2025年高考数学大题突破集训：解三角形（6大题型）（原卷版）

培优专题01解三角形

暗植墨嚏!特钢•布塞提下

题型1中线、角平分线、垂线条件的应用

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占

一、中线问题

如图，△ABC中，AD为BC的中线，己知AB,AC,及/A,求中线AD长.

C

②向量法：通+码，平方即可;

③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos乙4DB+cos/ADC=0

注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“处=4”则可以考虑方法②或方法③.

CD

二、角平分线问题

△ABC中，AD平分/BAC.

①角平分线定理：条二黑

证法（等面积法）也=处&_AB•比得理=理

12一，

ACACCD

SACDCD%-a

注：4为A到BC的距离，为为D到AB,AC的距离.

证法2（正弦定理）

,罚ABBDACCD工.八.八・〃.人如丁山/口ABBD

如图，-=-,—=-,|TijsmZl=smZ2,sinZ3=sinZ^4,整理得=

sinN3sinNlsinN4sinN2ACCD

②等面积法

11A1A

S^BC=S^BD+5，AAZ）C=>—xACxsinA=—ABxADxsin——F—ACxADxsin一

三、垂线问题

①等面积法：ADBC=ABAC-sinZBAC

②AD=AB•sinZABD=AC-sinZACD

@a=c-COSB+bCOSC

一、解答题

1.(2025•河南郑州•一模)记VABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,已知从+/_/=^bc,2sin(C-A)=sinB.

⑴求sinC;

⑵设BC=10,求3c边上的高.

2.(24-25高三上•湖北武汉•期末)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点。为线段AC的

中点，A,C满足(sinA-sin。？=sin2(A+C)-sinAsinC.

⑴求5

(2)若VA3C的面积为石，b=岳,求中线8。的长.

3.(24-25高三下•湖南娄底•阶段练习)在VA3C中，点D在线段2C上，AD平分

(1)尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：—=—；

ACZ-xCz

(2)若画=U叶2,ABAC=1，则画是多少?

4.(2025・河北•模拟预测)在VA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120°,。为BC边上一

点.

b2

(1)若NAOC=60",一=大，求幻〃NBA。的值；

c3

(2)若。=&?,AD是角A的平分线，且=求6+c的值.

5.(23-24高三下•福建•开学考试)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

c(5cosA-cos2A)sinB=3&sinC.

⑴求A;

(2)过点A作A3的垂线与3C的延长线交于点。，BC=3CD,的面积为2石，求VABC的周长.

6.(2024•广西・模拟预测)VABC的内角A,dC的对边分别为电仇c,已知(sin3+sinC)2=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

(2)若°=若，NBAC的角平分线交BC于点。，求线段长度的最大值.

7.(24-25高三下•山西•开学考试)在锐角VA3C中，角AB,C所对的边分别为a,6,c,

a(2-cosC)=c(2cosB+cosA),b=y/3.

⑴求C；

(2)记。为AC的中点，求的取值范围.

题型2面积、周长、边角的最值与范围问题

一、三角形面积和周长的最值、范围问题

(1)求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化

周长=Q+Z7+C=(a+Z7)+C=Q+(Z7+C)=(Q+C)+Z7

(2)面积公式：S.ABC=—absinC=—bcsinA=—acsinB

A222

SAABC=黑=：(a+6+c)/(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

(3)求周长的模型：

222

a=b-\-c-2bccosA99

<=>(b+c)=a+2bc+2bccosA

(b+c)2=b2+2bc+c2

(4)基本不等式

①a,bwR+n>4ab②abW(包心了(当且仅当。〃时取“=”号)

22

(5)利用三角恒等变换转化为内角A、B、C有关的三角函数。

①和差角公式：sin(a±J3)=sinacos(3±cosasin[3cos(cr±/?)=cosacos，干sinasin(3

②辅助角公式：asina+bcosa=yla2+b2sin(a+cp)

/七*4.bab、

(其中sin。=i——，cos(p=.,tan^>=—).

、^a2+b2J/+庐a

二、解题思路步骤

J2.22/1.12r\i2

①利用基本不等式：cosA=--S_Z£_=.0一0一a,再利用6+cN2痴及b+c>a,求出j

2bc2bc

*2_2,八_〃2

b+c的取值范围或者利用cosA=——>

2bc2bc

②利用三角函数思想：b+c=2RsmB+2RsmC=2RsinB+2Rsin(A+B),结合辅助角公式及三角函j

数求最值

一、薜答窗

1.(2025•江西赣州・一模)记VABC的内角A,3,C的对边分别为。，&c,已知tanAtanB=(2tanA-tanZ?)tanC.

