2/_3X+1=0,解得X=1或X=；.

当切点为时，所求切线方程为=

即x+y+2=0；

当切点为时，所求切线方程为丫-/8)=-卜-£|,

即x+y+：+ln2=0；

(2)/r(x)=—+2x-4,g(x)=/(x)+(x)=«Inx+x2-2x+——4,

因为<7>0,所以2，+a>0,当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增.因此，当尤=1时，g(x)有极小值.

由题意，g(l)=—l+a-4>0na>5,贝i]a>5.

4.(2025・河北•模拟预测)已知椭圆C:=+多=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，%离心率为：，过门

的直线/与C交于A,8两点，当直线，垂直于月工时，|AB|=3.

⑴求C的方程；

(2)若AAB耳的内切圆的半径为辿，求直线的方程.

22

22

【答案】⑴土+匕=1;

43

(2)x±V6y+l=0.

【分析】(1)根据给定条件，结合离心率的意义求出上。即可.

(2)设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积列式求出直线方程.

22

【详解】⑴令椭圆C:5+2=l(a>b>0)的半焦距为c,由离心率为:，得a=2c,b=&,

ab/

2

椭圆。:丫$2+白V=1,当尤=-。时，lyl=35c，依题意，3。=3,解得。=1,

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1.

43

(2)由(1)知，片(-1,0),与(1,0),设直线A5的方程为尤=(yT,4(再,H),8(尤2，%),

x=ty-l

由消去x并整理得(3〃+4)y2-6(y-9=0,

3x2+4y2=12

6t-9r-----3—；----36〃3612〃+1

%+%=仃'％%=m।%一%=瓜+为厂一分跖={^¥+内

3/+4

△ABF?的面积此=；WK"%%1=I：，]])

由AAB6的内切圆的半径r=圭且，得sABF=--4a-r=^~,

222211

因此12*2+1=鼠I,整理得63〃-316产一372=0,即(63户+62)(〃-6)=0,

3』+411

试卷第10页，共26页

解得好土木，所以直线AB的方程x±#y+l=O.

5.(24-25高三下•甘肃白银•阶段练习)定义“加窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于小，则称该

数列为“加窄度数列”.

⑴试问数列1赢，是否为“1000窄度数列”？(无需说明理由)

⑵若数列［梳，的前加项和为s“，证明：数列6｝为“1窄度数列”.

⑶若数列为等比数列，且％=g=|,求数列｛%｝的通项公式，并证明｛6｝为窄度数列”•

【答案】⑴不是

(2)证明见解析

n

⑶见=2-下，证明见解析

【分析】(1)由新定义即可判断；

(2)由新定义结合等比数列求和公式即可判断；

(3)由等比数列公式及新定义即可求解.

【详解】(1)数列［喘后，不是“1000窄度数列”.

取分别取“=10%=1()8,

83

此时uIf)———If)=105-1>1000,故不是；

10001000

(2)证明：S"=2(；+:+…+：］>°,

1__1_

Si亚军=1」

".13"

1---

3

因为*>。，所以0<5“<1,

所以数列｛S.｝中任意两项的差均小于1,故数列｛S,,｝为“1窄度数列”.

(3)解：因为G=凡=与，所以乎=1,2牟=9，

21224

所以等比数列］士44的公比为?+!=!，则2=("",则%=2-5.

InJ422nUJ2"

因为。用一。，=2-广n+1一((2-才rj)\=于n—了120,当且仅当〃=1时，等号成立，

所以数列｛q｝从第二项起为递增数列.

n33

又9>°，％=。2=3，所以34。〃<2，

所以数列｛4｝中任意两项的差均小于2-：=；,所以数列｛5｝为■窄度数列”.

(题组3)

(限时时间：80分钟试卷满分：77分)

1.(2025・四川泸州・模拟预测)某校课题组在高一年级选取A,B两个班级,开展“数学问题深度学习”的研

究，其中A班为常规教学班，2班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人.在某次数学测试后，对4

2两班学生的数学成绩(单位:分)进行整理,分数分布在[90,150]内，按照[90,100),[100,110),[110,120),

[120,130),[130,140),[140,150]分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优秀，大于

或等于120分为优秀.

频率

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008卜…

0.004

O-90100110120130140150分数

N班

(1)由以上统计数据填写下面的2x2列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为成绩是否优秀与

课改研究有关?

(2)对A,8两班成绩在110分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从抽

取的这6人中随机抽取2人，记X为抽取的2人中来自A班的人数，求X的分布列和数学期望.

2n(ad-bc\

附:%=7-----77-----77-----w-----n=a+b+c+d

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

数学成绩A班2班总计

优秀

不优秀

总计

a0.10.050.0250.01

试卷第12页，共26页

Xa2.7063.8415.0246.635

【答案】(1)表格见解析；有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关

4

(2)分布列见解析，£(X)=-

【分析】(1)由频率分布直方图得出优秀人数，计算卡方，根据临界值可判断；

(2)先确定两班选出的人数，利用古典概率可求分布列，利用期望公式可得期望.

【详解】(1)由图可知，A班优秀人数为：50x(0.02+0.016+0.008)x10=22；

8班优秀人数为：50x(0.028+0.024+0.012)x10=32；

数学成绩A班3班总计

优秀223254

不优秀281846

总计5050100

100x(22x18-32x28)2326>3.841，

54x46x50x50

所以有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关.

(2)由图可知，A班110分以下人数为：50x(0.024+0.008)x10=16；

B班110分以下人数为：50x(0.004+0.012)x10=8；

采用分层随机抽样的方法抽出6人中，A班有4人，8班有2人,

X所有取值为：0,1,2；

C218

尸(x=o)=||=V(x=i)=*

15

…)亳r2不2

分布列为

X012

182

P

15157

118c24

E(X)=Ox—+lx----l-2x—=—

151553

2sin/BAD

2.(24-25高三下•安徽安庆•阶段练习)如图，在平面凸四边形ABCD中，tanZABD+tanZADB

cosZABD

⑴求NAD3；

JT

(2)若AD=5r>=4,NACB=NBDC=—,求CD

6

TT

【答案】(1)/AD2=W

(2)4

【分析】(1)利用同角三角函数之间的基本关系以及两角和的正弦公式计算可得cosZADB=,再由三角

形内角的范围可求出结果;

(2)利用正弦定理以及三角形内角的关系，结合余弦定理计算可得结果.

2sinNBA。,口sinZABDsinZADB2sinABAD

【详解】(1)由tan/A3O+tanNAOB=得---------+---------=----------

cosZABDcosZABDcosZADBcosZABD

sinNABDcosAADB+cosAABDsinAADB2sinABAD

故

cosZABDcosZADBcosZABD

叱9sin(ZABD+ZADB)2sin/BAD

所以------------------=----------

cosZABDcos/ADBcosZABD

因为sin(ZABZ)+ZAD5)=sin(K-ZBAZ))=sinABADw0,

故cos/AD8=；,由三角形内角范围NAD3«0,TI)

IT

所以乙4。5=1；

TT

(2)由AD=6D=4,ZADB=-f故△ABO为边长为4的等边三角形,

在VABC中，ZACB=-,

6

BCABABsinABAC.小…

由正弦定理得,故BC=-----------------=8osinABAC,

sinABACsinZACBsinZACB

试卷第14页，共26页

由于NBAC+NBCA+ZABD+NCBD=Tt,

jr

所以ABAC+ZCBD=-,故BC=8sinABAC=8cosZ.CBD,

在△BCD中，由余弦定理得CD?MB4+BCZ-ZBDXBCXCOSNCBO,

222

即CD=4+JBC-8XBCXCOSZCBD=16,

得cr>=4.

22

3.（24-25高三下•北京•阶段练习）已知椭圆氏3+2=1（“>6>0）的左右焦点分别为4，B，以椭圆£的

焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为夜的正方形.A为圆O：f+y2="上一点（不在X轴上），B为

椭圆E上一点，且满足ABIx轴，直线/与圆O切于点4过片作/的垂线，垂足为

（1）求椭圆E的方程及圆0的方程；

（2）求证：忸舷|+|帆|为定值.

【答案】（1）］+y=1,%2+/=2

（2）证明见解析

【分析】（1）根据已知得出。=%且02+"=2进而求得a,b,c,即可求得椭圆和圆的方程；

（2）首先由椭圆方程得出焦点坐标，设A的坐标为（占,％）,3的坐标为（下,方），不妨取5>0,根据点到

直线距离公式求得阳"I，再根据两点间距离公式求得|典即可证明怩闸+忸阊=20为定值.

【详解】（1）已知以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为行的正方形，设椭圆的焦距为2c,

贝I」：且c?+/=2,

所以c=6=1,4=〃+,2=2,则椭圆E的方程为：—+/=1,

2

圆。的方程为：X2+/=2.