(1)求证：a2+c2=2b1;

⑵已知6=2,当角8取最大值时，求VABC的面积.

2.(24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)在锐角VA3c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

S为VABC的面积，且2S=〃一侬一op.

(1)求sinA+2cosA的值；

(2)已知a=2,求VA3C的面积的最大值.

3.(2025高三・全国・专题练习)已知VA3C的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且5a+4b=5ccos3.

(1)求cosC；

(2)若2a+b=4sinA+2sin5,求VA3C周长的最大值.

4.(24-25高三下•全国•开学考试)在锐角三角形A3c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知

5cosA—3=cos2A.

(1)求角A的大小；

(2)若a=3,求VABC的周长/的取值范围.

5.(2025•贵州遵义•模拟预测)已知VABC的内角A、3、C的对边分别为，，b,。，且其COS3=QCOSC+CCOSA.

⑴求tanB；

冗7T

(2)若Ae,且。=1,求6+c的取值范围.

6.(24-25高三上•山东青岛•期末)已知丫43。内角48,€'的对边分别为久反£',&2=c(a+c).

(1)证明：B=2C；

2sinA

⑵求------1-----的最小值.

cosCsinB

7.(24-25高三上•贵州黔南•期末)在①cos28=cos(A+C),②加inA=acos[B-%J,③6bsiti<4+acosB=2a

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.

问题：已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,.

⑴求B；

(2)若。=8,求VABC面积的取值范围.

4

8.(24-25高三上•四川成都•阶段练习)在三角形A3C中，内角A氏C的对边分别为瓦c,且ccos3+i=a.

⑴求cosC；

(2)若a=2,且/+。2<4,求+的取值范围.

题型3解三角形与三角函数交汇

点

一、降塞公式

.1.八.21-cos2a21+cos2a

sinacosa=—sm2a\sina=------------;cosa=------------

222

二、辅助角公式

；asina+Z?cose=J/+/2sin(a+0)(其中sin0=1-----cos0=1-------------^,tan夕=一).

7h+r6+-a

;三、三角形角的关系

ABCJT

(1)AABC中，A+B+C=7i,-+-+—=-

；32222

(2)sin(A+3)=sin(=—C)=sinC,cos(A+B)=cos(^-C)=-cosC

.A+B.,7iC,CA+B,7iC..C

■sin--------=sin(----------)=cos-cos--------=cos(----------)=sin一

!(3)222212222

一、w

1.(24-25高三上•安徽六安•阶段练习)设三角形ABC的内角A&C的对边分别为仇。且

LA

sin(B+C)=2V3sin2y.

(1)求角A的大小；

(2)若匕=3,3C边上的高为《石，求三角形ABC的周长.

2.(23-24高三上・云南曲靖•阶段练习)已知向量正=(cosx,-l),〃=1百sinx,-；］,设函数

/(尤)=(根+〃)•根一2.

(1)求函数/(x)的单调递增区间及其图象的对称轴方程；

⑵已知a,b,c分别为三角形ABC的内角AB,C对应的三边长，A为锐角，a=l,c=^3,且/'(A)恰是函数

/(x)在。胃上的最大值，求三角形ABC的面积.

71

3.(2024•广东佛山・模拟预测)已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。，6,c,/(x)=4cosxsinx--

的最大值为〃A).

⑴求角A；

⑵若点。在BC上，满足3c=3£>C,且AD=«,AB=0解这个三角形.

4.(2024•河北衡水•一模)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,6,c,三角形面积为S,若。为AC边

上一点，满足AB，8ZZBD=2,且/=一2叵s+"cosC.

3

⑴求角B;

5.（2024・上海奉贤•三模）已知三角形ABC的三个角对应的边分别为。、b、c

（1）求证：存在以sinAsin3,sinC为三边的三角形；

⑵若以sin2Asin2氏sin2c为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形ABC的最小角.

题型4几何图形中的解三角形

、公式的相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边oa::c=sinA:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边

A>5osinA>sin3ocosAvcos5

a+b+c

③合分比:

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理：A+5+C=»

®sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=acosB+fecosA

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

③在AA5c中，内角AB,C成等差数列=生,A+C=2.

33

二、余弦定理的应用

如图设应>=DC,

在△ABD中，由余弦定理得AB?=4)2+即2-2><40*80/8$44£>3,①

在△AC。中，由余弦定理得AC?=AE>2+OC2-2XADXOCXCOSNAOC,②

因为ZAA/B+ZAMC=7i,所以COSZADB+8SZA£)C=0

所以①+②式即可

一、解答题

1.（24-25高三上•安徽•期中）如图，在平面四边形ABCD中，AC与。3的交点为E,08平分/ADC,

AB-BC=CD=2,AD>2.

⑴证明：%>2=2（AD+2）；

37rDF

（2）若=求".

4BE

2.（24-25高三上•浙江•阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=n.

⑴求Z54D；

（2）尸为边3C上一点，且△PCD的面积为e，求AAB尸的外接圆半径.

3.（2024・江西新余•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，40=4,DC=5,cosB=0,cosC=-,cosD=-.

72

⑴求cosA；

⑵求四边形ABCD的面积.

4.(24-25高三下•宁夏石嘴山•阶段练习)如图，尸是边长为2的正三角形VABC所在平面上一点(点A、8、

C、尸逆时针排列)，且满足CP=C4,记NC4P=9.

⑴若Y，求的长;

(2)用。表示M的长度；

(3)求的面积S的取值范围.

5.(24-25高三上•辽宁大连•期中)在平面四边形ABCD中，AT)_LAC,且相＞=AC.

(l)VABC中，设角A、B、C的对边分别为。、b、c,若tanB=3tanA.

①当a=4时，求心的值；

COS5

②当。=4时，求QC的最大值.

(2)若AB=2BC=4,当入山。变化时，求5。长度的最大值.

题型5解三角形与三角形的“四心”

一、三角形的重心

1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点;

2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

在平面向量的应用：(1)设点6是仆ABC所在平面内的一点，则当点6是小ABC的重心时，有

国+而+GC=G或Pd=g(P无+函+定)(其中P为平面内任意一点)；

(2)在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

A(x「%)、B(x2,y2),C(x3,y3),则有G(3土产二义号士为).

二、三角形的外心

1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

在平面向量的应用：若点0是△ABC的外心，则五|=|而|=|0七|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；

三、三角形的内心

1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心

2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等

②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

3.内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形

在平面向量的应用：若点【是小ABC的内心，则有।阮|-iX+|b|-i§+|Ag|-£=o

四、三角形的垂心

1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

在平面向量的应用：若H是△ABC的垂心，则前.而=而=瓦.前或

---->2----»2-------2------>2------包------>2

\HA+BC=HB+AC=HC+AB

i

一、藕就

1.(2025•宁夏银川•一模)在VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,瓦c,若asinB=66cosA.

⑴求A；

⑵若6=6,c=2,BC,AC边上的两条中线AM,3N相交于点尸，求cos/MPN.

2.(2024高三下.山西大同•期中)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。,6,c,〃是VABC内的一点，且

AH=-AB+-AC.

43

(1)若H是VABC的垂心，证明：7c2-7片=4；

(2)若H是VABC的外心，求NBAC.

3.(2024・全国•模拟预测)已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=sinB(4asinC-^c).

(1)求A;

(2)若。是VABC的内心，a=2,且6?+^>4,求AOBC面积的最大值.

4.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)在VA3C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sitrf-sinC：in2=「

cosB-cosA

(1)求角A的大小；

⑵若VABC为锐角三角形，点/为VABC的垂心，AF=6,求b+3尸的取值范围.

5.(2025•广东肇庆•二模)在①sin'.+：inC=②曜这两个条件中任选一个，补充在下面

sinAb—ccosn2a-b

的横线上，并解答.记VABC的内角AB,C所对的边分别是a,6,c,已知.

⑴求C.

(2)设。为VA3C的内心(三角形三条内角平分线的交点)，且满足48=5,4。2+8。2=17,求AABO的面

积.

6.(23-24高三下•福建福州•期末)在VABC中，角A,B,6所对的边分别为b,c,c-acosB=b-^asinB.

⑴求A；

(2)若VABC的面积为46，内角A的角平分线交边BC于E,b=4,求AE的长；

⑶若叫7’边BC上的中线A八半'设点。为VMC的外接圆圆心，求M布的直

7.(24-25高三上•广东•阶段练习)在VABC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,VABC的面积为S=6,

且4+4A国=("c)2刀是A2的中点，点E在线段AC上且AE=2EC,线段C。与线段BE交于点〃(如

下图)

(1)求角A的大小:

(2)^AM=xAB+yAC,求》+>的值;

⑶若点G是VABC的重心，求线段GM的最小值.

题型6解三角形中的新定义问题

TATJiTXTJ.TATATJiTATATATATATATATATATXT4iTATATATATATATJiTATATATXTdbTJiTJiT4iTdbTJiTATXTATATJiTATATJiT4iTdbTATdbT4iTATdiTJiTJiTATJiTATATJiTXTXT4iTXTXTXTATATdiTJiTATATJiTATdkT4>TATATJiTJ

点

1、理解新定义：

首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。

将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。

2、利用三角函数性质：

应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。

利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。

3、应用解三角形的方法：

使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。