（2）证明：由椭圆方程得耳（—1,0）,耳。,0）,

因为ABIx轴，所以设A的坐标为（外,％）,B的坐标为（%,%），不妨取为>。，

因为直线/与圆。切于点A,切线/的方程为：xix+yly=2,

因为尸陷，/,所以闺MJ；：—?二唁一（西+0,

A+M.2

由W&%）,耳。,0）得，忸阊2=（尤「iy+犬,

又J+所以忸用2=(七一行+i—[=：—2%+2=®m，

因为玉<2,所以忸图=2；,

v22

BC1CD,PBJ_平面RW.

(1)证明：平面PAB_L平面ABC。；

(2)求四棱锥尸-ABCD体积的最大值；

(3)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求直线尸C与平面P3O所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

32

⑶坐

3

【分析】(1)由条件先证明AB_LA£>,PB^AD,根据线面垂直判定定理证明AD_L平面R4B,根据面面垂

直判定定理证明平面上钻_L平面ABC。.

(2)过点尸作PH_LAB,垂足为根据面面垂直性质定理证明PH_L平面ABC。，结合锥体体积公式可

得V=；-PH,电.D+SABCD)，再求PH和△BCD的面积的最大值，由此可得结论；

(3)建立空间直角坐标系，求直线PC的方向向量与平面尸的法向量，再结合向量夹角公式求结论.

【详解】(1)由题意知四边形ABC。存在外接圆，

i^ZBAD+ZBCD=/t,

试卷第16页，共26页

7T

而3cd.cD,即/BCD=5，

IT

所以ZBAO=-,故AB_LAT>,

2

由P3J_平面PA£>,4£>u平面PA£>,可得PB_L4),

而ABcPB=B,ABu平面PAB,P8u平面PAB,

故AD_L平面上4B,

又因为">u平面ABC。，故平面上钻，平面ABCD.

(2)如图，过点尸作PH_LAB,垂足为H,

由(1)平面P4B_L平面ABCD,又平面PABc平面ABCD=AB,尸Hu平面

所以PH_L平面458.

设四边形ABCD的面积为S,

则四棱锥尸一ABCD的体积

因为AB=AD=4,ABLAD,所以

因为PfiJ_平面PAD,E4u平面PAD,

所以尸3，M，则点P在以A3为直径的圆上，

Afi

当R4=P8时，PH最大,最大值为一丁=2.

因为5CLC。，所以点C在以3D为直径的圆上，且8。=办炉+3=4近,

当BC=CD=4时，S^BCD最大,最大值为8,此时底面ABC。是正方形.

132

所以四棱锥尸-ABCD体积的最大值为嗑x=；x2xl6=(.

(3)以A为坐标原点，AB,A。所在直线分别为x,y轴，过点A且与平面A8CD垂直的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，如图.

ZJk

由（2）可知5（4,0,0）,0（0,4,0）,P（2,0,2）,C（4,4,0）.

所以丽=（2,0,-2）,BD=[-4,4,0）,定=（2,4,-2）.

设平面尸8。的法向量为力=（x,y,z）,

PB•万=2尤-2z=0

则<

BD-n=—4x+4y=0

取x=l,则y=l,z=l

所以1为平面PBD的一个法向量，

设直线PC与平面尸所成的角为。，

\n-PC12+4-210

则sin。==广，==—.

|«||PC岛，4+16+43

所以直线PC与平面尸切）所成角的正弦值为正.

3

5.（2025•江西宜春•一模）已知函数/（x）=xe*-lnx-x-1.

⑴己知了（无）的导函数为/'（无），证明：尸（"=0有唯一实数解.

⑵若函数8（同=岁，％«0,+8）,加eR,/（Ai）-l>g^2）,求相的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（fT

【分析】（1）求导可得r（x）,将问题转化为MM在（o,+8）内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点

存在定理即可证明；

（2）根据题意，将问题转化为了（X）1rfli-I'gG）*,结合导数分别求得函数“X）与g（x）的最值，即可得

到结果.

【详解】（1）证明：的定义域为（。,+e）.

试卷第18页，共26页

尸(x)=(x+l)e-g-l=(x+l)]e'J.

由x>0可知x+l>0,尸(x)=0等价于eX-L=o.

X

设函数刈月=/一!，尤>0,因为y=e，，y=-工在(0,+向内单调递增,

XX

所以“(力在(0,+8)内单调递增.

因为〃2<0,=e—1>0,

所以网力在(0,+8)内存在唯一零点/,

所以广(司=0有唯一实数解.

(2)由(1)知，当。。<不时，力⑺<0,即广(x)<0,/(X)单调递减,

当工>0时,从尤)>0,即尸(力>0,〃x)单调递增,

所以〃x)，/(%o)=%eM-lnx0-x0-l.

因为e--J_=0,所以x°e%=l,x°=e』，佶,11

xoJ

-%0

/(x0)=x0---Ine-x0-1=0,即〃％)20.

%o

,/、x-l-m

g(x)=F^,

令g'(x)=。，得％=加+1,令g'(%)>°，得X>根+1,令g'(%)v。，得m+1,

所以g(x)/g(m+i)=m[:m=一，r.

因为V石«0,+8),3x2GR,/(%)一lNg(z),所以/(人置一1三屋%)血」

所以-12--L，解得加4-1,所以加的取值范围为(YO,-1].

e

(题组4)

(限时时间：80分钟试卷满分：77分)

1.(2025・湖北•二模)记VA3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知—2_=®7

sinB1+cosC

⑴求c；

⑵若a-b=2,VA2C的面积为2vL求边48上的高.

TT

【答案】（l）c=g

⑵2

【分析】（1）利用正弦定理，可把一也=&转化成■sinCH+cosC,再借助辅助角公式和三角形

sin51+cosC

内角的取值范围，可求角C.

（2）借助工^=：。加缶（7,可得仍=8,再利用余弦定理可求边。，再利用三角形面积公式可求边c上的

高.

【详解】（1）由正弦定理，得丁二=三，又上=&，所以=阮，

smBsinCsin51+cosCsinC1+cosC

所以V3sinC=1+cosC，

整理，得2sin.f|=l,即sin.W=g,

又Ce（O,7T）,所以

所以c一£=?，故c=m.

663

（2）由VABC的面积为2g,^-absmC=—ab=2y/3,所以曲=8.

24

由余弦定理，得/=/+〃—2abcosC=a2+b2—ab=^a—b^+^£?=22+8=12,

所以c=，

设边A3上的高人,

由工■%=2y/3,解得h=生叵=2.

2c

22

2.（2025・湖北•一模）已知椭圆。言+方=1（〃>"0）的长轴长为4,焦点为小工，过椭圆右焦点K的

直线/交椭圆。于A,B两点,当直线/垂直于椭圆长轴时，线段A5的长度为1.

⑴求椭圆C的方程；

⑵当直线I倾斜角为45。时，求以线段为直径的圆的标准方程.

【答案】⑴三+y2=i

4'

【分析】（1）利用椭圆的性质，求出a=2,b2=l;

（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理找出AB中点和弦长，用圆的标准方程求解即可.

试卷第20页，共26页

22

【详解】（1）证明：依题意2a=4,故。=2,则椭圆方程为土+当=1,

4护

代入反+^

设月（c,0）,则直线/的方程为x=c=1得？+*1'

4b-

贝区=1上，,-.4=—=-

b~4"44

则丁=咳，；.y=±二，

42

b2

则恒耳=2_-

又线段"的长度为1

则从=1,故椭圆方程为二+丁=1.

4

（2）由（1）知区（6,0）,又直线/倾斜角为45。

故直线/的方程为y=x-百，代入工+丁=1并整理得

4

5x2-Sy/3x+8=0,

设A（XQI），网/』），则占+%=当叵，=1,

53

厂—2^3

故％+%=项+/-2,3=---,

I阴=J（1+F）［Q+-4消］=N平）-8x|=|

故以线段48为直径的圆的圆心为［蓝,-g,半径为r=。

3.（2025•甘肃平凉・模拟预测）2024年10月16日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸60周年，某中学高三年

级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三（1）班有240）名学生.挑战赛分为初

赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有1次答题机会，全班答对人数超过80%

进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人

答完，此班结束比赛.

（1）学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值。=0.001的独立性检

验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联?

选科类型答对答错总计

物理类学生350

历史类学生50300

总计1000

(2)已知高三(1)班在初赛中每个学生答对的概率均为。(0＜。＜1),各人是否答对相互独立，若初赛中高三

(1)班恰有机(0＜机＜〃)人答对的概率记为了(P),求证：当